IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Математика неразрывно связана с такой дисциплиной, как экономика. Рассмотрим один из её разделов при решении задач, обращаясь к экономическому смыслу определенного интеграла.

Пусть функция описывает изменение производительности какого-либо завода с течением времени. Найдем объём продукции u, которая произведена за определенный промежуток времени [0; T].

Если допустить, что производительность не меняется с течением времени, то объём продукции Δu, произведённой за время [t; t+Δt], задаётся формулой . Если - непостоянная функция, то верно следующее равенство , где . => для решения задачи о нахождении объёма продукции поступим так, как при нахождении S криволинейной трапеции. То есть разделим отрезок [0; T] на промежутки точками:

Для величины объёма продукции , за время , , получаем: , где , => .

Если  0, то каждое из этих приближённых равенств становится точнее => .Зная определение определённого интеграла, получим , то есть если - производительность труда в момент времени t, то  - объём выпускаемого продукта за время [0; T].

Сравнив нашу задачу с задачей нахождения S криволинейной трапеции, получим: величина объёма продукции за время [0; T] равна S фигуры, ограниченной графиком функции (.она описывает изменения производительности труда времени [0; T] ) и прямыми t=0, t=T.

Пример № 1. Определить объём продукции, произведённой рабочим за

2-ой час рабочего дня, если производительность труда задается функцией 

Решение: .

В экономических задачах используется производственная функция

Кобба-Дугласа: , где y- величина общественного продукта; – затраты труда, а  - объём производственных фондов.

Если в функции Дугласа затраты труда - линейная зависимость от времени, a затраты капитала не изменяются, то функцию можно преобразовать: .=>

Объём продукции за T лет составит: .

Пример №2. Найти объём продукции, произведённой за 4 года, если функции Дугласа задаётся формулой .

Решение: По формуле объёма Q произведённой продукции =>

Метод интегрирования по частям: , , => , .

Для решения задач по экономике применяют теорему о среднем значении и формулу вида: , где .

Число  - среднее значение функции на отрезке [a; b].

Пусть известна функция , отражающая изменение затрат времени t на изготовление изделия в зависимости от уровня освоения производства,

x - порядковый номер изделия в определенной партии. Тогда среднее время, затраченное на изготовление 1-го изделия в период освоения от до  изделий, вычисляется по теореме о среднем времени:

.

Обращаясь к функции изменения затрат времени на изготовление изделий: , где A - затраты времени на 1-ое изделие, B - показатель производственного процесса.

Пример №3. Найти среднее значение издержек , выраженных в ден. ед. , если объём продукции x принимает значения от 0 до 3 ед. Указать объём продукции, издержки которого принимают ср. значение.

Решение: Используя теорему о ср. значении:

то есть ср. значение издержек = 24,75.

Чтобы определить, при каком объёме продукции издержки равны 24,75, решим уравнение

Получим  (ед. продукции).

Определение начальной суммы по конечной величине, полученной через время t при годовом проценте р, называется дисконтированием. Такие задачи встречаются при нахождении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть - итоговая сумма за t лет, K- дисконтируемая сумма. При простых процентах , - удельная процентная ставка, => . При сложных процентах  , => .

Пусть ежегодный доход меняется во времени и описывается функцией и при удельной норме процента i, процент начисляется непрерывно. В этом случае дисконтированный доход: .

Пример№ 4. Определить дисконтированный доход за 4 года при процентной ставке 10%, если первоначальные капиталовложения составляют 20 тыс. у.е. и наблюдается ежегодное его увеличение на 2 тыс. у.е.

Решение: Капиталовложения задаются функцией . По последней формуле дисконтируемая сумма капиталовложений

.

Интегрируя по частям, получим  тыс. усл. единиц. => для получения одинаковой наращиваемой суммы через 4 года ежегодные капиталовложения от 20 до 24 тыс. у. е. равносильны одновременным первоначальным вложениям 80 тыс. у. е. при той же начисляемой непрерывно процентной ставке.

Библиографический список

1. Вологжанинов Д.Д Зеркаль Ф.А. Уфимцева Л.И. Расчет прибыли торговой фирмы на основе дифференциального исчисления //Международный студенческий научный вестник.2015 №4-2 С 339-340

2. Габбасова Ю.Р. Уфимцева Л.И. Расчет изменения излишка продукции с помощью интегрального исчисления // Международный студенческий научный вестник №4-2 2015 –С 340

3. Макаров С.И. Математика для экономистов: учебное пособие//С.И. Макаров2-е изд., перер.- М.: КНОРУС , 2008.- 264 с

4. Уфимцева Л.И.,Макаров С.И., Нуйкина Е.Ю. Развитие товорческих способностей студентов при изучении математических дисциплин//В сборнике наука и образование в жизни современного общества Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции: в 14 томах. 2015- С142-143

Код для цитирования: Скопировать