IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Для настоящего времени характерно стремление к более широкому применению современных математических методов и моделей в экономике, бизнесе, сфере управления. Важная особенность экономико-математического моделирования состоит в учете различия между проблемами осознанно формализованными и слабоструктурированными, рыхлыми проблемами (хотя, может быть и не случайными) и для адекватного их описания необходимы субъективные представления и суждения экспертов [1]. Учесть такую информацию можно с помощью методов теории нечетких множеств [2].

В качестве примера использования исчисления нечетких чисел и множеств, а так же основных операций над этими объектами в экономическом анализе, рассмотрим нечеткую модель Леонтьева или нечеткую экономико-математическую модель межотраслевого баланса.

Основные понятия теории нечетких множеств, нечетких соотношений, нечетких отношений, нечетких чисел и действий над ними будем рассматривать как в [1-6].

Пусть имеется nотраслей J₁, J₂, …, Jn. Рассмотрим процесс производства за один год. Пусть х_i – нечеткий общий (валовый) объем продукции отрасли J_i, х_ij – объем продукции отрасли J­_i, потребляемой отраслью J­_j в процессе производства, y_i – нечеткий объем конечной продукции отрасли J­_i для непроизводственного потребления. Имеют место нечеткие соотношения баланса:

то есть продукция отрасли J­_i используется другими отраслями и потребителями.

Нечеткие коэффициенты прямых затрат a_ij = х_ij/ х_j показывают затраты продукции отрасли J­_i на производство единицы продукции отрасли J_j. Считаем, что a_ij – constanta.

Тогда

(1)

Из соотношения (1) получаем нечеткое матричное уравнение:

X = АХ + Y, (2)

где X = – нечеткий вектор валового выпуска, А = – нечеткая матрица прямых затрат (нечеткая структурная матрица), Y = – нечеткий вектор конечного продукта.

Нечеткую матрицу А≥0 (все элементы неотрицательны) будем называть продуктивной, если для любого нечеткого вектора Y≥0 существует решение Х≥0 уравнения (2). В этом случае и нечеткая модель Леонтьева называется продуктивной.

Утверждение. Нечеткая матрица А≥0 продуктивна, если и существует j такой, что то есть наибольшая из сумм нечетких элементов в столбцах матрицы А не превосходит , причем есть хотя бы один столбец, где сумма меньше . Здесь – нечеткая единица, которая является нечетким гауссовым числом с функцией принадлежности:

.

Пример. Для двухотраслевой экономической системы заданы нечеткая структурная матрица и нечеткий вектор валового выпуска:

; ,

где a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂, x₁ и x₂ – нечеткие гауссовы числа с соответствующими функциями принадлежности:

;.

Найти нечеткий вектор конечного продукта Y.

Решение. Согласно уравнению (2) нечеткий вектор конечного продукта:

Y = X – AX = EX – AX = (E – A) X = ,

где y₁ и y₂ – нечеткие гауссовы числа с соответствующими функциями принадлежности:

.

Список литературы.

1. Баришевський С. О. Моделювання нечітких геометричних об`єктів і застосування рішень в умовах невизначенності // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет. – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип. 4. – Т. 49. –106с.

2. Раскин Л.Г. Серая О.В. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.

3. Просветов Г.И. Математические методы и модели в экономике: Задачи и решения: Учебно – практическое пособие . – М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2008. – 344с.

4. Баришевський С.О. Основы теории точечных нечетких множеств: Алгебраические и топологические аспекты. // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет – Мелітополь: ТДАТУ. – Вип.4. – Т. 57. –27с.

5. Баришевський С.О. Точкові нечіткі множини та їх відображення. // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип.4. – Т. 54. – 8с.

6. Барышевский С.О. Графоаналитический метод решения нечетких матричных игр // Сучасні проблеми моделювання: зб. Наук. Праць / МДПУ ім. Б. Хмельницького; гол. Ред.. кол. А.В. Найдиш. – Мелітополь: Видавництво МДПУ ім.. Б. Хмельницького, 2016. – Вип. 5. - С. 3-8.

Код для цитирования: Скопировать