IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Нечеткая марковская цепь является одной из моделей неопределенности, в которой сочетаются случайность и нечеткость, что в свою очередь приводит к появлению понятия не четкой вероятности. В классической теории вероятность есть детерминированная характеристика возможности появления события в определенных условиях. Вместе с тем, в реальной жизни эта возможность может неконтролируемым образом зависеть от совокупности условий, которые сами могут измениться. В этих случаях вероятность естественно списывать нечетким числом с функцией принадлежности, параметры которой оцениваются статистически по совокупности испытаний [1].

В данной работе мы предлагаем рассмотрение нечеткой однородной цепи Маркова с дискретными состояниями и дискретным временем на основе нечеткой математики.

Нечеткий случайный процесс будем называть нечеткой маркавской цепью, если для каждого k-го шага случайная последовательность событий (состояний) S(0), S(1),…,S(k),…,нечеткая вероятность переходаиз любого состояния в любое не зависит от того, когда и как система в состояние .Начальное состояние S(0) может бытьзаданным заранее или случайным.

Нечеткими вероятностями цепи Маркова будем называть вероятности того, что после k-гошага (и до (k+1)-го) система S будет находится в состояние . Очевидно, что для любого k

, (1)

где – нечеткие числа, –нечеткая единица, модальное значение (ядро) которой равно 1.

Если начальное состояние системы Sв точности известно S(0)=, то начальная вероятность , а все остальные равны нулю.

Нечеткой вероятностью перехода (переходной вероятностью) на k-ом шаге из состояния в состояние будем называть нечеткую условную вероятность того, что система Sпосле k-го шага окажется в состоянии при условии, что непосредственно перед этим (после k-1 шага) она находилась в состоянии .

Поскольку система может пребывать в одном из n состояний, то для каждого момента времени t необходимо задать нечетких вероятностей перехода , которые удобно представить в виде следующей нечетной матрицы:

A=()=, (2)

где - нечеткая вероятность перехода за один шаг из состояния в состояние ; – нечеткая вероятность задержки в состоянии . Здесь являются нечеткими гауссовыми числами с соответствующими функциями принадлежности:

,

где - модальное значение (ядра) нечетных чисел , – коэффициенты концентрации (носители).

Матрица (2) называется нечеткой переходной или матрицей нечетких переходных вероятностей.

Если нечеткие переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая нечеткая марковская цепь называется однородной.

Отметим некоторые особенности нечеткой матрицы, которые образуют переходные вероятности нечеткой однородной цепи Маркова.

• Каждая строка характеризирует выбранное состояние системы, а её элементы представляют собой нечеткие вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного (из і-го) состояния, в том числе и переход в самое себя.

• Элементы столбцов показывает нечеткие вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное (j-е) состояние (иначе говоря, строки характеризируют нечеткую вероятность перехода системы из состояния, столбец – в состояние).

• Сумма нечетких вероятностей каждой строки нечетко равна нечеткой единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:

, i=. (3)

• По главной диагонали матрицы нечетких переходных вероятностей стоят нечеткие вероятности того, что система не выйдет из состояния , и останется в нем.

Если для нечеткой однородной марковской цепи заданы нечеткое начальное распределение переходимых вероятностей (), то нечеткие вероятности состояний системы (k) (i=; j=) определяются рекуррентной формуле:

(k), (i=; j=) (4)

Так как в данной работе вероятности являются гауссовыми нечеткими числами, то для нахождения их численных значений требуется определить основные операции над этими числами. В работе [3] представлены правила выполнения этих операций (правила суммирования и вычитания, правила умножения и деления). Сформулируем эти правила.

1. При суммировании двух нечетких чисел и с функциями принадлежности соответственно равными

,, (6)

получим число Bс функцией принадлежности

,. (7)

2.Разность двух гауссовых нечетких чисел с функциями принадлежности (6) равны числу В с функцией принадлежности

(8)

3. При умножении двух нечетких чисел и с функциями принадлежности (6) получим число В с функцией принадлежности

₍₉₎

4. При делении нечеткого числа на нечеткое число с функциями принадлежности (6) получим число В с функцией принадлежности

(10)

Список литературы

1.Раскин Л.Г., Серая О.В. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.

2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб.пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 432 с.

3. Барышевский С.О. Графоаналитический метод решения нечетким матричных игр.// Сучасні проблемі моделювання: зб. наук. праць / МДПУ ім.. Б. Хмельницького; гол. ред. кол. А.В Найдиш – Мелітополь: Видавництво МДПУ ім.. Б. Хмельницького, 2016. – С. 3-8.

Код для цитирования: Скопировать