IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Многие задачи экономики и социологии труда являются оптимизационными, когда из возможных вариантов решения нужно выбрать вариант, оптимальный с точки зрения выбранных критериев оптимальности [1].

При решении данных задач используются методы математического программирования (МП): линейного, нелинейного, параметрического, динамического, стохастического и другие. Важная особенность при решении задач МП состоит в учете различия между проблемами осознанно формализованными и слабоструктурированными, рыхлыми проблемами (хотя, может быть и не случайными) и для адекватного их описания необходимы субъективные представления и суждения экспертов [2]. Подобные задачи называются задачами МП при нечетной информации. Модели МП в этих условиях называют нечетными моделями, а учесть нечетную информацию можно на основе нечеткой математики [3], нечеткой логики [4] и нечеткой геометрии [5-6]. В случае, если модель МП задана в виде целевой функции и ограничений, а нечеткость проявления в форме нечетких параметров этих функций или в виде исходного нечеткого множества альтернатив, то мы приходим к задаче нечеткого математического программирования (НМП).

Для более четкого понимания принципов решения задач НМП аналитическими средствами важно хорошо усвоить графические и графоаналитические методы их решения, которые в свою очередь являются наглядными довольно простыми методами решения задач НМП.

В данной работе предлагается рассмотрение графоаналитических методов решения оптимизационных задач экономики и социологии труда в условиях нечеткости.

Практичными графоаналитическими методами решают задачи НМП с двумя переменными, представленные в неканоническом виде или сводящиеся к ним [2], [7-10]. В последнее время довольно широко рассматривались графоаналитические методы решения задач НМП при заданных нечетко линейных ограничениях [2], [7-10]:

(1)

где: параметры системы (2) являются гауссовыми нечеткими числами с функциями принадлежности [3]:

, (2)

где: - модальные значения (ядро) нечетких чисел ;

- квадратный коэффициента концентрации.

Решение такой задачи НЛП начинают с построения области допустимых решений (ОДР). С графической точки зрения такая область представляет собой пересечение нечётких полуплоскостей (или нечётких прямых), которые определяются системой (2). Проблема заключается в том, что до сих пор не существует общепринятых способов изображения и построения нечётких точек и нечётких прямых, проходящих через эти точки[2],[7-9].

Нечёткое множество можно рассматривать как объединение его составляющих одноточечных нечётких множеств, носители которых состоят из одной точки. Под нечёткой точкой будем понимать множество точек пространства, которое представляет собой объеди­нение одноточечных нечетких множеств в окрестности ядра нечёткой точки. Под нечёткой прямой, которая проходит через точку A, будем подразумевать цилиндрическое множество A (пучок прямых) с осно­ванием A и C функцией принадлежности , где - функция принадлежности нечёткой точки А. Нечёткие точки, нечёткие прямые и отрезки будем представлять их соответствующими ядрами [2], [7-9].

Пусть па плоскости введена прямоугольная система координат . Тогда каждой точке М плоскости соответствует пара чисел , называемых координатами этой точки. Будем считать, что если хотя бы одна из координат точки М является нечетким числом, то точка М является нечёткой точкой. [2], [7-9]

Каждому линейному нечёткому уравнению системы (1):

, (3)

на плоскости соответствует нечёткая прямая. Чтобы по уравне­нию (4) построить искомую прямую, достаточно на плоскости найти две любые нечёткие точки, которые удовлетворяют уравнению (4), и провести через них нечёткую прямую.

Искомое оптимальное решение, которое графически соответствует координатам нечеткой точки, можно найти путем общего решения системы двух нечетких уравнений, которые соответствуют граничным нечетким прямым, которые пересекаются в этой точке, то есть в общем случае следует найти нечеткое решение нечеткой системы линейных алгебраических уравнений (НСЛАУ) [3].

Выразим решение НСЛАУ (2) через параметры задачи по формулам Крамера:

(4)

Где: det A – определитель матрицы

– определитель матрицы, который получаем при замене k-го столбца матрицы А столбцом свободных членов

Рассмотрим случай, когда нечеткими являются только свободные члены . Значения переменных , которые вычисляются по формуле (5), запишем, раскрывая определители det A_k по элементам k-го столбца:

(5)

где: - адъюнкта элемента матрицы А ;

k=1,2,…,m.

Теперь можно получить функции принадлежности компонентов нечеткого решения задачи (3):

(6)

Перейдем теперь к ситуации, когда все параметры задачи, кроме столбца свободных членов, - нечеткие числа [3, c. 168].

Зафиксируем в соотношениях (6) значения параметров на уровне их модальных значений , освободив один из них, например .

При этом получим набор нечетких чисел:

(7)

где: каждое число является дробно-линейной функцией соответствующего нечеткого числа .

Значение функций принадлежности нечётких чисел а_и позволяет с использованием (7) рассчитать совокупность условных функций принадлежности нечётких значений искомых переменных

= (8)

Полученный набор условных функций принадлежности может быть различным образом использован для отыскания искомого решения. Самый простой (оптимистический) вариант связан с определением безусловных функций принадлежности каждой из переменных задачи по формуле:

(9)

^ij

Точно так же может быть получено пессимистическое описание решения:

(10)

^ij

Компромиссное решение можно получить из расчёта функции принадлежности среднего арифметического для набора нечётких значений из переменных задачи.

Рассмотрим применение графоаналитического метода для решения оптимизационных задач экономики труда на конкретном примере.

Пример. Предприятие выпускает два вида продукции, используя три типа трудовых ресурсов (по профессиям). Исходные данные (в условиях величинах) об объемах трудовых ресурсов, нормах трудоемкости и ценах единиц продукции представлены в таблице 1.

Таблица 1. Исходные данные задачи

Тип трудовых ресурсов	Нормы трудоемкости единицы продукции		Наличие трудовых ресурсов
	Продукция 1	Продукция 2
Токари Слесари Фрезеровщики	4 1 1	2 4 2
Цена единицы продукции	60	40

Экономико-математическая модель задачи на максимум стоимости выпущенной продукции имеет вид:

где и – объем выпуска продукции каждого вида, – гауссовы нечеткие числа с функциями принадлежности:

На рис. 1 изображена геометрическая интерпретация решения задачи.

Рис. 1 Графическая интерпретация задачи

Из рис. 1 следует, что при возрастании целевой функции линия уровня будет перемещаться параллельно самой себе в направлении вектора – градиента целевой функции, а предельное положение линий уровня будет соответствовать прямой, проходящий через нечеткую точку С. Чтобы найти координаты нечеткой точки С, необходимо решить систему двух нечетких нечеткую систему двух линейных уравнений, соответствующие тем двум нечетким прямым, пересечение которых и дает нечеткую точку С (нечеткие прямые (1) и (3) ):

Проведем предварительные расчеты по формулам (4)-(5):

Теперь, используя (6), запишем искомые функции принадлежности решения задачи:

,

Как и следовало ожидать, модальные значения полученного решения совпадают с решениями, полученными чисто графическим методом (рис. 1):

и

Выводы. В данной работе рассмотрены графоаналитические методы решения оптимизационных задач экономики и социологии труда в условиях нечеткости. Предложен довольно простой метод нахождения оптимальных значений нечетких координат путем решения нечетких систем линейных алгебраических уравнений.

Список литературы.

1. Федосеев В.В. Математическое моделирование в экономике и социологии труда: Учеб. Пособие. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.- 167с.

2. Зайченко Ю.П. Исследование операций: Нечеткая оптимизация. – К.: Вища школа, 1991. – 191с.

3. Раскин Л.Г., Серая О.В. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352с.

4. Новак. В., Перфильева И.,Мочкорж И. Математические принципы нечеткой логики/ Пер. с англ.: Под ред. Аверкина А.Н. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.- 352с.

5. Юрков В.Ю., Лукина О.В. Геометрия нечетких множеств// Прикладная геометрия.- 2006. – Вип. 8, №18 – с.9-36.

6. Барышевский С.О., Никифорова Л.Е., Караев О.Г.// Вісник Херсонського національного технічного університету. – Херсон: ХНТУ, 2014. – Вип. 3 (50). – с.559-561.

7. Барышевский С.О. Графоаналитические методы решения задач нечеткого нелинейного программирования// Международный журнал экспериментального образования. – 2015. - №5 – с.88-89.

8. Халилова С.Р., Барышесвкий С.О. Графоаналитические методы решения задач нечетного линейного программирования// Научная дискуссия: инновации в современном мире. сб.ст. по материалам LIX междунар. науч. – про ист. коив.- №15 (58). – М.: Изд. «Интернаука», 2016. – с. 7-13.

9. Халилова С.Р., Барышевский С.О. Графоаналитические методы решения задач нечетного дробнолинейного программирования// Вестник магистратуры, №12 – 5(63), 2016, с.4-9.

Код для цитирования: Скопировать