Анализ последних исследований. Решение задач принятия решений (ПР) при нечёткой информации и модели ПР в этих условиях основывается на аппарате нечёткой математики [3] и нечёткой логики [4]. В работе [2] изложены аналитические методы решения задач линейного и выпуклого программирования. Основное внимание уделено проблемам ПР при нечёткой и недостоверной информации. Описаны задачи ПР на основе лингвистических переменных, нечёткого математического программирования и методы их решения в основном без геометрической интерпретации. В работе [3] особое внимание уделяется прикладным задачам нечёткой математики. Рассматриваются нечёткие системы линейных алгебраических уравнений, элементы нечёткой теории вероятностей и теория ПР, аналитические методы решения нечётких задач математического программирования, но, как и в [2], в основном без геометрической интерпретации.
В работе [6] проведено рассмотрение графоаналитических методов решения задач НЛП с чёткой целевой функцией при нечётко заданных ограничениях. Поставленная в данной работе задача, по нашему мнению, может быть сведена к решению задачи, которая рассмотрена в работе [6] путём применения свойств двойственных задач и теорем двойственности.
Формулирование целей статьи. В данной работе мы предлагаем рассмотрение графоаналитического метода решения задач нечёткого линейного программирования с нечёткой целевой функцией при чётко заданных ограничениях на основе свойств двойственных задач и теорем двойственности.
Основная часть. Практически графическим методом решают задачи НЛП с двумя переменными, представленные в неканоническом виде или сводящиеся к ним. Так как число ограничений одной двойственной задачи равно числу переменных другой двойственной задачи, то в дальнейшем целесообразно проводить рассмотрение системы, содержащей два ограничения.
Рассмотрим такую задачу НЛП: найти экстремум нечёткой целевой функции
, (1)
где параметры целевой функции (1) являются гауссовыми нечёткими числами с функциями принадлежности:
, (2)
где - модальные значения (ядра) нечётких чисел - коэффициенты концентрации.
При чётких ограничениях
(3)
Найдём двойственную задачу для задачи (1)-(3) используя следующие свойства двойственности [7]:
1) число неизвестных одной задачи равно числу ограничений другой задачи;
2) матрица коэффициентов системы ограничений получается одна из другой путём транспонирования;
3) неравенства в системах ограничений имеют противоположный смысл;
4) свободные члены системы ограничений одной из задач становятся коэффициентами целевой функции другой задачи, коэффициенты превращаются в свободные члены системы ограничений;
5) целевые функции в задачах имеют противоположный смысл;
6) (первая теорема двойственности) Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет. Причём экстремальные значения целевых функций совпадают.
Запишем двойственную задачу с учётом вышеизложенного:
целевая функция
, (4)
ограничения
(5)
Решим задачу (4)-(5) в общем виде графоаналитическими методом [6]
Искомое оптимальное решение этой задачи графически соответствует координатам экстремальной нечёткой точки. Его можно найти путём совместного решения системы двух нечётких уравнений, которые отвечают нечётким граничным прямым, пересекающимся в этой нечёткой точке. В общем случае следует найти нечёткое решение нечёткой системы линейных алгебраических уравнений (НСЛАУ) [5].
Выразим решение НСЛАУ (2) через параметры задачи по формулам Крамера:
(6)
где — определитель матрицы , — определитель матрицы, который получаем при замене k-го столбца:
, (7)
где , — адъюнкта элемента матрицы , .
Теперь можно получить функции принадлежности компонентов нечёткого решения задачи (3):
,
, (8)
, .
Стоит отметить, что при решении задач НДЛП графоаналитическим методом .
Подставляя полученные значения нечётких координат точек экстремума в выражение для целевой функции (4), можно получить нечёткое значение искомой функции.
Выводы. В данной работе рассмотрен графоаналитический метод решения задач нечёткого линейного программирования с нечёткой целевой функцией при чётко заданных ограничениях на основе свойств двойственных задач и теорем двойственности. В полученной двойственной задаче целевая функция является чёткой, а линейные ограничения – нечёткими. Изложен достаточно простой графоаналитический метод определения нечётких координат нечётких экстремальных точек путём нахождения нечёткого решения НСЛАУ.
Список литературы:
1. Єремєєв В. С., Баришевський С. О. Графічний метод розв’язання задач нечіткого лінійного програмування з чітко поставленою метою при нечітких обмеженнях // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет. – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип. 4. – Т. 49. – С. 27 – 32.
2. Барышевский С. О. Прикладной системный анализ в институциональной экономике// Институциональный вектор экономического развития: зб. науч. раб/ МЫДМУ «КППУ». – Мелитополь: Изд-во КПУ. 2011. – Исн.4(1) – с.191 – 202.
3. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экологических систем: учеб. пособие : – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 432 с.: ил.
4. Новак В., Перфильева И., Мочкорж И./пер. с англ.: под ред. Аверкина А. Н. – М.: Физматлит, 2006. – 352 с.
5. Раскин Л. Г., Серая О. В. Нечёткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.
6. Халилова С. Р. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЧЁТКОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ / С. Р. Халилова, С. О. Барышевский // Научная дискуссия: инновации в современном мире: сб. ст. по материалам LIX Международной научно-практической конференции «Научная дискуссия: инновации в современном мире». – № 15(58). – М., Изд. «Интернаука», 2016. – С. 7-13.
7. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. - Курс методов оптимизации. Учеб. пособие - 2е изд.: Физматлит, 2008. – 368 с.