IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Постановка задачи: в рамкахинтегральной модели двухпродуктовой экономической системы (ЭС), учитывающей внутреннюю (технологическую) структуру ЭС, процессы технического перевооружения ЭС (в условиях ускорения научно-технического прогресса) и поступление в ЭС продуктов (в том числе услуг) извне, поставить оптимизационную задачу такого наилучшего распределения этих продуктов между подсистемами ЭС, которое минимизирует импорт товаров (с помощью замены на товары, произведенные внутри ЭС) с учетом минимально допустимого уровня потребления товаров.

Актуальность поставленной задачи. В связи с санкциями западных стран против РФ тема импортозамещения стала в настоящее время весьма актуальной. Президент РФ В.В. Путин поставил перед российской экономикой важную задачу – заменить на отечественную импортную продукцию, попавшую под санкции. Для решения поставленной задачи необходимо модернизировать всю инфраструктуру российской экономики, что в современных условиях немыслимо без применения математических методов и в особенности математических оптимизационных методов.

Анализ исследований и публикаций. Для решения выше поставленной задачи применим математическую теорию развивающихся систем (РС), основы которой заложил академик В.М. Глушков при изучении макроэкономических задач [3]. В работах Иванова В.В. и Гирлина С.К. 1-3,5-9], Яценко Ю.П. [4] эта теория получила дальнейшее развитие и оформилась в новое научное направление – математическую теорию развития [5,7], в рамках которой Гирлиным С.К. в результате анализа ряда доказанных теорем были открыты три фундаментальных законов развития [2, с.258].

Цель статьи состоит в решении поставленной выше задачи.

Изложение основного материала. Рассмотрев экономическое систему как двухпродуктовую развивающуюся систему (РС) [3, с. 40], выделим две подсистемы: подсистему самосовершенствования А, в которой частью рабочих мест (РМ) создаются новые, более эффективные РМ, и подсистему Б, в которой другой частью РМ выполняется основная внешняя функция экономической системы – выпуск некоторой продукции (или оказание услуг). Каждой единице РМ (усредненной за единицу времени), появившейся в момент времени , поставим в соответствие в момент времени , два показателя ее эффективности (квалификации): функции и , характеризующие умения и способности единицы РМ, появившейся в момент , в единицу времени, начиная с момента , производить соответственно новые РМ и новую продукцию (услуги). Новыми РМ называются здесь такие РМ, для которых их показатели эффективности и , , не убывают с ростом и не возрастают с ростом (например, возрастание по функции означает, что вследствие применения новых технологий РМ, появившиеся позже момента , обладают более высоким показателем эффективности по сравнению с РМ, появившимися в момент , а убывание по означает, что вследствие научно-технического прогресса РМ, появившиеся в момент , с течением времени обладают все более низким показателем эффективности, т.е. технологически устаревают).

Уравнения базовой (простейшей) модели двухпродуктовой экономической системы (ЭС) имеют вид [2, с. 113-115]:

,

(1)

где и - скорости появления в ЭС в момент времени соответственно новых РМ (продуктов первого рода ЭС) и предметов потребления или продуктов системы, идущих внешнему «заказчику» (продуктов второго рода ЭС); - скорость поступления в ЭC в момент внешнего ресурса ( и предполагаются одной размерности); - скорости поступления в ЭC в момент продуктов соответст­венно первого и второго родов, - доли , исполь­зуемые в дальнейшем соответственно в подсистемах А и Б, - общее количество РМ, участвующих в производстве в момент ; - временная граница ликвидации (сворачивания) устаревших (с низкой производительностью) РМ в подсистемах А и Б: РМ, появившиеся ранее момента , в момент в производстве не участвуют, а оставшиеся стопроцентно используются, - скоро­сть создания (производительность труда) в подсистеме А в момент времени новых РМ одним РМ, появившимся в момент ; - скоро­сть создания (производительность труда) в подсистеме Б в момент времени новых предметов потребления одним РМ, появившимся в момент ; - фондовооруженность (цена) новых РМ, созданных в момент ; - выпуск обобщенного продукта ЭС (выпуск национального дохода в макроэкономической ЭС) в момент ; на отрезке заданы функции и (известные на начальной предыстории функции обозначаем теми же буквами, но с индексом «0»); - момент начала моделирования ЭС (ЭС является возникающей, если ); все рассматриваемые функции по определению неотрицательны .

Одной из важнейших задач моделирования динамики ЭС является задача оптимизации, под которой обычно понимается достижение требуемой цели при заданных средствах, а также нахождение необходимых средств для достижения этой цели.

Обозначим

где

Для решения первого и третьего уравнений системы (1), воспользуемся следующим утверждением.

Теорема [1, с. 96-101].Пусть заданы в своих областях определений кусочно непрерывные функции непрерывные функции и непрерывная по и кусочно непрерывная по функция где и ограничена при , Тогда задача отыскания функций из первого и третьего уравнений в соотношениях (1) имеет единственное решение на отрезке , причем кусочно непрерывна и положительна, непрерывна и положительна, .

Очевидно, что отыскав функции на из первого и ттретьего уравнений системы (1), из остальных уравнений легко найти остальные неизвестные функции , если заданы непрерывные в своих областях определений функции и .

Так как при заданных в своих областях определений функциях система соотношений (1) в условиях приведенной теоремы имеет единственное решение то можно поставить следующую оптимизационную задачу: из соотношений (1) найти на такую непрерывную функцию и такие кусочно непрерывные функции а также зависящие от этих функций функции , и , которые доставляют минимум функционалу (по )

, ,

и максимум функционалу (по )

.

при ограничениях (1) и где и - заданные на функции (интерпретируемые как минимально допустимые уровни потребления продуктов соответственно первого и второго родов).

Выводы. Нетрудно поставить аналогичную оптимизационную задачу в рамках многопродуктовой и континуальной модели ЭС (если число продуктов весьма велико, то с математической точки зрения удобнее перейти к рассмотрению случая, когда число продуктов бесконечно) [1, c. 95-108]. Для дальнейшего практического применения рассмотренного подхода необходимо сотрудничество специалистов по экономике (в особенности для определения экспериментальных данных модели – функций типа и , ), по вычислительной математике, по программированию, компьютерному моделированию, причем здесь могут оказаться весьма полезными уже открытые законы оптимального развития систем [2].

Список литературы

1. Гирлин С.К. Лекции по интегральным уравнениям: учеб. пособие для студентов матем. специальностей /Гирлин С.К.–2-ое изд.- Симферополь: ИТ «АРИАЛ», 2014.– 178 с.

2. Гирлин С.К., Билюнас А.В. Модель и законы оптимального развития систем // Успехи современного естествознания. – 2011. - № 7. – С. 254-259.

3. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. - М.: Наука, 1983. – 352 с.

4. Яценко Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью / Яценко Ю.П. – К.: Наук. думка, 1991. – 220 с.

5. Girlin S. K., Ivanov V.V. Mathematical Theory of Development. A Course of Lectures: учебное пособие для студентов математических специальностей. – Simferopol: PP “ARIAL”, 2014.-140 p.

6. Ivanov V.V. Model development and optimization.-Dordrecht / Boston / London: Kluwer Academic Publishers, 1999. – 249 p.

7. Ivanov V.V., Girlin S.K. Introducing Mathematical Theory of Development. Электронный мультидисциплинарный научный журнал с порталом международных научно-практических конференций «Интернетнаука». 2016;(5):1-24. DOI:10.19075/2414-0031-2016-5-1-24.

8. Ivanov V.V., Girlin S.K., Korzhova V.N., Yanenko V.M. Further Development of Academician V.M. Glushkov Models and Its Applications // Proceeding of the International Scientific Conference: “The Issues of Calculation Optimization (ISCOPT-XL)”, Ukraine, Crimea, Katsiveli, 30 September – 4 October 2013, P. 105-106.

9. Ivanov V.V., Ivanova N.V. Mathematical Models of the Cell and Cell Associated Objects.- Amsterdam: Elsevier, 2006. – 333 p.

Код для цитирования: Скопировать