IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Межпредметные связи в процессе обучения нацеливают всех обучающихся на «сквозное» применение знаний и умений, полученных в процессе изучения различных дисциплин. В результате активизируется мышление обучающихся и происходит мотивация к изучению не только одного предмета, а и смежных дисциплин. Осуществление межпредметных связей предполагает одинаковую, если возможно, трактовку понятий, излагаемых различными учебными предметами.

Так, в частности, математику считают абстрактной наукой, но в плане межпредметных связей она выполняет функцию общенаучного метода. Математические понятия, формулы, методы, алгоритмы могут использовать представители других наук, а методологическое назначение математики заключается в том, что она вырабатывает формулы, на основе которых решаются проблемы специальных наук. Удачным инструментом познания окружающей действительности является математическое моделирование. При использовании математического моделирования на учебных занятиях преподаватель может в полной мере пользоваться проблемным методом, диалогово-проблемным, ситуативно-корректирующим или другими методами. Проблемность возникает уже с постановки задачи, а далее: в построении математической модели, выборе метода решения проблемы, получении результата исследования. Занятия, в ходе которых происходит моделирование процессов, требующих знаний и умений из смежных дисциплин, всегда вызывают интерес, совершенствуют общую культуру мышления, активизируют мыслительную деятельность.

Например, при анализе химико-биологических процессов можно воспользоваться математическим моделированием расчёта оптимальных наборов витаминных комплексов, используемых в профилактических целях.

Организму человека нужны витамины, так как без их достаточного количества невозможно функционирование всех органов и систем. В частности, тесным синергичным антиоксидантным действием обладают витамины С, Е и А, а регуляция проницаемости капилляров поддерживается витаминами С и Р [4, с. 134, 135]. У каждого в жизни существуют периоды, когда требуется усиленная витаминная поддержка: детский возраст, когда происходит усиленный рост; юношеский возраст, когда имеют место умственные и эмоциональные нагрузки; работоспособный возраст обязательно требует приёма витаминов. Витамины редко применяются в отдельности. Для повышения эффективности создаются различные сбалансированные комплексы, которые имеют разный состав. Их располагают по возрастным периодам, функциональному назначению, лечебному эффекту. Довольно часто людям хочется приобрести витамины недорогие, но эффективные.

Рассмотрим ситуацию, когда производится приём витаминных комплексов в профилактических целях и при этом требуется, чтобы их стоимость была наименьшей.

Математически постановка задачи может быть сформулирована следующим образом.

Лечебное предприятие закупает два вида витаминных комплексов К₁ и К₂ с содержанием витаминов трех видов: V₁, V₂, V₃. Количество единиц этих витаминов в одном грамме витаминных комплексов, необходимая их норма при профилактическом приеме и стоимость одного грамма комплексов К₁ и К₂ соответственно заданы в табл. 1.

Таблица 1 – Исходные данные

Витамины	Норма единиц витаминов	Количество единиц витаминов в 1 г комплекса
		К1	К2
V1	9	3	1
V2	8	1	2
V3	12	1	6
Стоимость 1 г комплекса		5 усл. ден.ед.	4 усл. ден.ед.

Какое количество граммов витаминных комплексов каждого вида, необходимо на один профилактический приём, чтобы все витамины были получены не меньше требуемой нормы, а их суммарная стоимость была бы наименьшей?

Для решения поставленной проблемы необходимо построить математическую модель задачи, выбрать метод решения и получить соответствующий результат.

Для построения математической модели введём обозначения: х₁ – количество граммов комплекса К₁; х₂ – количество граммов комплекса К₂. Система ограничений, описывающая выполнение норм по витаминам, соответственно имеет вид: Условие неотрицательности переменных: х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0. Целевая функция, выражающая суммарную стоимость витаминных комплексов, должна быть минимально возможной: Z_min= 5х₁ + 4х₂. Математическая модель задачи построена.

Так как в систему ограничений и целевую функцию математической модели входят только две переменные, то применим графический метод решения задачи линейного программирования [2, с. 420]. Строим область допустимых решений, используя уравнения граничных прямых

L₁: 3х₁ + х₂ = 9;

L₂: х₁ +2х₂ = 8;

L₃: х₁ + 6х₂ = 12 (рис. 1).

x₂

9 А

L₁

L₂ 4 5;4)

3 В(2;3)

L₃

С

LD

0 2 3 5 8 12 х₁

Рис. 1 – Область допустимых решений

Отмечая точки, удовлетворяющие всем неравенствам в системе ограничений и условиям неотрицательности переменных, получаем множество допустимых планов (рис. 1). В данной задаче оно не ограничено (заштрихованная область). Далее строим вектор целевой функции (5; 4) и график целевой функции – прямую L, которая располагается перпендикулярно вектору целевой функции (рис. 1). Крайней точкой множества планов является точка В(2; 3), в которой пересекаются прямые L₁ и L₂. Решая систему уравнений этих прямых, получаем оптимальное решение задачи:

х₁ = 2, х₂ = 3 и Z_min= 5х₁ + 4х₂ = 5·2 + 4·3 = 22.

Следовательно, самый дешёвый набор для профилактического приёма включает 2 грамма витаминного комплекса К₁ и 3 грамма витаминного комплекса К₂. Стоимость этого набора в 22 усл. ден. ед. будет наименьшей.

При анализе динамики некоторых химических процессов получают математические модели, представленные дифференциальными уравнениями. Для некоторых химических реакций скорость реакции пропорциональна произведению концентраций двух реагирующих веществ, причём в процессе реакции одна молекула первого вещества реагирует с одной молекулой второго вещества. Проблема определения количества у вещества, возникшего к моменту времени t, если начальная концентрация первого и второго реагентов соответственно равны а и b относится к теории дифференциальных уравнений.

Так после образования у молей нового вещества концентрация раствора первого реагента (а – у), а второго (b – у). Из условия задачи следует, что у' = к·(а – у)·(b – у) есть дифференциальное уравнение химической реакции. Если начальные концентрации обоих реагентов одинаковые (а =b), то получаем у' = к·(а – у)².

Применяя алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, получаем у = а – . Так как при t = 0 количества вещества было у = 0, то 0 = а – , откуда С = . Значит, искомая величина у = а – . Если t → +∞, то у → а. Это значит, что реакция происходит полностью (получается столько же молекул вещества, сколько было пар молекул реагентов).

Использование математических методов позволяет формально описать наиболее важные, существенные связи, а также из чётко сформулированных исходных данных можно сделать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и выбранные предпосылки.

Характеризуя математику как метод, можно сказать, что основным путём применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Здесь уместно вспомнить слова А. Пуанкаре о том, что математика – это искусство давать разным вещам одно наименование.

Литература

1. Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник. – М.: Инфра – М, 2003. – 656 с.

2. Ермаков В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. – М.: ИНФРА – М, 2004. – 575 с.

3. Попов А.М., Сотников В.Н. Высшая математика для экономистов. Учебник. – М.: Юрайт, 2015. – 564 с.

4. Савченко, А.А. Витамины как основа иммунометаболической терапии / А.А. Савченко, Е.Н. Анисимова, А.Г. Борисов, А.Е. Кондаков. – Красноярск: Издательство КрасГМУ, 2011. – 213 с.

Код для цитирования: Скопировать