IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Широкое развитие трубопроводной транспортировки нефти и газа ставит ряд задач математического моделирования сложных трубопроводных систем в стационарных, нестационарных, аварийных и нормальных режимах. Моделирование работы трубопроводов на участке эксплуатации требует учета множества различных факторов и определяется решением системы уравнений в частных производных, включающих в себя гидравлические характеристики линейных участков и перекачивающих станций.

Главным вопросом при расчете трубопроводов является обоснование выбора расчетной модели. Необходимо четкое определение границ при выборе предпочтительного применения стационарной модели. Практическая необходимость данного разграничения заключается в применении более простой модели для системы с небольшими изменениями параметров, которые не повлечет, впоследствии, недопустимых погрешностей.

В данной работе рассмотрена конкретная модель стационарного расчета режима работы трубопровода. Модель сформулирована с использованием законов сохранения массы и количества движения, при этом использован ряд допущений:

1.     Жидкость идеальна.

2.     Процесс с распределенными параметрами.

3.     Трубопровод не имеет отводов.

4.     Трубопровод не имеет перепадов по высоте.

5.     Движение нефти в трубопроводе ламинарное.

6.     Процесс изотермический.

В работе представлено моделирование статического режима работы трубопровода методом конечных элементов (МКЭ). Метод конечных элементов представляет собой эффективный численный метод решения инженерных и научных задач. МКЭ – метод решения уравнений в частных производных, применяемый в первую очередь в прикладной механике, широко используется для решения задач теплообмена, гидродинамики и т.п. С точки зрения вычислительной математики, идея метода заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти. Главной задачей метода является определение искомой функции (величины) в узловых точках на области разбиения исследуемого объекта. Узловые значения искомой величины должны быть подобраны  таким образом, чтобы обеспечивалось наиболее точное приближение к истинному распределению. Подбор осуществляется путём минимизации некоторой величины, связанной с физической сущностью задачи. Процесс минимизации функционала сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений искомой величины.

МКЭ обладает рядом преимуществ:

1. Свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к телам, составленным из нескольких материалов.

2. Криволинейная область может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов или описана точно с помощью криволинейных элементов.

3. Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы, если в этом есть необходимость.

4. С помощью МКЭ не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.

Для получения модели исследуемой системы используются уравнения законов сохранения массы (1) и количества движения (2) в интегральной форме.

На рисунке 2 представлено разбиение трубопровода на элементы с указанием узловых точек

 Рис. 2. Разбиение трубопровода на элементы

Для моделирования статического режима линейного нефтепровода воспользуемся уравнением (3 - 4) с граничными условиями (5)

где ΔР – единичный скачек.

Чтобы найти функционал  рассмотрим объемный интеграл (6)

Функция замены для i элемента интеграла (6) в конечных разностях имеет следующий вид (7):

В соответствии с (6) проведем замену для каждого элемента отдельно, с учетом того, что

Функции замены для 1,2,3,4 элементов интеграла:

Следовательно, функционал будет иметь вид:

Вычислим производные функционала

Используя (15)-(17) получаем глобальную матрицу жесткости К (18):

С учетом граничных условий (5) математической модели, запишем глобальный вектор нагрузки F (19):

 Далее для получения давления в узловых точках х2, х3, х4  решим систему линейных алгебраических уравнений с помощью встроенной функции lsolve и получим распределение давления в трубопроводе (20):

Интерпретируем результаты численного моделирования и аналитического распределения давления по длине трубопровода (21):

На рисунке 3 представлен график распределения давления (аналитическое решение) и значения давления в точках х1, х2, х3, х4, х5 , полученные с помощью МКЭ:

Ниже представлены скриншоты (см. рис.4-8) реализации численного моделирования стационарного режима работы трубопровода МКЭ в среде MathCad 15:

Таким образом, можно сделать вывод о том, что численная модель, полученная методом конечных элементов, имеет высокую степень точности. Об этом свидетельствует графическая интерпретация, на которой видно что полученные значения давления в узловых точках соответствуют значениям функции на выбранных для моделирования участках х1 - х5 . Следовательно модель является адекватной и соответствует законам гидродинамики.