IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Введение

Классическим средством изучения математических моделей и исследований на их основе свойств реальных объектов являются аналитические методы. Эти методы дают наиболее полную информацию о решении задачи, и они до настоящего времени не утратили своего значения. Однако, к сожалению, класс задач, для которого они могут использоваться, весьма ограничен. Поэтому решение, как правило, осуществляется численными методами.

Численные методы представляют собой отдельную область математики и применяются в различных прикладных направлениях. Для решения задач конкретного типа разрабатывается специальное программное обеспечение, основой алгоритмов которого и служат численные методы.

Актуальность темы заключается в том, что использование численных методов упрощает алгоритм решения задачи полагает возможным нахождение решения абсолютно всех классов экстремальных задач.

1 Численные методы

В задачах оптимизации часто необходимо определять точки, в которых производная функции обращается в 0, что является необходимым условием локального экстремума. Итак, возникает целый класс задач, связанных с нахождением решений нелинейных уравнений. Данный класс задач решается с помощью численных методов.

Численные методы — это методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям Численные методы, в отличие от аналитических, дают не общие, а частные решения. При этом требуется выполнить достаточное количество арифметических и логических действий над числовыми и логическими массивами.

Если мы устраним неопределенность в исходных данных и найдем решение с помощью какого-либо численного метода, то получим результат, не в точности соответствующий исходным данным в силу погрешности численного метода.

Дадим некоторые понятия из теории погрешностей вычислительных действий над приближенными величинами.

Пусть х – это точное, но неизвестное значение некоторой величины, а – это ее известное приближенное значение.

Абсолютной погрешностью приближения называется разность (в общем случае имеет размерность величины x).

Относительная погрешность приближения обозначается δ и выражается отношением (δ – безразмерная величина, ). Часто величина δ вычисляется в процентах, и тогда она умножается на сто. Так как величина x, как правило, неизвестна, а погрешность необходимо определять, то в рассмотрение вводится предельная абсолютная погрешность:

Раскрывая в этом неравенстве модуль, получаем соотношение, задающее отрезок, которому принадлежит точное значение:

Таким образом, величина x находится в ∆-окрестности (дельта-окрестности), определяемой величинами и .

Предельная относительная погрешность приближения определяется отношением

Такие погрешности оцениваются при рассмотрении численных методов. Эти оценки могут производиться до выполнения вычислений (априорные оценки) и после них (апостериорные оценки).

Как правило, численный алгоритм решения задачи завершается, если погрешность меньше заданной заранее величины.

1. Метод деления пополам.Простейшим методом нахождения корней уравнения является метод деления пополам или дихотомия.

Этот метод является интуитивно ясным и каждый действовал бы при решении задачи подобным образом.

Алгоритм состоит в следующем.

Предположим, мы нашли две точки и , такие что и имеют разные знаки, тогда между этими точками находится хотя бы один корень функции .

Поделим отрезок пополам и введем среднюю точку .

Тогда либо, либо .

Оставим ту половину отрезка, для которой значения на концах имеют разные знаки. Теперь этот отрезок снова делим пополам и оставляем ту его часть, на границах которой функция имеет разные знаки, и так далее, достижения требуемой точности.

2. Метод Ньютона.Классический метод Ньютона или касательных заключается в том, что если – некоторое приближение к корню уравнения , то следующее приближение определяется как корень касательной к функции , проведенной в точке .

Уравнение касательной к функции в точке имеет вид:

В уравнении касательной положим и .

Тогда алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона состоит в следующем:

Сходимость метода касательных квадратичная, порядок сходимости равен 2.

3. Метод секущих.Чтобы избежать вычисления производной, метод Ньютона можно упростить, заменив производную на приближенное значение, вычисленное по двум предыдущим точкам:

Итерационный процесс имеет вид:

где .

Отметим, что вблизи корня приходится делить на малое число, и это приводит к потере точности.

4. Метод простых итераций.Задачу нахождения решений уравнений можно формулировать как задачу нахождения корней: , или как задачу нахождения неподвижной точки: .

Неподвижная точка может быть найдена как предел простой итерационной процедуры

где начальное приближение – произвольная точка промежутка .

Если функция F дифференцируема, то удобным критерием сжатия является число q. Действительно, по теореме Лагранжа

.

2 Комбинированный метод

Комбинируя метод хорд и метод Ньютона, можно построить метод отыскания вещественных корней уравнения f(x) = 0, в котором при прежних предположениях относительно f(x) на каждом шаге итерационного процесса мы получаем два приближения к корню и , причем где с –точное значение корня.

1. Условия на применение метода те же, что и в методе Ньютона.

Пусть известен отрезок [a, b], который содержит один корень уравнения: f(x) = 0. Функция f(x) является дважды непрерывно дифференцируемой на [a, b]. Функция f принимает на концах отрезка [a, b] значения разных знаков (). Первая и вторая производные функции f не обращаются в ноль на отрезке [a, b]

2. Возможны два случая:

• если , то слева применяем метод Ньютона, а справа метод хорд. Формулы метода:

• если , то слева применяем метод хорд, а справа метод Ньютона (метод касательных). Формулы метода:

В качестве точек начального приближения выбираются:

4. Условие остановки итерационного процесса: , при выполнении этого условия любая точка из отрезка приближает корень уравнения с точностью .

На рисунке 1 иллюстрируется применение комбинированного метода хорд и касательных. В рассматриваемом случае справа применяется метод Ньютона, а слева – метод хорд.

Рисунок 1 – Геометрический смысл комбинированного метода хорд и касательных

3 Реализация комбинированного метода в среде программирования Паскаль-ABC

Построить алгоритм для уточнения корня уравнения комбинированным методом хорд и касательных с точностьюна отрезке .

Решение

1. Отрезок содержит один корень уравнения, и выполняются все условия для применения метода Ньютона:

2. Определим, какой из методов нужно применять слева, а какой справа:

Следовательно, слева применяем метод хорд, а справа – метод касательных (Ньютона). Запишем формулы:

3. Точки начального приближения:

.

4. Условие остановки итерационного процесса:

.

Приближенное значение: .

При выполнении условия остановки итерационного процесса х* является приближенным значением корня уравнения, полученным комбинированным методом хорд и касательных с точностью .

На рисунках 2 и 3 изображено реализация решения данного уравнения в среде пакета Паскаль-ABC. Получившееся значение представлено на рисунке 4.

Рисунок 2 – Реализация комбинированного метода решения в среде пакета Паскаль-ABC

Рисунок 3 – Реализация комбинированного метода решения в среде пакета Паскаль-ABC

Рисунок 4 – Получившееся значение корня, найденного комбинированным методом

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа показывает широкие возможности работы с пакетами Паскаль-ABC. Результатом данного исследования является разработка программ по нахождению корня функции с помощью комбинированного метода, включающего в себя элементы метода Ньютона и метода хорд. Результаты вычислений по нахождению экстремума функции в среде пакета программирования Паскаль-ABC.

Код для цитирования: Скопировать