IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Теплообменная аппаратура составляет весьма значительную часть технологического оборудования в нефтехимической и смежных отраслях промышленности. Удельный вес теплообменного оборудования составляет на предприятиях химической промышленности в среднем 15-18%, в нефтехимической и нефтеперерабатывающей промышленности – 50% [1]. Это объясняется тем, что почти все основные процессы химической технологии (выпаривание, ректификация, сушка и др.) связаны с необходимостью подвода или отвода теплоты.

Актуальность работы заключается в том, что использование математических моделей, численных методов, специализированных пакетов и ЭВМ является необходимым условием при решении задач моделирования, расчета и проектирования процессов и аппаратов нефтехимической промышленности. От его эффективного функционирования в значительной степени зависит протекание всего технологического процесса и качества выпускаемой нефтехимической продукции.

Рассмотрим моделирование широко распространенного в химической технологии теплообменника «труба в трубе», изображенного на рисунке 1, структура потоков которого соответствует модели «вытеснение-вытеснение».

Рисунок 1 − Теплообменник типа «труба в трубе»

Для данного теплообменника, называемого прямоточным, математическая модель имеет вид:

,

,

где T = T₁ – T₂.

При этом значения Т₁ и Т₂ изменяются по длине соответствующих зон идеального вытеснения. Цель работы: построить математическую модель и рассчитать теплообменный аппарат с известной структурой потоков.

Требуется, при заданных параметрах горячего и холодного потоков теплообменника:

а) рассчитать его длину, необходимую для эффективного охлаждения при прямотоке и противотоке;

б) построить графики изменения температур холодного и горячего потоков по длине рассматриваемого теплообменника.

Рассмотрим математическое описание распространенного в химической технологии теплообменного аппарата при следующих допущениях:

• структура потоков соответствует модели «вытеснение-вытеснение»;

• перенос тепла осуществляется в стационарном режиме;

• плотность, теплоемкость, теплопроводность для каждого теплоносителя постоянны;

• теплообмен с внешней средой отсутствует;

• пренебрегаем термическим сопротивлением стенки теплообменника.

Принятые выше допущения значительно упрощают математическую модель, позволяя перейти от дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Исходные данные для моделирования:

1. конструкционные параметры и тип теплообменника;

2. тепловая нагрузка на теплообменник (тепло горячего потока)

Q =·C_р··(Т⁰ – Т^к),

где –объемная скорость потока (расход);

1. параметры хладоагента.

Математическое описание теплообменника состоит из уравнений теплового баланса по обоим потокам:

для прямотока

где: Т и Т_х – текущие значения температур, соответственно горячего и холодного потоков, ⁰С;

Х – текущее значение длины теплообменника, м;

К_Т – коэффициент теплопередачи от горячего потока хладоагенту, ккал / (м² час);

F = π^. d – поверхность теплообмена на единицу длины, м²;

d – диаметр внутренней трубы, м; V, V_x– объемные скорости горячего и холодного потоков, м³/с;

Сp, C_px – теплоемкость горячего и холодного потоков, ккал / (кг ^{. 0}С);

, – плотности горячего и холодного потоков, кг/м³.

Запишем начальные условия для нашей системы:

Х = 0 Т _Х=0 = Т⁰ ,

Т = Т⁰ или

Т_х = Т_х⁰ Т_ХХ=0 = Т_х⁰ ,

где: Т⁰, Т_х⁰ – начальные значения температур горячего и холодного потоков, соответственно.

Для противотока

Краевые условия для противотока:

Х = 0 Т _Х=0 = Т⁰ ,

Т = Т⁰ или

Т_х = Т_х^К Т_ХХ=L= Т_х⁰ .

Краевые условия получены из уравнения теплового баланса:

(Т⁰ − Т^К) = V_x·_х (Т_x^K− Т_x⁰), откуда получаем формулу для расчета конечной температуры холодного потока:

Т_х^К = Т_х⁰ + (Т⁰ − Т^K) .

Для вывода дифференциальных уравнений запишем тепловой баланс теплообменника:

для прямотока

d_X

ρ, Ср, V, Tº Tº Tº+ dT ρ, Ср, V, T^K

ρ_x, Cp_X, V_X,T_Xº T_X T_X+dT_X ρ_x, Cp_X, V_X,T_X^K

для горячего потока

ρ·Cp·V·T - ρ·Cp·V· (T+dT) + K_T·π·d· (T_X−T) ·d_X= 0 ,

ρ·Cp·V·T − ρ·Cp·V·T − ρ·Cp·V· dT + K_T·π·d· (T_X−T) ·d_X= 0 ,

− ρ·Cp·V· dT + K_T·π·d· (T_X−T) ·d_X= 0 , окончательно:

для холодного потока

ρ_X·Cp_X·V_X·T_X − ρ_X·Cp_X·V_X· (T_X+dT_X) + K_T·π·d· (T−T_X) ·d_X = 0 ,

ρ_X·Cp_X·V_X·T_X − ρ_X·Cp_X·V_X· (T_X+dT_X) + K_T·π·d· (T−T_X) ·d_X = 0 ,

ρ_X·Cp_X·V_X·T_X − ρ_X·Cp_X·V_X·T_X − ρ_X·Cp_X·V_X·dT_X + K_T·π·d· (T−T_X) ·d_X = 0 ,

− ρ_X·Cp_X·V_X·dT_X + K_T·π·d· (T−T_X) ·d_X = 0 , окончательно:

Для движущей силы: в случае горячего потока внешней является Т_х; а в случае холодного потока – внешней является Т;

ρ·Cp·V·T – количество тепла, вносимого потоком V в элементарный объем dV внутренней трубы;

ρ·Cp·V· (T + dT) – количество тепла, уносимого потоком V и элементарный объем dV внутренней трубы;

q= K_T·π·d·(T_х −T) ·d_X– количество тепла, переданного за счет теплопередачи через поверхность S = π·d·d_X внутренней трубы.

Для противотока тепловой баланс теплообменника имеет вид:

d_X

ρ, Ср, V, Tº T T+ dT ρ, Ср, V, T^K

ρ_x, Cp_X, V_X,T_X^K T_X T_X+dT_X ρ_x, Cp_X, V_X,T_Xº

для горячего потока

ρ·Cp·V·T − ρ·Cp·V· (T+dT) + K_T·π·d· (T_X− T) ·d_X= 0 ,

ρ·Cp·V·T − ρ·Cp·V·T − ρ·Cp·V· dT + K_T·π·d· (T_X− T) ·d_X= 0 ,

− ρ·Cp·V· dT + K_T·π·d· (T_X− T) ·d_X= 0 ,

окончательно:

для холодного потока

ρ_X·Cp_X·V_X· (T_X+dT_X) − ρ_X·Cp_X·V_X·T_X + K_T·π·d· (T −T_X) ·d_X = 0 ,

ρ_X·Cp_X·V_X·T_X − ρ_X·Cp_X·V_X·T_X + ρ_X·Cp_X·V_X·dT_X + K_T·π·d· (T −T_X) ·d_X = 0 ,

ρ_X·Cp_X·V_X·dT_X + K_T·π·d· (T −T_X) ·d_X = 0 ,

окончательно:

Таким образом, для математического моделирования стационарного теплового поля кожухотрубного теплообменника в режимах прямотока и противотока получены системы дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями.

Для численного решения полученных систем дифференциальных уравнений в среде пакета Mathcad используется встроенная функция rkfixed(y,x1,x2,m,D). Данная функция реализует численный алгоритм метода Рунге-Кутты четвертого порядка с фиксированным шагом разбиения отрезка интегрирования. Кроме этого, пакет Mathcad содержит широкий набор функций для численного решения ДУ, которые используют специфические свойства конкретного дифференциального уравнения, чтобы обеспечить достаточное быстродействие и точность при поиске решения.

Реализация математической модели теплообменника для прямотока в среде пакета Mathcad.

Математическое описание теплообменника для прямотока состоит из уравнений теплового баланса по обоим потокам:

или

где

и

Систему дифференциальных уравнений дополним краевыми условиями – температурой соответствующего потока на входе теплообменника при Х = 0. Начальная температура горячего потока. Т⁰ составляет 31^оС, а холодного Т_х⁰ – 15^оС.

Таким образом, краевые условия для системы дифференциальных уравнений для режима прямотока имеет вид:

Т _Х=0 = Т⁰ ,

и

Т_хХ=0 = Т_х⁰ .

Mathcad-документ решения системы ДУ с помощью встроенной функции rkfixed представлен на рисунке 2.

Рисунок 2 – Mathcad-документ расчета профиля температур в случае прямотока

Реализация математической модели теплообменника для противотока в среде пакета Mathcad. Метод начального параметра.

Математическая модель теплообменника для противотока состоит из уравнений теплового баланса по обоим потокам:

и краевого условия:

Т _Х=0 = Т⁰ ,

Т_хХ=L= Т_х⁰ .

Для численного решения данной системы дифференциальных уравнений можно использовать метод начального параметра, который заключается в том, что вместо второго краевого при Х=L произвольно задается некоторое граничное значение при Х=0

Т_хХ=0 = Т_х^задан .

После этого система дифференциальных уравнений решается численно с помощью встроенной функции rkfixed. После чего, полученное при решении системы значение Т_х(L) сравнивается с заданным Т_х⁰ . На основании сравнения осуществляется коррекция начального приближения Т_х^задан и расчет повторяется. Данная процедура расчета повторяется до тех пор, пока не выполнится неравенство

|Т_х(L) − Т_х⁰ |

Код для цитирования: Скопировать