IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Интенсивное развитие традиционных и новых отраслей современного производства вызвало повышенный интерес к теоретическому исследованию задач истечения жидкости из резервуаров через отверстия и насадки. Примером могут служить задачи безопасности энерго – и гидротехнического оборудования, интенсификации нефтедобычи, оптимизации процессов искусственного орошения, надежности работы водоочистных сооружений и многие другие.

Сложность экспериментального измерения гидродинамических характеристик большинства указанных технологических процессов приводит к необходимости построения аналитических решений и оценок различных стадий протекания процессов истечения жидкостей.

В связи с этим весьма актуальной является проблема комплексного анализа гидродинамического состояния резервуаров с регулируемыми и нерегулируемыми отверстиями.

Резервуары являются наиболее распространёнными хранилищами различных жидкостей, в том числе нефти и нефтепродуктов. К наиболее существенным технологическим операциям с резервуарами относятся операции заполнения резервуаров и операции опорожнения. Если операция заполнения никаких существенных проблем перед гидравликой не ставит, то опорожнение резервуара может рассматриваться как прямая гидравлическая задача.

Пусть, в самом общем случае, имеем резервуар произвольной формы, т.е. площадь горизонтального сечения резервуара является некоторой функцией его высоты S(x), а площадь отверстия на дне сосуда есть s. Пусть высота уровня жидкости в сосуде в начальный момент времени t = 0 равна h метров.

Известно, что скорость истечения жидкости v в тот момент, когда высота ее уровня равна х, определяется равенством , где g = 9,807 м/с², k ‒ коэффициент скорости истечения жидкости из отверстия. На бесконечно малом промежутке времени dt истечение жидкости можно считать равномерным, а потому за время dt вытечет столб жидкости, высота которого и площадь сечения s, что в свою очередь вызовет понижение уровня жидкости в сосуде на ̶ dx.

В результате этих рассуждений приходим к дифференциальному уравнению

которое можно переписать в виде

или

где f(x) – уравнение образующей резервуара.

В среде математического пакета Mathcad решим следующую задачу на истечение жидкости. Цилиндрический резервуар с вертикальной осью высотой H = 6 метров и диаметром R имеет на дне круглое отверстие радиусом r = 0.09 м. Требуется установить зависимость уровня жидкости в резервуаре от времени t. Для воды, керосина, бензина коэффициент скорости истечения принимается k = 0,6.

Для решения сформулированной задачи Коши с помощью пакета Mathcad используется встроенная функция odesolve. Функция имеет следующий синтаксис:

odesolve(t,b,step),

где t – переменная интегрирования;

b – конец интервала интегрирования;

step – размер шага (необязательный параметр).

Этапы решения:

• ввод ключевого слова Given для использования решающего блока пакета Mathcad;

• задаем дифференциальное уравнение и его ограничения, используя булево равенство (Ctrl=). Дифференциальное уравнение может быть записано с использованием операторов типа или в виде x'(t) и x"(t). Для задания начального приближения вводятся значения для x(t) и его первых производных в начальной точке при t = 0, в нашем случае это x(0) = H. Mathcad проверит правильность типа и числа ограничений;

• вводим функцию odesolve(t,b,step) c переменной интегрирования t и числовыми значениями конечной точки b и шага step. Решение можно представить в виде графика зависимости x(t). Решение в среде пакета Mathcad и вывод результатов моделирования зависимости уровня жидкости в цилиндрических резервуарах высотой 3 метра и радиуса 2, 2.2 и 2.5 метров представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 ‒ Решение и вывод результатов моделирования в среде пакета Mathcad

Полученные результаты могут служить основой получения эффективной априорной информации о распределении гидродинамических характеристик цилиндрических резервуаров. Последнее позволяет, зная законы движения уровня жидкости и скорости истечения, выбирать технологические режимы, повышающие надежность, безопасность и долговечность резервуаров.

Код для цитирования: Скопировать