VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

 

Цель: овладеть навыками составления математической модели задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы и ее решения в среде ЭТ MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» и в среде пакета MathCad c помощью блока Given … Maximize (Given … Minimize).

Краткая теория

Под инвестиционным портфелем понимается совокупность ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу и выступающий как целостный объект управления. Основная проблема при формировании портфеля заключается в распределении инвестором, имеющейся суммы денег по различным альтернативным вложениям так, чтобы наилучшим образом достичь поставленной цели.

Предположим, что инвестиционная фирма может вложить наличный капитал К в следующем инвестиционном периоде ценные бумаги N видов.

Требуется определить соответствующие доли вложений приразличной политике формирования инвестиционного портфеля.

Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:

Таблица 1

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	K	20%	45%	35%

Таблица 2

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа			2-я группа		3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)		r4(t)		r5(t)	r6(t)
1	cj(t)	cj(t)	cj(t)		cj(t)		cj(t)	cj(t)
2	…	…	…		…		…	…
3	…	…	…		…		…	…
4	…	…	…		…		…	…
5	cj(t)	cj(t)	cj(t)		cj(t)		cj(t)	cj(t)

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим x_j − величина капитала, вкладываемая в ценные бумаги j- вида, где j=(1,2,…,N).

2. Запишем целевую функцию – средний или ожидаемый доход E(х) портфеля ценных бумаг.

(1)

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Сумма всех инвестиций равна К:

3.2. Неотрицательность переменных:

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2-3) образуют математическую модель формирования оптимального пакета ценных бумаг.

Существуют различные модели решения задачи:

• Модель 1. Максимизация ожидаемого дохода при ограничении на общий объем инвестиций. Математическая модель имеет вид:

• Модель 2. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы.

Различные виды ценных бумаг можно отнести к различным группам инвестиционного риска. Например: 1-я группа − низкий риск; 2-я группа − средний риск; 3-я группа − высокий риск.

К группе 1 могут быть отнесены обычные облигации, текущие банковские счета, банковские депозитные сертификаты и др. Такие «безопасные» с точки зрения риска инвестиции дают, однако, небольшой доход. К группе 2 могут быть отнесены обычные акции. Доход от таких ценных бумаг выше, но он подвержен значительным колебаниям, что увеличивает риск. К группе 3 могут быть отнесены различные «спекулятивные акции». Курс таких ценных бумаг имеет тенденцию к сильным колебаниям, что увеличивает риск, но ожидаемый доход от них может быть достаточно высок.

Политика фирмы состоит в том, что фирма выделяет из общей суммы наличного капитала определенные доли средств на вложения в бумаги различных групп.

Так, правления многих инвестиционных фирм считают необходимым вкладывать определенную часть капитала в бумаги с низким риском. С другой стороны, большинство инвестиционных фирм ограничивают размеры вложений в обычные и тем более «спекулятивные» акции, так как доход от них подвержен значительным колебаниям. Такие ограничения записываются следующим образом:

где J₁, J₂, J₃− соответственно множества индексов бумаг 1-й, 2-й и 3-й групп;

b₁, b₂, b₃− соответственно максимальные доли вложений в бумаги 1-й, 2-й и 3-й групп.

Целевая функция, как и в модели 1, имеет вид

Данные модели являются моделями ЛП. Оптимальное решение x^*= {x^*_j }, j =1,2,…,N, E^*=E(x^*) может быть найдено с помощью ЭТ Excel.

Исходные данные для составления моделей и расчетов помещены в табл. 1 и 2. Всего рассматривается 6 видов ценных бумаг, т.е. N=6. Предполагается, что к 1-й группе инвестиционного риска относятся бумаги 1-го и 2-го видов, т.е. J₁={1,2}, ко 2-й группе − бумаги 3-го и 4-го видов, т.е. J₂={3,4}, к 3-й группе − бумаги 5-го и 6-го видов, т.е. J₃={5,6}.

Следует иметь в виду, что данные о доходности ценных бумаг, приведенные в табл. 2, − гипотетические, т.е. не соответствуют реальным ценным бумагам, хотя и отражают характер «поведения бумаг» соответствующего типа. Величины b_i, i=1,2,3 указаны в процентах от наличного капитала K.

Пример выполнения

Постановка задачи. Предположим, что инвестиционная фирма может вложить наличный капитал К в следующем инвестиционном периоде ценные бумаги N видов.

Таблица 1

Периоды времени	Капитал К (тыс.ед.)	b1	b2	b3
1,2,3,4,5	100	20%	45%	35%

Таблица 2

Периоды времени t	Доходность
	1-я группа		2-я группа			3-я группа
	r1(t)	r2(t)	r3(t)	r4(t)	r5(t)		r6(t)
1	0,05	0,13	0,1	0,4	1,0		0,5
2	0,08	0,09	-0,2	0,8	-2,0		2,5
3	0,07	0,15	0,0	-0,1	0,0		-1,5
4	0,14	0,11	0,9	0,3	3,0		1,5
5	0,10	0,10	0,3	0,9	-1,0		2,5

Требуется определить соответствующие доли вложений приразличной политике формирования инвестиционного портфеля.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим x_j − величина капитала, вкладываемая в ценные бумаги j- вида, где j = (1,2,…,N).

2. Запишем целевую функцию – средний или ожидаемый доход E(х) портфеля ценных бумаг.

(1)

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Сумма всех инвестиций равна К:

(2)

3.2. Неотрицательность переменных:

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2−3) образуют математическую модель формирования оптимального пакета ценных бумаг.

Решение задачи в среде ЭТ MSExcel. Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде ЭТ MS Excel необходимо:

1. Cоздайте таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.

2. Создайте вторую таблицу, указав в ней переменные математической модели. В ячейках C15:H15 поместите нулевые (начальные) значения искомых переменных х₁,х₂,…, х₆.

3. В ячейку F20 введите формулу целевой функции. Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке F20 нулевое значение, т.к. пока равны нулю переменные х₁,х₂,…, х₆.

4. Наберите команду Данные → Поиск решения. В появившемся диалоговом окне Поиск решения необходимо выполнить необходимые установки.

5. Щелкните по кнопке Выполнить. Если решение найдено, то появится диалоговое окно:

Щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное решение, имеющее следующий вид:

Excel-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 2. Осторожная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы» представлен ниже.

Диалоговое окно надстройки «Поиск решения» при этом имеет вид:

Найденное оптимальное решение имеет вид:

Excel-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 2.2. Консервативная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы» представлен ниже.

Excel-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 3. Спекулятивная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы» представлен ниже.

Решение задачи с помощью пакета MathCad осуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad

MathCad-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 2. Осторожная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы» представлен ниже.

MathCad-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 2. Консервативная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы» представлен ниже.

MathCad-документ решения задачи формирования оптимального пакета ценных бумаг инвестиционной фирмы «Модель 3. Спекулятивная. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы» представлен ниже.

Код для цитирования: Скопировать