VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Оглавление 

Введение 3

Теоретическая часть 4

Комбинация критерия Гермейера и обобщенного критерия Гурвица относительно рисков 4

Математическая формализация задачи оптимального инвестирования средств на финансовом рынке 9

Применение комбинированного критерия Гермейера-Гурвица на практике 9

Решение задачи оптимального инвестирования 9

Заключение 16

Список литературы 17

Введение

Финансовый рынок обладает традиционной высокой привлекательностью для инвесторов, т.к. дает возможность успешным инвесторам неоднократно преумножать свои первоначальные инвестиции. Поэтому проблемы финансового рынка будет всегда находиться в самом центре внимания финансовой науки. Однако, не смотря на то, что вопросам инвестиций на финансовом рынке посвящен большой объем как зарубежной, так и отечественной литературы, теоретико-игровой аппарат для исследования финансового рынка применяется крайне редко. Вместе с тем, на финансовом рынке сильно развит фактор неопределенности, который складывается под действием различных рисков, присущих финансовому рынку. Поэтому возникает вопрос о применении для изучения поведения инвестора на финансовом рынке теории игр с природой с условиях риска, неопределенности и полунеопределенности.

Целью данной работы является нахождение привлекательных (с точки зрения доходности) для инвестора финансовых инструментов с помощью построения теоретико-игровой модели.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

• Изучить особенности применения теоретико-игровых моделей на финансовых рынках;

• Привести анализ применяемого критерия;

• Построить теоретико-игровую модель, позволяющей определять оптимальную стратегию поведения инвестора на финонсовом рынке, представляющей собой инвестирование средств в предложенные финансовые инструменты;

• Автоматизировать вычисления, необходимые при расчете критерия

Теоретическая часть Комбинация критерия Гермейера и обобщенного критерия Гурвица относительно рисков

Рассмотрим игру с природой, в которой - множество чистых стратегий игрока , - множество состояний природы , - вектор вероятностей состояний природы, удовлетворяющий условиям: , а матрица выигрышей игрока имеет вид:

Тогда матрица Гермейера относительно рисков имеет следующий вид:

Для упрощения записи обозначим элемент Гермейера риска при стратегии , и состоянии природы , следующим образом: . Тогда матрицу Гермейера относительно рисков можно записать следующим видом:

Переставим элементы каждой строки данной таблицы в невозрастающем порядке

где - некоторая перестановка номеров , зависящая от стратегии Ai. Обозначим . Тогда неравенства (1) перепишутся в виде

А матрица Гермейера преобразуется в матрицу :

Пусть – вектор, координаты которого удовлетворяют условиям и несут следующую смысловую нагрузку: количественно характеризует субъективное представление (ощущение, уверенность) игрока в том, что при выборе им любой чист ой стратегии ему будет сопутствовать риск, элемент Гермейера которого имеет -й ранг.

- критерием назовем критерием, по которому:

- показателем неэффективности чистой стратегии , или - показателем неэффективности стратегии , называется число

- ценой игры в чистых стратегиях, или - ценой игры в чистых стратегиях, называется минимальный из показателей неэффективности:

- оптимальной во множестве чистых стратегий, или - оптимальной во множестве , назовем чистую стратегию с минимальным - показателем неэффективности:

Очевидно, что - показатель неэффективности - оптимальной во множестве , стратегии совпадает с - ценой игры:

Распространим теперь - критерий на множество смешанных стратегий.

Пусть игрок придерживается смешанной стратегии , а природа находится в состоянии . Тогда элемент Гермейера риска обозначим :

Так, если стратегия , в частности, является чистой стратегией , то

Расположим элементы в невозрастающем порядке, аналогично:

Где – перестановка чисел , зависящая от стратегии .

Показателем неэффективности смешанной стратегии по критерию или - показателем неэффективности смешанной стратегии назовем число

Ценой игры в смешанных стратегиях по - критерию или - ценой игры в смешанных стратегиях назовем инфинум функции на множестве :

Оптимальной стратегией по - критерию или - оптимальной стратегией во множестве смешанных стратегий назовем стратегию , -показатель неэффективности которой совпадает с - ценой игры в смешанных стратегиях:

Итак, мы доказали теорему о существовании оптимальной по - критерию стратегии во множестве смешанных стратегий.

Таким образом, мы определили - критерий оптимальности стратегий относительно выигрышей и - критерий оптимальности стратегий относительно рисков в играх с природой в условиях полу-неопределенности.

Оба данных критерия позволяют соответственно все выигрыши и все риски при каждой стратегии игрока. (Н., Теоретико-игровое моделирование поведения инвестора на финансовом рынке, 2010) (Г., 2008)

Математическая формализация задачи оптимального инвестирования средств на финансовом рынке

Приведем постановку задачи выбора оптимальной стратегии инвестирования средств на финансовом рынке с помощью построения для этой цели теоретико-игровой модели.

1. Игрок – инвестор, вкладывающий средства в покупку финансовых активов.

2. Чистая стратегия игрока А – покупка одного из предложенных финансовых инструментов (стратегии .

3. Природа – показатель дневной доходности индекса РТС. В качестве возможных состояний природы мы примем принадлежность этого показателя к интервалам, в одном из которых он может находиться.

4. В качестве выигрыша игрока, примем сумму значений показателя дневной доходности цены финансового инструмента за рассмотренный период, покупка которого соответствует стратегии при условии нахождения природы в состоянии .

Таким образом, оптимальность рассмотренных стратегий игрока A будет рассматриваться с точки зрения доходности финансовых инструментов без учета влияния фактора рыночных рисков. (Н., Теоретико-игровое моделирование поведения инвестора на финансовом рынке, 2010)

Применение комбинированного критерия Гермейера-Гурвица на практике Решение задачи оптимального инвестирования

Пусть инвестор решил вложить свои средства в покупку акций одной из российских компаний: «Газпром», «Лукойл», «Норникель», «РАО ЕЭС», «Сургут-нефтегаз», являющихся «голубыми фишками». При этом он предпочитает руководствоваться доходностью от инвестирования, абстрагируясь от риска. Так как выбор акций конкретной компании для большинства инвесторов зависит скорее не от поведения конкретных контрагентов на фондовом рынке, а от складывающихся в данный момент на фондовом рынке конъюнктуры, то для моделирования поведения инвестора было решено использовать модель «игра с природой», в которой игрок A является инвестором.

Возможные чистые стратегии игрока	Смысл стратегии
	Покупка акций «Газпром»
	Покупка акций «Лукойл»
	Покупка акций «Норникель»
	Покупка акций «РАО ЕЭС»
	Покупка акций «Сургут-нефтегаз»

В качестве природы был взят индекс РТС, являющийся основным индикатором российского фондового рынка. Предполагается, что природа может быть в одном из своих состояний , представляющих собой принадлежность доходности индекса РТС соответствующим диапазонам:

Состояние природы	Интервал принадлежности показателя дневной доходности индекса РТС
	(-; -1,5%]
	(-1,5%; -0,5%]
	(-0,5%; 0,5%]
	(0,5%; 1,5%]
	(1,5%; +)

Выигрыши , в результате выбора инвестором стратегии Ai и нахождения природы в состоянии Пj, измерялись доходности акций. По результатам проведенных статистических наблюдений, вектор приближенных вероятностей состояний природы имеет следующий вид: , , , , .

В результате построения рыночной модели получена следующая зависимость между доходностью отдельной акции и доходностью индекса РТС:

Доходность индекса РТС Доходность акции	-2%	-1%	0	1%	2%
«Газпром»	-2,42	-1,25	-0,09	1,08	2,24
«Лукойл»	-2,45	-1,27	-0,09	1,10	2,28
«Норникель»	-2,58	-1,25	0,08	1,41	2,74
«РАО ЕЭС»	-2,25	-1,02	0,20	1,42	2,64
«Сургут-нефтегаз»	-2,99	-1,61	-0,22	1,16	2,54

Используя некоторые приближения, связанные с приравниваем конкретного числового значения целому интервалу, была получена матрица выигрышей, в последней дополнительной строке которой расположены вероятности состояний природы.

	-2,42	-1,25	-0,09	1,08	2,24
	-2,45	-1,27	-0,09	1,10	2,28
	-2,58	-1,25	0,08	1,41	2,74
	-2,25	-1,02	0,20	1,42	2,64
	-2,99	-1,61	-0,22	1,16	2,54
	0,13	0,15	0,30	0,21	0,21

Обозначим приведенную выше матрицу (1) (Н., Оптимизация покупки акций с помощью комбинациикритерия Гермейера и обобщенного критерия Гурвица относительно рисков, 2010)

Приступим к решению поставленной задачи выбора оптимальной для инвестора на рынке акций с помощью комбинированного критерия Гермейера относительно рисков и обобщенного критерия Гурвица относительно рисков.

Нетрудно заметить, что каждая из стратегий строго доминируется стратегией , а потому стратегии нужно удалить из рассмотрения как заведомо невыгодные. В результате из матрицы (1) получим матрицу (2)

	-2,58	-1,25	0,08	1,41	2,74
	-2,25	-1,02	0,20	1,42	2,64
	0,13	0,15	0,30	0,21	0,21

Преобразуем данную матрицу к матрице с неотрицательными элементами, прибавив к каждому ее элементу число, не меньшее абсолютной величины наименьшего элемента. В результате матрица (2) перейдет к следующему виду (3):

	0	1,33	2,66	3,99	5,32
	0,33	1,56	2,78	4	5,22
	0,33	1,56	2,78	4	5,32

В последней строке матрицы (3) расположены показатели благоприятности природы .

На основе матрицы (3) Составим матрицу рисков :

	0,33	0,23	0,12	0,01	0
	0	0	0	0	0,1
	0,13	0,15	0,30	0,21	0,21

Умножая каждый элемент матрицы при состоянии природы на вероятность , получим матрицу Гермейера относительно рисков :

	0,043	0,035	0,036	0,002	0
	0	0	0	0	0,02
	0,13	0,15	0,30	0,21	0,21

Переставим в каждой строке матрицы все элементы в невозрастающем порядке, перейдем к матрице :

	1	2	3	4	5
	0,043	0,036	0,035	0,002	0
	0,02	0	0	0	0
	0,13	0,15	0,30	0,21	0,21

Коэффициенты , выбираются игроком А произвольно, исходя из субъективных соображений. Эту произвольность можно несколько ограничить, формализуя метод выбора, например, в соответствии с принципом невозрастания средних рисков для игрока-пессимиста и в соответствии с принципом неубывания средних рисков для игрока-оптимиста.

Пусть - суммы элементов матрицы по столбцам, а - сумма всех ее элементов. Тогда - доли сумм элементов каждого столбца матрицы в сумме всех ее элементов.

Пусть игрок настроен пессимистично, тогда, в соответствии с принципом невозрастания средних рисков, коэффициенты , можно выбрать равными .

Подсчитываем по формуле (3) показатели неэффективности стратегий и , получаем:

Сравнивая полученные значения, приходим к выводу, что оптимальной стратегией является стратегия с наименьшим показателем неэффективности.

Если же игрок настроен оптимистично, то коэффициенты , можно выбрать в соответствии с принципом неубывания средних рисков. В этом случае получаем: .

Тогда показатели неэффективности стратегий и будут равны:

Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу о том, что оптимальной стратегией снова является стратегия с наименьшим показателем неэффективности.

Таким образом, по комбинированному критерию Гермейра-Гурвица оптимальным вариантом инвестирования является покупка акций «РАО ЕЭС».

Заключение

В результате проведенной работы были получены следующие результаты:

1. Проанализирована литература на предмет применения теоретико-игровых моделей на финансовом рынке;

2. Определен критерий оптимальности стратегий в играх с природой относительно рисков;

3. Тщательно разобран аппарат комбинированного критерия Гермейера относительно рисков;

4. Разработана теоретико-игровая модель поведения инвестора на финансовом рынке.

В основе данной работы лежало применение комбинированного критерия Гермейера-Гурвица относительно рисков для задачи оптимального инвестирования. Стоит отметить, что использование этого критерия позволяет сравнительно недолго и просто получить желаемый результат. Данный критерий, в отличие от критерия Гермейера относительно рисков, не является критерием крайнего пессимизма. Комбинированный критерий Гермейера-Гурвица идеально сглаживает все экстремальности и учитывает все элементы матрицы. По вышеперечисленным причинам использование такого критерия в задаче оптимального инвестирования является целесообразным и обоснованным.

Список литературы

Лабскер Л. Г. (2008). Теория критериев оптимальности и экономические решения. Москва: КноРус.

Гулюгин А. Н. (2010). Оптимизация покупки акций с помощью комбинации критерия Гермейера и обобщенного критерия Гурвица относительно рисков. Вестник ФА .

Гулюгин А. Н (2010). Теоретико-игровое моделирование поведения инвестора на финансовом рынке.

Код для цитирования: Скопировать