VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Теоретическая справка

Итак, в качестве математической модели будем рассматривать игру с Природой, в которой заняты два участника. Один из них – сознательный участник, назовем его Игроком, обладающий чистыми альтернативными стратегиями , из которых он может осознанно выбрать наиболее выгодную для себя, оптимальную в смысле определенного критерия оптимальности. В качестве другого участника игры рассматривают условия, в которых приходиться Игроку принимать решение о выборе стратегии и которые существенно влияют на результаты выбора Игрока. Этого участника называют Природой, которая неосознанным, неопределенным, случайным образом может пребывать в одном из своих состояний , не преследуя никакой цели и безразлично к возможным результатам игры. Предполагается, что Игрок в состоянии количественно оценить свой «выигрыш» ,; , при каждой выбранной им стратегии , и каждом состоянии природы , . Так как каждый выигрыш снабжен двумя индексами, то массив всех выигрышей удобно представить в виде матрицы A выигрышей игрока размера .

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Если известен вектор вероятностей соответственно состояний Природы , удовлетворяющих условиям:

Тогда говорят о принятии решения в условиях риска. В противном случае говорят о принятии решения в условиях неопределенности. Для завершения описания игры с Природой в общем виде остается определить критерий оптимальности стратегий. Мы введем в рассмотрение комбинированный критерий Гермейра–Гурвица. Для его определения напомним сначала описание критерия Гермейра . Критерий Гермейра для краткости речи будем называть G-критерием. Вероятности состояний Природы, удовлетворяющие условиям (1.1), предполагаются известными. Умножая каждый выигрыш ,; , при состоянии Природы на вероятность этого состояния, мы получим элементы Гермейра (или G-элементы)

; , (1.2)

из которых формируем матрицу Гермейра

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Числа

Где ;

назовем показателями эффективности соответственно стратегий

по G-критерию (или G-показателями эффективности стратегий ).

Если Игрок придерживается своей стратегии , то вероятность выигрыша равна вероятности . Поэтому формула (1.3) говорит о том,

что G-показатель эффективности стратегии есть минимальный выигрыш при стратегии с учетом его вероятности.

Ценой игры G по G-критерию (или G-ценой игры) назовем наибольший из G-показателей эффективности стратегий:

Так как из формул (1.4) и (1.3) следует, что

G-цену игры можно назвать максимином матрицы Гермейра G.

Стратегия считается оптимальной по G-критерию (или G-оптимальной), если ее G-показатель эффективности совпадает сG-ценой игры

G. Можно доказать, что выигрышИгрока при G-оптимальной

стратегии и при любом состоянии Природы не меньше неотрицательной величины, если цена игры G по критерию Гермейра

неотрицательна, и не меньше отрицательной величины , если

цена игры G по критерию Гермейра отрицательна, где

Если Игрок отклонится от своей G-оптимальной стратегии, то он

может выиграть меньше, чем илив соответствующихслучаях.

Критерий Гермейра, по сути, представляет собой критерий Вальда

, но примененный не к матрице A выигрышей Игрока, а к

матрице Гермейра G. Поэтому его можно назвать критерием Вальда с

учетом вероятностей состояний Природы. Критерий Гермейра является критерием крайнего пессимизма Игрока, который (с позиций данного критерия) рассматривает Природу как агрессивно настроенного и

злонамеренно действующего противника. При этом, однако, Игрок

учитывает вероятности состояний Природы. Эта крайне осторожная и

осмотрительная позиция Игрока рассчитана на худший результат вы-

бора стратегии. Такой принцип действия означает, что Игрок не столько заинтересован в крупной удаче, сколько хочет застраховать себя от

неожиданных проигрышей.

При критерий Гермейра превращается в

критерий Вальда .

Теперь опишем максимаксный критерий , применяемый к матрице Гермейра, который для краткости будем называть M-критерием. Максимаксный критерий, применяемый к матрице Гермейра можно назвать максимаксным критерием с учетом вероятностейсостояний Природы.

Наибольший элемент в й строке матрицы Гермейра G

назовем показателем эффективности стратегии по -критерию (или -показателем эффективности стратегии ).

Наибольший из M-показателей эффективности стратегий:

назовем ценой игры по -критерию (или -ценой игры). Подставив равенство (1.5) в равенство (1.6), получим:

В соответствии с этим равенством -цену игры можно назвать также максимаксом матрицы Гермейра G. Из равенства (1.7) очевидно, что -цена игры является наибольшим элементом среди всех элементов матрицы G. Оптимальной по -критерию назовем стратегию , -показатель эффективности которой совпадает с -ценой игры: . Каждая стратегия, в соответствующей строке матрицы G которой стоит максимальный элемент, будет -оптимальной. Можно доказать, что выигрыш игрока при оптимальной стратегии и при любом состоянии Природы не больше неотрицательной величины , если цена игры по максимаксному критерию неотрицательна, и не больше отрицательной величины , если цена игры по максимаксному критерию отрицательна. Оптимальная по -критерию стратегия дает возможность Игроку получить выигрыш, наибольший с учетом вероятности состояния Природы. Максимаксный критерий является критерием крайнего оптимизма Игрока, который в большинстве случаев немотивированно предполагает, что Природа всегда будет находиться в благоприятнейшем для него состоянии, т.е. если он будет придерживаться -оптимальной стратегии, то Природа окажется именно в том состоянии, в котором Игрок получит наибольший выигрыш. Действуя по максимаксному критерию, Игрок большей частью проявляет иллюзорную уверенность в наибольшем выигрыше, неоправданное легкомыслие и крайний оптимизм. Вместе с тем иногда этим критерием пользуются осознанно, например в случае, когда перед Игроком стоит дилемма: либо получить наибольший выигрыш, либо стать банкротом. Максимаксный критерий с учетом вероятностей состояний Природы в определенном смысле противоположен критерию Гермейра.

При максимаксный критерий с учетом вероятностей состояний Природы эквивалентен максимаксному критерию. Наконец, мы можем определить комбинированный критерий Гермейра–Гурвица. Он представляет собой критерий Гурвица , применяемый к матрице Гермейра G. Показатель оптимизма Игрока в критерии Гурвица будем обозначать через позволяет смягчить крайние пессимистические (как при применении критерия Гермейра) и крайние оптимистические (как при применении максимаксного критерия с учетом вероятностей состояний Природы) субъективные представления Игрока относительно состояний Природы при выборе им стратегии действий. Показателем эффективности стратегии по -критерию (или -показателем эффективности стратегии ) назовём число

где и - показатели эффективности стратегии соответственно по -критерию (определённый по формуле (1.3)) и -критерию (определяемый по формуле (1.5)). Показатель эффективности − представляет собой, таким образом, средневзвешенную величину показателей эффективности и с весами , т.е. их выпуклую комбинацию. Ценой игры по - критерию (или -ценой игры) назовем максимальный из -показателей эффективности стратегий (1.8):

Оптимальной по -критерию ( или - оптимальной) назовем стратегию , -показатель эффективности которой совпадает с -ценой игры:

При принятии решения по комбинированному критерию Гермейра–Гурвица на Игрока (являющегося лицом, принимающим решение) ложится большая ответственность, поскольку он на основании собственного опыта, собственных представлений, интуиции или же других факторов выбирает показатель своего оптимизма и, следовательно, – показатель своего пессимизма который существенным образом влияет на понятие оптимальности стратегии. При нулевом показателе оптимизма комбинированный критерий Гермейра–Гурвица превращается, как видно из формулы (1.8), в критерий Гермейра. При максимальном значении показателя оптимизма комбинированный критерий Гермейра–Гурвица превращается в максимаксный критерий с учетом вероятностей состояний Природы. При Игрок при выборе стратегии ведет себя нейтрально. Возможен также вариант выбора показателя оптимизма ∈ λ [0, 1] в зависимости только от матрицы Гермейра G (т.е. в зависимости от выигрышей Игрока и вероятностей состояний Природы) следующим образом .Одной из характеристик состояния Природы , в матрице Гермейра G можно считать среднеарифметическую величину элементов этого столбца:

Очевидно, , где , -среднеарифметический выигрыш Игрока при со- стоянии Природы в матрице выигрышей Игрока.

Расположим числа (1.11) в невозрастающем порядке:

-некоторая перестановка чисел . В качестве показателя оптимизма можно принять число если n-четное, и если -нечетное. Следовательно, пессимизм Игрока будет характеризоваться числом . Из приведенных формул понятно, что

Практическое применение критерия в авиации

Для решения поставленной задачи страхования авиационных рисков с использованием модели игры с Природой (см. пункт Теоретическая часть) проведем следующую математическую формализацию. Положим, что Игроком в игре является страховая компания, обладающая тремя альтернативными чистыми стратегиями, каждая из которых представляет собой определенный вид страхования: = “ Самострахование ”, “ Сострахование ”, “ Перестрахование ”. Пусть Природой являются условия, характеризующие запуск самолёта. Природа случайным образом может пребывать в одном из исключающих друг друга четырех состояниях: “ Взлёт самолёта проходит без происшествий ”, “ При взлёте произошло повреждение самолёта”, “ При взлёте произошла частичная гибель самолёта”, “ При взлёте произошла полная гибель самолёта”. На основании имеющейся статистики можно сделать заключение о том, что эти состояния могут наступать соответственно с вероятностями 0,984, 0,01;0,005;0,001(см. табл. 2), удовлетворяющими, очевидно, условиям (1.1) при . Выигрышами , ,4; , Игрока в модели будем считать расходы страховой компании при выборе ею метода страхования и при состоянии Природы , заданные в табл. 1. Таким образом, выигрыши Игрока неположительные. При идентифицированных данных матрица выигрышей Игрока приобретает следующий конкретный вид (в добавленной строке проставлены вероятности состояний Природы). (2.1):

Отметим, что данная игра является игрой со сравнимыми состояниями Природы .Решить данную игру – значит найти цену игры и оптимальные стратегии в смысле выбранного критерия оптимальности. Поскольку вероятности состояний природы известны, решение будет приниматься в условиях риска. По причине масштабности выплат возмещения при наступлении страхового случая представляется нецелесообразным принимать решение о выборе метода страхования на основании максимаксного критерия с учетом вероятностей состояний Природы, ориентированного на немотивированные максимально благоприятные исходы. Хотя вероятность необходимости осуществления выплат по полному возмещению ущерба весьма мала, но компенсация при выходе из строя отдельных элементов застрахованного спутника все же составляет значительную сумму. Ввиду серьезности космического объекта, подлежащего страхованию, критерий Гермейра является более приемлемым по сравнению с максимаксным критерием с учетом вероятностей состояний Природы. Однако сверхосторожность и крайний пессимизм при применении критерия Гермейра порождают желание применить критерий оптимальности, в котором проявление пессимизма все же не является крайним и присутствует взвешенный оптимизм. На наш взгляд, таким критерием оптимальности является введенный в рассмотрение в п. 3 комбинированный критерий Гермейра–Гурвица с определенным показателем оптимизма . Найдем решение задачи для каждого значения показателя оптимизма . Исходя из матрицы (2.1) и используя формулу (1.2), сформируем матрицу Гермейра (2.2), в предпоследнем и последнем столбцах которой стоят соответственно показатели эффективности стратегий , по критерию Гермейра (определяемые по формуле (1.3) при ), и показатели эффективности стратегий , по максимаксному критерию с учетом вероятностей состояний Природы (определяемые по формуле (1.5) при ). Результаты вычислений округлены до тысячных.(2.2)

По формуле (1.8) показатель эффективности й стратегии в смысле комбинированного критерия Гермейра–Гурвица с показателем оптимизма можно представить в следующем виде:

Подставляя сюда значения и из последних двух столбцов матрицы (2.2), получим:

(2.3) Таким образом, показатель эффективности каждой стратегии является линейной функцией аргумента , заданной на отрезке Поскольку угловые коэффициенты каждой из функций (2.3): 0,121; 0,086; 0,021 положительны, то графики этих функций представляют собой прямые отрезки положительного наклона в полосе . Подставляя в уравнения (2.3) , найдем ординаты соответственно левых и правых концов этих отрезков:

Построим эти отрезки по найденным концам каждого из них:

Решив уравнения:

найдем абсциссы : точек пересечения отрезка с отрезком , отрезка с отрезком и отрезка с отрезком (см. рис.1). По определению (1.9) график цены игры по комбинированному критерию Гермейра–Гурвица с показателем оптимизма в данном конкретном случае выражается следующей формулой:

(2.4)

и представляет собой верхнюю огибающую функций . На рис.1 она выделена жирной ломаной . Следовательно, равенство (2.4) можно переписать в следующем виде:

Тогда в соответствии с определением (1.10) оптимальной стратегии по комбинированному критерию Гермейра-Гурвица решение задачи можно представить следующей итоговой таблицей:

	Критерий оптимальности	Цена игры	Оптимальная стратегия	Оптимальный вид страхования
	Критерий Гермейера	-0,031		Перестрахование
	Комбинированный критерий Гермейра–Гурвица			Перестрахование
	То же			Самострахование, перестрахование
	То же			Самострахование
	Максимаксный критерий с учетом вероятностей со- стояний Природы	0		Самострахование

Выясним, какой из методов страхования является оптимальным по комбинированному критерию Гермейра–Гурвица с показателем оптимизма, вычисленным по предложенному выше методу в зависимости от матрицы Гермейра. Для этого из элементов матрицы (2.2) по формуле (1.11) находим:. Расположим найденные числа в невозрастающем порядке: . Следовательно,. Так как – число четное, то показатель оптимизма и, следовательно, показатель пессимизма . Так как то из итоговой таблицы заключаем, что при этом показателе оптимизма оптимальным видом страхования является самострахование.

Список используемой литературы

1. Лабскер Л.Г. О некоторой общей схеме формирования критериев оптимальности в играх с Природой//Вестник Финансовой академии. 2000. № 2. С. 61-76.

2. Лабскер Л.Г., Яновская Е.В. Общая методика конструирования критериев оптимальности решений в условиях риска и неопределенности // Управление риском. 2002. № 4. С. 13-24.

3. Лабскер Л.Г. Обобщенный критерий пессимизма-оптимизма Гурвица // Финансовая математика. М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2001. С. 401-414.

4. Шахов В.В. Страхование. М.: Юнити, 2003

5.Лабскер Л.Г., Штохова.И.Н . Вестник ФА. Анализ задачи страхования космических рисков с применением комбинированного критерия Гермейера–Гурвица.

Код для цитирования: Скопировать