VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Введение

В медицинской деятельности врачи очень часто оказываются в ситуации, когда приходится принимать решения в условиях недостатка информации, или её отсутствия, поскольку человеческий организм - это сложная биологическая система, которая постоянно взаимодействует с изменяющимися условиями окружающей среды. Тот факт, что между признаками, симптомами и заболеваниями присутствует частичная неопределённость, придает медицинским решениям вероятностный характер и является причиной врачебных ошибок [1].

Современной медицинской отрасли необходимо применение адекватных математических методов и моделей, использование которых позволяет получить количественные оценки различных диагностических показателей, минимизировать ошибки на всех этапах лечения больного и принимать обоснованные решения в процессе назначения лечения. В этом в первую очередь могут оказать помощь методы теории игр.

Теория игр - это раздел математики, ориентированный на построение формальных моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Теорию игр используют при выборе оптимальных решений в военных и правовых конфликтах, в процессе принятия экономических решений.

В данной работе мы рассмотрим применение теории игр в медицине.

В первой части данной работы рассмотрены теоретические основы теории игр, в частности игры с природой в условиях полной неопределённости и в условиях риска. Для игр с природой в условиях полной неопределённости рассмотрены следующие критерии принятия решений: критерий Вальда (максиминный), критерий максимакса, критерий Сэвиджа и критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма, критерий произведений). Для игр с природой в условиях риска рассмотрен критерий Байеса-Лапласа.

Во второй части работы смоделированы две ситуации из медицинской практики в формализованном виде Данные ситуации относятся к классу игр с природой, так как против такого игрока как врач выступает игрок – болезнь. Так как целью болезни не является минимизация проигрыша, такую игру невозможно отнести к антагонистическим играм. Первая ситуация относится к играм с природой в условиях полной неопределённости и к её решению применяются критерии Вальда, максимакса, Сэвиджа, Гурвица и произведений. Вторая ситуация относится к играм с природой в условиях риска к её решению применяется критерий Байеса-Лапласа. Решение проводится в редакторе электронных таблиц Excel.

Целью данной работы является подтверждение гипотезы о том, что даже основные элементы теории игр могут успешно применяться в таких сферах деятельности, как медицина.

1. Теоретическая часть

   1. Игры с природой в условиях полной неопределённости

Игра человека с природой отражает конфликтную ситуацию, возникающую при столкновении интересов в выборе решения. Действия природы могут, как наносить ущерб, так и приносить прибыль. В зависимости от степени знания этих закономерностей, определяющих поведение природы, различаются игры с природой в условиях определенности и игры с природой в условиях неопределенности.

Во-первых, поведение природы известно полностью (заданы вероятностями). Во-вторых - действия природы не известны, или изучены частично.

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в нашем случае врач (игрок А). Игрок В (природа) сознательно против игрока А не действует, не имеет цели и случайным образом выбирает очередные «ходы». Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально.

Смоделируем ситуацию, когда врачу надо принять решение по поводу применения действий по лечению пациента в условиях неопределённости. Формализуем данную ситуацию и представим её в виде игры с природой. Пусть врач имеет m возможных стратегий применения действий по лечению пациента: А1,А2, … , Аm, а у пациента сложно диагностируемый диагноз и он под влиянием разных факторов может иметь n возможных состояний (стратегий): П1, П2, ..., Пn, тогда условия такой игры с природой задаются матрицей А выигрышей (потерь) врача:

Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой: не в виде матрицы выигрышей (потерь), а в виде так называемой матрицы рисков R = ||r_ij||_m,n. Величина риска - это размер платы за отсутствие информации о состоя­нии среды. Матрица R может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей (потерь) А.

Рассмотрим немного другую ситуацию. Пусть врач имеет m возможных стратегий применения действий по лечению пациента: А1, А2, … , Аm, а у пациента сложно под влиянием разных факторов может иметь n возможных состояний (стратегий): П1, П2, ..., Пn, и известны вероятности этих состояний: q1, q2,…,qn. Тогда условия такой игры с природой задаются матрицей R рисков: R = ||r_ij||_m,n.

Зная состояние природы (стратегию) Пj, врач выбирает ту стра­тегию, при которой он может получить наилучший результат или потеря его будет минимальной.

r_ij = _j-a_ij, где _j = max a_ij, при заданном j. 1 i m если а_ij - выигрыш

r_ij = a_ij - _j, где _j = min a_ij, при заданном j. 1 i m если а_ij – потери.

Я думаю, что в случае полного отсутствия информации о вероятностях того или иного состояния пациента, то есть в условиях полной неопределённости, для определения оптимальных решений лучше всего использовать следующие критерии: Вальда, максимакса, Сэвиджа и Гурвица.

Рассмотрим каждый из них более подробно.

1.  

   1. Критерий Вальда (максиминный)

С позиций данного критерия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник.

Если в исходной матрице по условию задачи результат a_ij представляет выигрыш врача, принимающего решение, то выбирается решение, для кото­рого достигается значение W = max min a_ij, 1 i m, 1 j n – максиминный критерий.

Если в исходной матрице по условию задачи результат a_ij представляет потери врача, например, смерть пациента или кома, то выбирается решение, для которого достигается значение W = min max a_ij, 1 i m, 1 j n – минимаксный критерий.

По моему мнению, в соответствии с критерием Вальда из всех, самых неудачных результатов, которые могут последовать посте действий врача относительно к пациенту, выбирается самый менее неудачный. Это перестраховочная позиция врача-пессимиста, который предполагает, что скорее всего может быть плохой исход.

1.  

   1. Критерий максимакса

С его помощью определяется страте­гия, максимизирующая максимальные исходы для каждого состояния пациента. Это критерий крайнего оптимизма. Наилуч­шим признается решение врача, при котором достигается максималь­ный результат, равный .

По моему мнению, в медицине бывают часто ситуации, требующие применения такого критерия, и пользуются им не только безоглядные врачи-оптимисты, но и доктора, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены рисковать, и это единственный шанс спасти жизнь человека или уберечь его от инвалидности.

1.  

   1. Критерий Сэвиджа

Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что врач руководствуется не матрицей выигрышей А, а матрицей рисков R:

S = min max r_ij 1 i m, 1 j n.

Я думаю, что применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями избежать большого риска при выборе действий, применяемых к пациенту, а значит, избежать самого худшего результата, который может быть, например, смерти пациента.

1.  

   1. Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма)

Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.

Критерий основан на следующих двух предположениях: пациент после лечения может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1-р) и в самом выгодном состоянии с вероятностью р, где р – коэффициент пессимизма.

Согласно этому критерию врач выбирает стратегию в матрице А в соответствии со значением:

H_A = max  p max a_ij + (1-p) min a_ij  , 1 i m, 1 j n. если a_ij – выигрыш

H_A = min  p min a_ij + (1-p) max a_ij  , 1 i m, 1 j n. если a_ij – потери (затраты)

Применительно к матрице рисков R критерий пессимизма-оп­тимизма Гурвица имеет вид:

H_R = min p max r_ij + (1-p) min r_ij , 1 i m, 1 j n.

Значение р от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности доктора, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности р = 0,5 представляет наиболее разумный вариант.

1.  

   1. Критерий произведений

Правило выбора в этом случае формулируется так:

Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.

Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все a_ij положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг a_ij+а с некоторой константой а> . Результат при этом будет, естественно зависеть от а. На практике чаще всего

а= +1.

Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то критерий произведений не применим.

Я думаю, что мы рассмотрели самые важные критерии, которые целесообразно применять в медицинской практике в условиях полной неопределённости. Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий.

1.  

   1. Игры с природой в условиях риска. Критерии принятия решений

Принятие решений в условиях риска характеризуется тем, что состояние больного после применения лечения имеет случайный характер. Это проявляется в том, что существует некоторая вероятностная мера, в соответствии с которой возникают те или иные состояния пациента. При этом врач, принимающий решение, имеет определённую информацию о вероятностях появления состояний пациента. Например, имеется три состояния пациента B₁, B₂ и B₃, то дополнительная информация о появлении этих состояний может заключаться в том, что состояние B₁ наименее вероятно, а состояние B₃ более вероятно.

Если множество состояний пациента равно m, то вероятностная мера на нём может быть задана вероятностным вектором q=(q₁, q₂, …, q_m), где qj≥0 и .

Таким образом, матрица выигрышей в условиях риска может быть представлена в следующем виде.

Платёжная матрица с вероятностным вектором состояния среды

Решения	Состояния среды
	q1	…	qj	…	qm
	B1	…	Bj		Bm
X1	a11		a1j		a1m
…
Xi	ai1		aij		aim
…
Xn	an1		anj		anm

Выбирая решение Xi, врач знает, что получит один из выигрышей a₁₁, …, a_1m с вероятностями q₁, …, q_m соответственно. Следовательно, исходом для принимающего решение при выборе им решения Xi является случайная величина

.

Итак, сравнение двух решений X₁ и X₂ сводится к сравнению соответствующих им случайных величин ..

По моему мнению, выбор решения в таком случае лучше всего делать с помощью критерия Байеса-Лапласа.

1.  

   1. Критерий Байеса-Лапласа

Этот критерий отступает от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состоянием пациента можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наилучший результат:

Z_BL=.

Я думаю, этот метод предполагает возможность использования доктором какой-либо предварительной информации о состояниях пациента. При этом предполагается как повторяемость состояний больного, так и повторяемость решений врача, и главное, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях пациента.

1. Практическая часть

   1. Постановка и решения задачи в условиях полной неопределённости

Смоделируем следующую ситуацию: имеется больной, который находится в одном из трех (не диагностируемых) состояний {П1, П2, П3}, и этим состояниям соответствуют трем несовместимым заболеваниям:

П1 – острое заболевание, при котором срочная операция необходима;

П2 – заболевание, при котором срочная операция не требуется;

П3 – заболевание, при котором срочная операция противопоказана.

Доктору необходимо принять решение, проводить ли срочную хирургическую операцию. При этом у него имеется две стратегии:

A1 – проводить срочное оперативное вмешательство;

A2 – отказаться от срочной операции.

Представим набор стратегий игрока (врача) и набор состояний природы (болезни), а также матрицу «выигрышей» игрока (матрицу вероятностей смертельного исхода).

Мс	П1	П2	П3
А1	0,04	0,06	0,5
А2	0,3	0,02	0,1

Требуется расчетным путем обосновать оптимальное решение врача в данной ситуации.

Сначала построим матрицу выигрышей (показателей благоприятного состояния пациента), руководствуясь правилом:

Рис. 1.

Матрица выигрышей
Мс	П1	П2	П3
А1	0,96	0,94	0,5
А2	0,7	0,98	0,9

Применим критерий Вальда (максиминный) для принятия оптимального решения:

Критерий Вальда
Мс	П1	П2	П3	min аij	max (min аij)
А1	0,96	0,94	0,5	=МИН(B13:D13)	=МАКС(E13:E14)
А2	0,7	0,98	0,9	=МИН(B14:D14)

Критерий Вальда
Мс	П1	П2	П3	min аij	max (min аij)
А1	0,96	0,94	0,5	0,5	0,70
А2	0,7	0,98	0,9	0,7

По результатам решения с помощью данного критерия врачу следует выбрать стратегию А₂, то есть, отказаться от срочной операции, поскольку риск при этом меньше.

Применим критерий максимакса для принятия оптимального решения:

Критерий максимакса
Мс	П1	П2	П3	max аij	max (max аij)
А1	0,96	0,94	0,5	=МАКС(B18:D18)	=МАКС(E18:E19)
А2	0,7	0,98	0,9	=МАКС(B19:D19)

Критерий максимакса
Мс	П1	П2	П3	max аij	max (max аij)
А1	0,96	0,94	0,5	0,96	0,98
А2	0,7	0,98	0,9	0,98

По результатам решения с помощью данного критерия врачу следует выбрать стратегию А₂, то есть, отказаться от срочной операции, поскольку риск при этом меньше.

Применим критерий Сэвиджа для принятия оптимального решения:

Критерий Сэвиджа
Мс	П1	П2	П3	max rij	min (max rij)
А1	0,04	0,06	0,5	=МАКС(B23:D23)	=МИН(E23:E24)
А2	0,3	0,02	0,1	=МАКС(B24:D24)

Критерий Сэвиджа
Мс	П1	П2	П3	max rij	min (max rij)
А1	0,04	0,06	0,5	0,5	0,30
А2	0,3	0,02	0,1	0,3

По результатам решения с помощью данного критерия врачу следует выбрать стратегию А₂, то есть, отказаться от срочной операции, поскольку риск при этом меньше.

Применим критерий Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма) для принятия оптимального решения:

Критерий Севиджа
Мс	П1	П2	П3	аir	min (max rij)
А1	0,04	0,06	0,5	=B30*МАКС(B28:D28)+(1-B30)*МИН(B28:D28)	=МИН(E28:E29)
А2	0,3	0,02	0,1	=B31*МАКС(B29:D29)+(1-B31)*МИН(B29:D29)
	0,5

Критерий Гурвица
Мс	П1	П2	П3	аir	min (max rij)
А1	0,04	0,06	0,5	0,27	0,02
А2	0,3	0,02	0,1	0,02
	0,5

По результатам решения с помощью данного критерия врачу следует выбрать стратегию А₂, то есть, отказаться от срочной операции, поскольку риск при этом меньше.

Применим критерий произведений для принятия оптимального решения:

Критерий произведений
Мс	П1	П2	П3		max rij
А1	0,96	0,94	0,5	=B34*C34*D34	=МАКС(E34:E35)
А2	0,7	0,98	0,9	=B35*C35*D35

Критерий произведений
Мс	П1	П2	П3		max rij
А1	0,96	0,94	0,5	0,4512	0,62
А2	0,7	0,98	0,9	0,6174

По результатам решения с помощью данного критерия врачу следует выбрать стратегию А₂, то есть, отказаться от срочной операции, поскольку риск при этом меньше.

По моему мнению оптимальная стратегия видна. Для определения стратегии врача при решении делать срочную операцию пациенту или не делать с помощью пяти критериев оптимальной оказалась стратегия А₂ , то есть, отказаться от срочной операции, поскольку риск при этом меньше. Значит оптимальное решение найдено.

.

1.  

   1. Постановка и решения задачи в условиях риска

Рассмотрим этот же пример в случае, когда известны априорные вероятности состояний больного: q(П₁) = 0,3; q(П₂) = 0,5; q(П₃) = 0,2;

В данном случае используем критерий Байеса-Лапласа.

Критерий Байеса -Лапласа
Мс	П1	П2	П3		max (min аij)
А1	0,96	0,94	0,5	=СУММПРОИЗВ(B13:D13;$B$15:$D$15)	=МАКС(E13:E14)
А2	0,7	0,98	0,9	=СУММПРОИЗВ(B14:D14;$B$15:$D$15)
qi	0,3	0,5	0,2

Критерий Байеса -Лапласа
Мс	П1	П2	П3		max (min аij)
А1	0,96	0,94	0,5	0,858	0,88
А2	0,7	0,98	0,9	0,88
qi	0,3	0,5	0,2

По результатам решения с помощью данного критерия врачу также следует выбрать стратегию А₂, то есть, отказаться от срочной операции, поскольку риск при этом меньше.

Заключение

В результате приведения данного примера и принятия решения с помощью инструментов теории игр можно с уверенностью утверждать, что при грамотном подходе теория игр способна спасти жизнь человека почти с единичной вероятностью.

В ходе работы были рассмотрены теоретические основы игр с природой в условиях полной неопределённости и в условиях риска. Были также рассмотрены классические критерии, которые целесообразно использовать в первом и втором случаях.

На основе рассмотренного материала была построена модель, в которой врачу необходимо было принять оптимальное решение: делать срочную операцию пациенту или не делать.

Для определения стратегии врача в условиях полной неопределённости использовалось пять разных критериев в зависимости от начальных условий. Согласно всех критериев было принято оптимальное решение А₂: не проводить срочного хирургического вмешательства.

В рассмотренной задаче при наличии заданных вероятностей согласно критерию Байеса-Лапласа в результате анализа матрицы эффективности игроку следует также придерживаться стратегии A_2.

По моему мнению, можно сделать выводы, что, опираясь на методы теории игр можно построить вполне рабочую модель, имеющую оптимальное решение. Эта модель позволяет докторам в условиях неопределённости и риска выбирать с помощью математических расчётов оптимальные решения, которые обеспечивают получения наиболее позитивных результатов в процессе лечения и минимизируют плохие последствия. При этом очень важно максимально полно описать ситуацию и верно ее формализовать, иначе можно столкнуться с получением противоречивых результатов.

Литература

1. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. – М.: МЗ Пресс, 2006. - 208 с.

2. Лабскер Л.Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения. Монография.-М.: КНОРУС, 2014. - 744 с.

3. Лабскер Л.Г., Ященко Н.А. Экономические игры с природой.-М.: КНОРУС, 2015. - 506 с.

4. Лабскер Л.Г. О некоторой общей схеме формирования критериев оптимальности в играх с природой. // Вестник Финансовой академии, 2000, № 2,

5. Озова, А. А. Теория игр в медицине [Электронный ресурс]: статья / А. А. Озова. – Финансовый университет при Правительстве РФ. – М.: Рос. гос. б-ка, 2013.

6. Колесник, Г.В. Теория игр: Учебное пособие / Г.В. Колесник. - М.: ЛИБРОКОМ, 2013. - 152 c.

7. Петросян, Л.А. Теория игр: Учебник / Л.А. Петросян, Н.А. Зенкевич, Е.В. Шевкопляс. - СПб.: БХВ-Петербург, 2012. - 432 c.

8. Ященко, Н.А. Теория игр в экономике (практикум с решениями задач): Учебное пособие / Л.Г. Лабскер, Н.А. Ященко; Под ред. Л.Г. Лабскер. - М.: КноРус, 2013. - 264 c.

19

Код для цитирования: Скопировать