VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т. д.

Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план решение следующей задачи: требуетсяполучить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.

Для решения поставленной задачи сформулируем её математическую модель, первоначально сведя исходные данные в следующую таблицу:

Компоненты, входящие в состав материалов	Виды исходных материалов					Необходимое количество компонента в смеси
	1	2	…	m
1	a11	a12	…	a1m	b1
2	a21	a22	…	a2m	b2
…	…	…	…	…	…
	an1	an2	…	anm
Цена единицы материала	c1	c2	…	cm

Коэффициенты a_ij показывают удельный вес i-го компонента в единице j-го материала.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи о смесях. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Обозначим через x_j количество материала j-го вида, входящего в смесь j = 1,2, … , m.

2. Запишем целевую функцию, удельную стоимость полученной смеси, которая имеет вид:

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. Ограничения по минимально необходимому содержанию i-ой компоненты в готовой смеси:

где b_i − минимально необходимое содержание i-ой компоненты в готовой смеси.

3.2. Кроме того, на переменные x_j накладываются условия неотрицательности:

x_j ≥ 0, j= 1,…m, (3)

где равенство нулю означает, что данный компонент не входит в смесь.

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2−3) образуют математическую модель задачи о смесях.

Пример выполнения

Постановка задачи. Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в нем − не более 0,005% , а содержание свинца не более Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь из четырех компонентов. Данные о ресурсах смешиваемых компонентов, их себестоимости и их октановом числе, а также о содержании серы приведены в таблице 1:

Таблица 1. Данные к задаче о смеси бензина

Характеристики компонент для производства бензина	Компоненты для производства бензина
	№1	№2	№3	№4
Октановое число	65	75	8	95
Содержание свинца, г/л	0,011	0,010	0,009	0,009
Содержание серы, %	0,07	0,06	0,04	0,03
Ресурсы, тонн	700	200	800	300
Себестоимость, тыс.руб./тонна	9	11	12,8	14,5

Требуется определить, сколько тонн каждого компонента следует использовать для получения 1200 т автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи о смесях. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Введем следующие обозначения: пусть х_j − количество в смеси компонента с номером j (j = 1,2,3,4).

2. Запишем целевую функцию.

В качестве целевой функции выступает себестоимость полученной смеси, которую необходимо минимизировать:

F(X) = 1/1200*(9*x₁ + 11*x₂ + 12,8*x₃ + 1,5*x₄ ) → min. (1´)

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. По количеству получаемого бензина:

x₁ + x₂ + x₃ + х₄ = 1200 . (2´)

3.2. По октановому числу:

(65*х1+75*х2+8*х3+95*х4)/1200≥76 . (3´)

3.3. По содержанию серы:

(0,07*х1+0,06*х2+0,04*х3+0,03*х4)/1200≤0,005 . (4´)

3.4. По содержанию свинца:

(0,011*х1+0,010*х2+0,009*х3+0,009*х4)/1200≤0,011 . (5 )

3.5. Условие неотрицательности рассматриваемых переменных:

х1, х2, х3, х4 ≥ 0 . (5´)

Таким образом, целевая функция (1´) и ограничения (2´− 5´) образуют математическую модель задачи о смеси бензина.

Решение задачи в среде ЭТ MSExcel.

.

5. Далее наберите таблицы ограничений и остатков ресурса.

6. Наберите команду Данные → Поиск решения. В появившемся диалоговом окне надстройки Поиск решения необходимо выполнить необходимые установки.

Решение задачи с помощью математического пакета MathCadосуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:

1. Зададим исходные данные.

2. Присвойте переменным xj начальные (нулевые) значения.

4. Определите целевую функцию F(x1,х2,х3,х4).

3. Введем служебное слово Given и, после него, систему ограничений рассматриваемой задачи.

6. Найдем оптимальное решение с помощью функции Minimize.

7. Вычислим значение минимальной себестоимости.

8. Найдем остаток каждого компонента после выполнения заданного плана выпуска бензина.

.

Код для цитирования: Скопировать