VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Теория игр - это теория математических моделей  принятия оптимальных решений в условиях конфликта или неопределенности. Условия конфликта или неопределенности, или выражаясь в терминах теории игр, игровая ситуация может возникать как между двумя отдельными людьми, так и между предприятиями, а также в играх с природой. В игровых ситуациях с природой в качестве второго игрока выступает природа, которая может принимать различные состояния и тем самым влиять на принятие решения игроком . В своей работе я буду рассматривать в качестве игрока  инвестора, который будет выбирать один из инвестиционных проектов , а в качестве игрока В - природу. Цель моей работы состоит в том, чтобы исследовать возможность выбора инвестиционного проекта, используя критерий Ходжа-Лемана и решить реальную задачу.

Для начала определим, как математическую конструкцию критерий Ходжа-Лемана, а потом выясним, можно ли его применять для выбора инвестиционного проекта.

1.    Теоретическая часть

Прежде чем перейти к рассмотрению критерия, необходимо пояснить отличие игр с природой от антагонистических игр, чтобы ясно понимать особенности таких игр.

В антагонистических играх присутствует неопределенность, состоящая в том, что ни один из игроков не обладает информацией о действиях противника. Тем не менее эта неопределенность в некоторой степени компенсируется определенным предположением каждого из игроков о том, что противоборствующая сторона действует осознанно, выбирая стратегии, наиболее выгодные для себя и наименее выгодные для противника, то есть поведение каждого игрока нацелено на увеличение своего выигрыша или уменьшение проигрыша. Главное отличие игр с природой от антагонистических игр состоит в том, что в игре с природой осознанно действует только один игрок , а именно лицо, принимающее решение (в моей работе это инвестор), в качестве второго игрока выступает природа, но она не является противником игрока , ибо она не действует осознанно против игрока , а принимает неопределенным образом то или иное свое состояние, не преследуя конкретной цели и безразлично к результату игры.[1]

Критерий Ходжа-Лемана (HL) является комбинированным критерием принятия решений в играх с природой. В играх с природой в качестве игрока  выступает природа, поэтому вместо привычного игрока  в антагонистических играх с стратегиями  буду использовать, как и в большинстве изученной литературы, аббревиатуру  в качестве второго игрока со стратегиями . Рассматривая критерий Ходжа-Лемана имеет смысл рассмотреть два случая его применения: относительно выигрышей и относительно рисков.

1.1.          Критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей[2]

Таблица 1. Таблица выигрышей игрока А в игре с природой

А=				...
				...
				...
	...	...	...	...	...
				...
				...

 

Критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей опирается одновременно на критерий Вальда и критерий Байеса.

Пусть у нас имеется некоторая информация о распределении вероятностей состояний природы . При определении оптимальной стратегии по этому критерию задается параметр достоверности , который показывает, насколько мы доверяем указанному выше распределению состояний природы, значение этого параметра находится в интервале . Если степень достоверности велика, то доминирует критерий Байеса, в противном случае - критерий Вальда.

Показатель эффективности чистой стратегии  по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей (HL) является:

 

где

   - показатель эффективности стратегии  по критерию Байеса относительно выигрышей с вектором  распределений вероятностей состояний природы, который определяется по формуле:

 

 - показатель эффективности стратегии  по критерию Вальда, который определяется по формуле:

 

Стоит отметить, что при любом показателе доверия  игрока  распределению вероятностей состояний природы  показатель эффективности стратегии  по критерию Ходжа-Лемана ( ):

 

Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей является максимальное значение среди показателей эффективности чистой стратегии  по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей:[3]

 1.2.          Критерий Ходжа-Лемана относительно рисков

Для того чтобы приступить к обсуждению критерия относительно риска, необходимо пояснить, что мы будем подразумевать под риском.

Определим показатель  как наибольший выигрыш при состоянии  природы , то есть как наибольший элемент в -том столбце матрицы игры:

 

этот показатель характеризуют в теории игр как показатель благоприятности состояния  природы  для увеличения выигрыша

Риском  игрока  при выборе им стратегии  в условиях состояния   природы  называется разность между показателем благоприятности  состояния природы  и выигрышем , то есть разность между выигрышем, который игрок  получил бы, если бы знал заранее, что природа примет состояние , и выигрышем, который он получит при этом же состоянии , выбрав стратегию , то есть[4]

 

Таким образом, риск  игрока  при применении стратегии  в условиях состояния природы  есть упущенная им возможность максимального выигрыша  при этом состоянии природы. Эта упущенная возможность определяется, как это следует из (3) невыигранной частью величины максимального выигрыша .

Из сказанного вытекает, что величину риска можно интерпретировать как своеобразную плату за отсутствие информации о состоянии природы.

Таблица 2. Риски игрока А в игре с природой

R(HL)=				...
				...
				...
	...	...	...	...	...
				...
				...

 

Критерий Ходжа-Лемана относительно рисков опирается одновременно на критерий Байеса и критерий Сэвиджа.

Показателем неэффективности чистой стратегии  по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков  является:

 

где

 - показатель неэффективности стратегии  по критерию Байеса относительно рисков с вектором  распределений вероятностей состояний природы, который определяется по формуле:

 

 - показатель неэффективности стратегии  по критерию Сэвиджа, который определяется по формуле:

 

Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков является минимальное значение среди показателей неэффективности чистой стратегии  по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков:

 

Следует помнить, что критерии оптимальности чистых стратегий по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей и относительно рисков не эквивалентны.[5]

1.3.          Условие применимости критерия Ходжа-Лемана

Критерий Ходжа-Лемана применим в следующих случаях:

• имеется информация о вероятностях состояний окружающей среды, однако эта информация получена на основе относительно небольшого числа наблюдений и может измениться;
• принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;
• при малом числе реализации допускается некоторый риск.

1.4.          Выбор инвестиционного проекта с использованием критерия Ходжа-Лемана[6]

Критерий Ходжа-Лемана можно применять для выбора оптимального инвестиционного проекта относительно выигрышей и относительно риска. Характерным для условий применения данного критерия является неполное доверие инвестора к вероятностным состояниям природы. Это приводит к ситуации, в которой решение принимается уже не в условиях риска и неопределенности, а в условиях полунеопределенности. Показатель эффективности чистой стратегии инвестора относительно выигрышей:

 

 - показатель эффективности стратегии инвестора по критерию Байеса;  - показатель эффективности стратегии по критерию Вальда.

При выборе инвестиционного проекта применяется критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей в том случае, когда в качестве элемента платежной матрицы   выступает некоторая прибыль от -того проекта при -том состоянии природы. В практической части работы я буду рассматривать в качестве прибыли - доходность финансового инструмента, которая рассчитывается как отношение дохода к цене финансового инструмента и выражается в процентах, а в качестве природы будет выступать рынок в целом.

Показатель неэффективности чистой стратегии инвестора относительно рисков:

 

 - показатель неэффективности стратегии инвестора по критерию Байеса;  - показатель неэффективности стратегии по критерию Сэвиджа.

При выборе инвестиционного проекта применяется критерий Ходжа-Лемана относительно рисков в том случае, когда в качестве элемента платежной матрицы   выступает некоторый возможный убыток от i-того проекта при j-том состоянии природы. В практической части работы я буду рассматривать в качестве возможного убытка - риск финансового инструмента, а в качестве природы будет выступать рынок в целом.

2.    Практическая часть

Инвестирование средств в приобретение акций является одним из  самых доступных для широкого круга инвесторов, но в то же время и одним из самых рискованных видов инвестиций.

2.1.          Нахождение оптимальной стратегии по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей

Предположим, что инвестор хочет купить акции одной из трех компаний , продать их через год и получить прибыль. Он располагает информацией о том, что в конце года финансовая ситуация на рынке может принять одно из четырех состояний  таких, что доходность акций будет определяться матрицей:[7]

Таблица 3. Матрица доходностей, выраженных в процентах

	8	4	6	20
	7	7	7	7
	6	12	8	10

Инвестор провел статистическое исследование по историческим данным и выяснил, что рынок принимает состояние  с вероятностью 0.3,  - с вероятностью 0.1,  - с вероятностью 0.4 и  - с вероятностью 0.2. Теперь он хочет выяснить, в акции какой компании ему выгоднее всего инвестировать свои деньги, если он доверяет найденным вероятностям на 40%.

Таким образом, мы имеем в распоряжении платежную матрицу, вектор вероятностей состояния рынка  и коэффициент доверия . Посчитаем показатели эффективности чистых стратегий инвестора относительно выигрышей по критерию Ходжа-Лемана, используя формулу (1):

 

Тогда цена игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей будет посчитана по формуле (2)

 

Таким образом, для инвестора оптимальной стратегией относительно выигрышей по критерию Ходжа-Лемана является стратегия покупки акций третьей компании.

2.2.          Нахождение оптимальной стратегии по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков

Однако инвестор понимает, что ему необходимо учитывать не только доходности, но и риски и следующим шагом к выбору инвестиционного проекта будет поиск акции той компании, риски  по которым будут минимальны.

Составим матрицу рисков для Таблицы 3 по формуле (3)

Таблица 4. Матрица рисков

	0	8	2	0
	1	5	1	13
	2	0	0	10

 

Используя формулу (4) посчитаем показатели неэффективности

 

 

 

Тогда цена игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа-Лемана относительно риска будет посчитана по формуле (5)

 

Таким образом, для инвестора оптимальной стратегией относительно риска по критерию Ходжа-Лемана является стратегия покупки акций первой компании.

Исходя из полученных при помощи критерия Ходжа-Лемана  решений игры в чистых стратегиях, можно отметить, что оптимальной стратегией по рассматриваемому критерию относительно выигрышей является стратегия покупки акций третьей компании, а относительно рисков - стратегия покупки акций первой компании. Этот факт наглядно показывает верность утверждения, записанного в конце параграфа 2.2 настоящей работы.

 3.    Использование программного продукта

Решим задачу при помощи программного продукта MS Excel 2010. Для этого сначала внесем значение элементов матрицы в ячейки, под последней стратегией  вставим вектор вероятностей, как в таблице 1 и ниже вектора вероятности внесем коэффициент доверия . Таким образом, исходные данные принимают вид:

Таблица 5. Исходные данные

 3.1.          Поиск оптимальной стратегии по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей

Решим задачу относительно выигрышей, для этого правее четвертой стратегии природы  будем считать значения  показателей эффективности стратегий  по критерию Байеса относительно выигрышей с вектором . Для этого воспользуемся функцией СУММПРОИЗВ(), которая перемножает поэлементно 2 вектора и суммирует полученные произведения.

Таблица 6. Формулы для подсчета эффективности стратегий   по критерию Байеса относительно выигрышей

 

Теперь посчитаем показатель эффективности стратегии  по критерию Вальда. Для этого воспользуемся функцией МИН(), которая ищет значение минимального элемента в строке.

Таблица 7. Формула для подсчета эффективности стратегий   по критерию Вальда

 

       Теперь посчитаем показатели эффективности стратегий   по критерию Ходжа-Лемана по формуле (1).

Таблица 8. Формула для подсчета показателей эффективности стратегий по критерию Ходжа-Лемана

 

Теперь найдем цену игры по формуле (2) путем максимизации показателей эффективности, используя функцию МАКС(), которая ищет максимальное значение из предложенных аргументов.

Таблица 9. Формула для  подсчета цены игры по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей

 

 

Значение ячейки , значит цена игры 7.36, это значение достигается при выборе третьей стратегии.

3.2.          Поиск оптимальной стратегии по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков

Теперь посчитаем цену игры по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков, для этого построим матрицу рисков по формуле (3). Для этого сначала нужно найти значения  :

Таблица 10. Формулы для подсчета  

 

         Теперь, используя формулу (3), построим матрицу рисков:

Таблица 11. Формула для подсчета элементов матрицы рисков

 

         Далее будем считать значения  показателей неэффективности стратегий  по критерию Байеса относительно рисков с вектором . Для этого опять воспользуемся функцией СУММПРОИЗВ(), которая перемножает поэлементно 2 вектора и суммирует полученные произведения.

Таблица 12. Формула для расчета показателей неэффективности стратегий  по критерию Байеса относительно рисков

 

     Следующим шагом будет подсчет показателей неэффективности стратегий   по критерию Сэвиджа, используя функцию МАКС().

Таблица 13. Формулы для подсчет показателей неэффективности   стратегий по критерию Сэвиджа

 

Теперь посчитаем показатели неэффективности стратегий по критерию Ходжа-Лемана по формуле (4).

Таблица 14. Формулы для подсчета показателей неэффективностей по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков

 

Финальным этапом будет подсчет цены игры относительно рисков по критерию Ходжа-Лемана, который подсчитывается по формуле (5) как минимум от показателей неэффективности.

Таким образом, итоговое решение в MS Excel 2010 поставленной в практической части задачи будет выглядеть следующим образом:

Таблица 15. Решение задачи по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей и относительно рисков

 

Как видим, цена игры относительно рисков , это значение соответствует первой стратегии игрока . Значит, относительно рисков оптимальной будет стратегия .

3.3.          Поиск оптимальной смешанной стратегии по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей

Для нахождения оптимальной смешанной стратегии введем дополнительный столбец P, который будет отражать смешанную стратегию, заполним ячейки следующим образом:

Таблица 16. Формула для подсчета показателя эффективности смешанной стратегии P по Байесу

 

Таблица 17. Формула для подсчета показателя эффективности смешанной стратегии по Вальду

 

Таблица 18. Формула для подсчета показателя эффективности смешанной стратегии по  критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей

 

Теперь, используя поиск решения, мы максимизируем показатель эффективности критерия Ходжа-Лемана, изменяя значения столбца .

 

Рисунок 1. Параметры для нахождения оптимальной смешанной стратегии по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей

 После выполнения Поиска решений, были получены следующие значения: цена игры 7.74 (больше, чем в чистых стратегиях), а оптимальная смешанная стратегия .

Таблица 19. Оптимальное решение в смешанных стратегиях по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей

    3.4.          Поиск оптимальной смешанной стратегии по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков

Теперь найдем оптимальную смешанную стратегию относительно рисков, заполним страницу в Excel следующим образом:

Таблица 20. Формула для подсчета показателя эффективности смешанной стратегии P по Байесу

 

Таблица 21. Формула для подсчета показателя эффективности по критерию Сэвиджа

 

Таблица 22. Формула для подсчета показателя эффективности смешанной стратегии по  критерию Ходжа-Лемана относительно рисков

 

Теперь, используя Поиск решения, с параметрами, заданными как на рисунке 2, найдем решение.

 

Рисунок 2. Параметры для нахождения оптимальной смешанной стратегии по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков

После выполнения Поиска решений, были получены следующие значения: цена игры 3.91 (меньше, чем в чистых стратегиях), а оптимальная смешанная стратегия .

 4.    Заключение

Таким образом, мной был рассмотрен критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей и относительно рисков. На его основе была решена задача выбора инвестиционного проекта, причем на собственном опыте убедилась, что решения задачи по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей и по тому же критерию относительно рисков не эквивалентны в чистых и смешанных стратегиях. Из чего можно сделать вывод, что инвестор сам решает, какую оптимальную стратегию ему выбрать и в зависимости от его предпочтений он может выбрать либо максимальную ожидаемую доходность от проекта и тогда он будет использовать критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей, либо минимальный ожидаемый риск - в этом случае он будет использовать критерий Ходжа-Лемана относительно рисков. Я говорю в обоих случаях «ожидаемый», так как невозможно определить точные значения этих показателей в играх с природой, где в качестве второго игрока выступает природа, которая «играет» не оптимально, так как не может по сути своей преследовать какую-либо  цель, в отличие от игрока  в антагонистических играх.

Следует отметить, что существует множество критериев, которые можно применить для задачи выбора инвестиционного проекта, в своей работе я рассмотрела всего лишь один из них - критерий Ходжа-Лемана и показала на примере как с ним «работать», таким образом, можно сказать, что цель моей работы, поставленная в начале, была достигнута.

5.    Список литературы

• Л.Г.Лабскер, Л.О. Бабешко - Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом, - Москва, изд «Дело», 2001г
• Борлакова А.К. - Диссертация: Моделирование эколого-экономической оценки инвестиционных проектов, Москва 2014
• Лабскер Л.Г., Клюев А. Н. Выбор инвестиционного проекта по критерию Ходжа-Лемана. Часть 1. (Постановка задачи и формирование критерия). // Инновации и инвестиции (научно-аналитический журнал), 2005, № 6, с. 29-44
• Лабскер Л.Г., Клюев А. Н. Выбор инвестиционного проекта по критерию Ходжа-Лемана. Часть 2. (Математическая формализация и решение задачи). // Инновации и инвестиции (научно-аналитический журнал), 2006, № 7, с. 2-10.
• Лабскер Л.Г., Ященко Н.А. Теория игр в экономике. Практикум с решениями задач.-М.:КНОРУС, 2014
• Лабскер Л.Г., Ященко Н.А. Экономические игры с природой. Практикум с решениями задач.-М.:Кнорус, 2015
• Лабскер Л.Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения.-М.: КНОРУС, 2014

Электронный ресурс:

• Е.В. Яроцкая, к.э.н., д. к. э. ТПУ - Лекции: Комбинированные критерии принятия решений в играх с природой.

6.    Собственные мысли по поводу работы

В процессе работы над домашним творческим заданием, а именно в тот момент, когда я описывала критерий, мне очень понравилась концепция составления критерия Ходжа-Лемана, а именно тот факт, что при разработке ученые сумели включить два критерия в один при помощи вполне оправданной линейной комбинации этих двух критериев: Байеса и Вальда - в случае с выигрышами и Байеса и Сэвиджа - в случае с рисками. На примере подсчета критерия Ходжа-Лемана относительно выигрышей: критерий Байеса больше полагается на статистические данные предыдущих периодов, по ним выводится некое распределение  состояний природы. Критерий Вальда - это критерий крайнего пессимизма, то есть показатель эффективности стратегии выбирает наихудший вариант исхода и затем из всех этих показателей выбирает максимальный. На мой взгляд, коэффициент  очень гармонично вписывается в качестве коэффициента доверия, то есть у инвестора существует выбор: в какой степени доверять посчитанным вероятностям при помощи статистических данных. Если , то есть это фактически говорит о том, что инвестор не доверяет полученному вектору вероятностей, тогда по критерию Вальда он выбирает ту стратегию, которая показывает наилучший из наихудших результатов. Если же , то есть он на 100% уверен, что вероятности найдены правильно, тогда он уже использует критерий Байеса и по нему находит наилучший результат. Конечно  - это субъективная оценка собственной уверенности и у разных людей она может быть разная, однако она помогает выразить математическим языком свое внутреннее отношение и, по-моему, это удивительно.

---

[1] Л.Г.Лабскер, Л.О. Бабешко - Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом, - Москва, изд «Дело», 2001г - с. 306

[2] На основе Е.В. Яроцкая, к.э.н., д. к. э. ТПУ - Лекции: Комбинированные критерии принятия решений в играх с природой.

[3] На основе Е.В. Яроцкая, к.э.н., д. к. э. ТПУ - Лекции: Комбинированные критерии принятия решений в играх с природой.

[4] Л.Г.Лабскер, Л.О. Бабешко - Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом, - Москва, изд «Дело», 2001г - с. 308

[5] На основе Е.В. Яроцкая, к.э.н., д. к. э. ТПУ - Лекции: Комбинированные критерии принятия решений в играх с природой.

[6] Борлакова А.К. - Диссертация: Моделирование эколого-экономической оценки инвестиционных проектов, Москва 2014, с.22-23

[7] на основе Л.Г.Лабскер, Л.О. Бабешко - Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом, - Москва, изд «Дело», 2001г - с.347

Код для цитирования: Скопировать