VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Теория игр является одной из наук, которая предоставляет возможность математического описания постановок различных задач по принятию решений и математического обоснования подходов к их анализу. Наиболее часто методы теории игр находят применение в экономике, реже так же в других общественных науках - политологии, психологии, социологии, этике и других. Теория игр помогает не только в предсказании и объяснении поведения, ученые используют данную науку для разработки теории эталонного поведения.  Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания «хорошего» поведения. Нередко модели теории игр используются для выбора стратегий в бизнесе, для рационального управления финансами, в менеджменте, в психологии и даже в медицине.

Врачи в своей профессиональной сфере нередко сталкиваются с проблемой принятия решений в условиях неполной информации. Им приходится предпринимать определенные действия в условиях недостаточных знаний относительно ситуации, потому что человеческий организм - это сложная биологическая система, находящаяся во взаимодействии с условиями среды. Нередко из-за незнания методов принятия решений на разных этапах (диагнозирование, лечение) врачи допускают ошибки. При наличии неопределенности исходных позиций и неопределенности результата, наиболее эффективным является использование выбора оптимального решения с помощью теории игр.

Актуальность данной темы обусловлена тем, что современная медицина требует применения математических моделей и методов, использование которых помогает минимизировать ошибки на всех этапах лечения и принимать адекватные и обоснованные решения.

Целью является подтверждение предположения о том, что даже основ теории игр могут успешно применяться в медицине, помогая принимать сложные решения врачам. 

Для выполнения цели поставлены следующие задачи:

1) Построить модель игры, описывающая возможную ситуацию в стоматологии

2) Рассмотреть теоретический материал для решения игры с природой

3) Рассмотреть решение игры с природой в смешанных стратегиях

 

Для подтверждения предположения о том, что теория игр в действительности может помочь врачам в принятии решений, рассмотрим возможный случай в стоматологической практике.

Наркоз, или иначе, общая анестезия, раньше в стоматологии применялся редко, так как существовало стойкое мнение, что неприятные ощущения при лечении «с уколом» (с местным обезболиванием), вполне можно перетерпеть. Однако местная анестезия, применяемая при лечении и удалении зубов, не всегда удовлетворяет требованиям качественного обезболивания для каждого конкретного человека - на некоторых людей анестетик может попросту не оказать должного эффекта. Существуют также недостатки и при удалении зуба под общим наркозом, например, появляются серьезные риски возникновения осложнений. Общий наркоз приносит наибольший вред и опасность человеческому организму. При существовании аллергии на общий наркоз возможен и вовсе летальный исход.

Данная задача представляет собой задачу игры с природой, природа в представленной задаче выбирает реакцию организма пациента на наркоз, которая часто весьма непредсказуема. В игре с природой действует абсолютно осознанно только один игрок, то есть стоматолог, который принимает решение, обозначим его - А. Природа - второй игрок, не являясь противником А, не действует против первого игрока, а принимает какое-либо из своих состояний, не имея определенную цель. Обозначим природу - П.

Допустим, что игрок А имеет т стратегий, а природа П может находиться в одном из п состояний, которые, можно сказать, являются ее «стратегиями». Из выигрышей игрока А можно сформировать матрицу выигрышей, которая отличается от матрицы антагонистической игры тем, что элементы столбцов не являются проигрышами природы при соответствующих ее состояниях.

	П1	...	Пn
A1	a11	...	a1n
...	...	...	...
Am	am1	...	amn

 

Если одна из стратегий игрока А доминирует каждую из остальных его стратегий, то она и будет выбираться игроком А, поскольку выигрыш игрока при этой стратегии и при любом состоянии природы П не меньше выигрыша при любой из остальных стратегий. Таким образом, в играх с природой можно пользоваться принципом доминирования стратегий игрока А. Однако принцип доминирования для состояний природы использовать нельзя, поскольку природа не выбирает свои состояния с целью уменьшения выигрышей игрока А, для неё нет более или менее эффективных состояний. Это является еще одним отличием игры с природой от антагонистических матричных игр. Игрок А, принимая решения касающееся выбора стратегии, должен отталкиваться от матрицы выигрышей. Но матрица выигрышей не может абсолютно адекватно отображать имеющуюся ситуацию в данной игре. На выбор стратегии помимо выигрышей, которые составляют саму матрицу, должны оказывать влияние и показатели "удачности" или "неудачности" выбора определенной стратегии при определенном состоянии природы и благоприятности этого состояния для игрока А, для его выигрыша.

Показателем благоприятности состояния природы П для увеличения выигрыша называется наибольший выигрыш при этом состоянии, т. е. наибольший элемент в столбце матрицы игры. Таким образом, благоприятность состояния природы рассматривается как фактор, увеличивающий выигрыш игрока А при этом состоянии природы. В теории антагонистических матричных игр эта величина представляла собой показатель неэффективности стратегии игрока В.

Для нахождения степени удачности применения игроком А стратегии при состоянии природы П используют понятие "риска". Риском игрока А при выборе им стратегии в условиях состояния природы П называется разность между показателем благоприятности состояния природы и выигрышем. В нашем случае, так называемые состояния природы могут быть следующими:

1) Необходимость общего наркоза (без него удаление зуба не состоится и повлечет за собой тяжелые последствия, при этом у пациента не будет аллергии на общий наркоз)

2) Общий наркоз не требуется, достаточно наркоза местного.

3) Общий наркоз противопоказан (возможна аллергия, сложные последствия вплоть до летального исхода)

Стоматологу необходимо принять решение. Зуб необходимо удалять срочно, поэтому имеются две стратегии:

1) провести удаление зуба под «общим» наркозом

2) провести удаление зуба под «местным» наркозом

Матрица вероятностей негативного исхода при выборе разных стратегий игроком А и разных состояниях природы имеет следующий вид:

	П1	П2	П3
А1	0,03	0,05	0,45
А2	0,25	0,01	0

Сначала необходимо построить матрицу выигрыша. Для этого находим вероятность положительного исхода, вычитая от единицы вероятность негативного исхода. Получаем:

	П1	П2	П3
А1	0,97	0,95	0,55
А2	0,75	0,99	1
bj	0,97	0,99	1

Находим матрицу рисков (разность между показателем благоприятности состояния природы и выигрышем). Имеем следующую матрицу рисков:

	П1	П2	П3
А1	0	0,04	0,45
А2	0,22	0	0

Находим матрицу полезности (элементы получаем с помощью разницы между выигрышем и риском). Таком образом, матрица полезности в данной задаче про стоматологию имеет вид:

	П1	П2	П3
А1	0,97	0,91	0,1
А2	0,53	0,99	1

 

Находим решение данной задачи в чистых стратегиях с помощью критериев.

Критерий максимакса.
Критерий максимакса опирается на наилучшие состояния природы, т.е. оптимальной является чистая стратегия, которая в наилучшем состоянии природы дает максимальный выигрыш.

	П1	П2	П3	max(aij)
A1	0.97	0.95	0.55	0.97
A2	0.75	0.99	1	1

Выбираем из (0.97; 1) максимальный элемент max=1.
Таким образом, стоматолог выберет стратегию №2 - провести удаление зуба под «местным» наркозом.
Критерий Байеса.
 Используя критерий Байеса, оптимальной будет чистая стратегия игрока A, при которой средний выигрыш максимален, a или средний риск r минимален.
Найдем значения ∑(aijpj)
∑(a1,jpj) = 0.97

• 0.33 + 0.950.33 + 0.550.33 = 0.8151

∑(a2,jpj) = 0.75•0.33 + 0.99•0.33 + 1•0.33 = 0.9042

Выбираем из (0.8151; 0.9042) максимальный элемент max=0.91.
Поэтому стоматолог выберет стратегию №2 - провести удаление зуба под «местным» наркозом.
Критерий Лапласа.
Критерий Лапласа твердит, что все состояния природы являются равновероятными, т.е.: q1 = q2 = ... = qn = 1/n.
qi = 1/3

	П1	П2	П3	∑(aij)
A1	0.32	0.32	0.18	0.82
A2	0.25	0.33	0.33	0.91
pj	0.33	0.33	0.33

Выбираем из (0.82; 0.91) максимальный элемент max=0.91.

Таким образом, стоматолог выберет стратегию №2 - провести удаление зуба под «местным» наркозом.
Критерий Вальда.
По критерию Вальда оптимальной является чистая стратегия, которая в наихудшем состоянии природы гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

a = max(min aij). Критерий Вальда ориентирует игрока А при выборе им стратегии на наихудшие состояния природы, т.е. предполагается, что природа будет находиться в таком состоянии, что игрок А получит наименьший выигрыш среди всех выигрышей данной стратегии.

	П1	П2	П3	min(aij)
A1	0.97	0.95	0.55	0.55
A2	0.75	0.99	1	0.75

Выбираем из (0.55; 0.75) максимальный элемент max=0.75.
Таким образом, стоматолог выберет стратегию №2 - провести удаление зуба под «местным» наркозом.
Критерий Севиджа.
По критерий минимального риска Севиджа выбирается стратегия игрока А такая, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max rij)
Критерий Сэвиджа ориентирует игрока А на наихудшие состояния природы.
Напишем матрицу рисков. Максимальный выигрыш в j-м столбце bj = max(aij) характеризует благоприятность состояния природы.

	П1	П2	П3	max(aij)
A1	0	0.04	0.45	0.45
A2	0.22	0	0	0.22

Выбираем из (0.45; 0.22) минимальный элемент min=0.22.
Таким образом, стоматолог выберет стратегию №2 - провести удаление зуба под «местным» наркозом.
Критерий Ходжа-Лемана.
Значение критерия находится по формуле:
Wi = u∑aijpj + (1 - u)min(a)ij
Вычисляем Wi.
W1 = 0.5

• 0.8151 + (1-0.5)0.55 = 0.68255

W2 = 0.5•0.9042 + (1-0.5)•0.75 = 0.8271

	П1	П2	П3	∑(aijpj)	min(aj)	Wi
A1	0.32	0.31	0.18	0.82	0.55	0.68
A2	0.25	0.33	0.33	0.9	0.75	0.83
pj	0.33	0.33	0.33	0	0	0

Выбираем из (0.68; 0.83) максимальный элемент max=0.83.
Таким образом, стоматолог выберет стратегию №2 - провести удаление зуба под «местным» наркозом.
Подводя итог, можно сказать о том, что, используя любой из перечисленный критериев, стоматолог будет выбирать стратегию №2 - провести удаление зуба под «местным» наркозом. В приоритете выбора данной стратегии мы можем убедиться и на практике, в стоматологиях крайне редко используют «общий» наркоз.

Ученые и медики используют немало методов и средств для принятия решений в условиях неопределенности. Приведенная в данной статье модель доказывает, что при грамотном подходе теория игр может спасти жизнь и здоровье человека. Помимо этого, построение сложных, точных моделей способно с максимальной точностью дать верный ответ врачу при выборе правильного лечения в условиях неполной информации.

Не только стоматологи, но и хирурги, пульмонологи, акушеры и многие другие врачи могут и должны пользоваться математическими моделями при принятии тяжелых решений, за которыми стоят риски. Делать выбор, не опираясь на определенные методы не только непрофессионально, но и опасно.

В ходе работы был рассмотрен теоретический материал, на основе которого была построена модель игры, описывающая возможную ситуацию в стоматологии. Модель включала в себя набор стратегий игрока (стоматолога) и набор состояний природы (реакция на наркоз), а также матрицу «выигрышей» игрока (матрицу вероятностей негативного исхода). Благодаря критериям игр с природой, были найдены оптимальные стратегии стоматолога.

Таким образом, можно сказать, что, опираясь на базовые моменты теории игр можно создать рабочую модель, имеющую решение, которая может привести к результатам, помочь в профессиональной области различным специалистам. Важным является максимально полное описание ситуации и верная ее интерпретация, иначе есть вероятность столкнуться с получением противоречивых результатов.

 

Литература

 

1. Лабскер Л.Г, Ященко Н.А. Экономические игры с природой (практикум с решениями задач) - М.: КНОРУС, 2015. -512 с.

2. Лабскер Л.Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения. Монография.-М.: КНОРУС, 2014.- 744 с.

3. Лабскер Л.Г, Ященко Н.А. Теория игр в экономике (практикум с решениями задач) - М.: КНОРУС, 2012. -264 с.

4. Высоцкая Е.В, Довнарь А.И, Печерская А.И. Принятие медицинских решений в условиях неопределенности [Электронный ресурс]: статья - Восточно-европейский журнал передовых технологий

5. Озова, А.А. Теория игр в медицине [Электронный ресурс]: статья / А. А. Озова.- М.: Рос. гос. б-ка, 2008

6. Тетенев, Ф. Ф. Знания и размышления врача в процессе постановки клинического диагноза [Текст]/Ф. Ф. Тетенев, Т. Н. Бодрова//Бюллетень сибирской медицины. -2003. -№ 1. -С. 55-62.

Код для цитирования: Скопировать