VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИМЕНИМОСТИ КРИТЕРИЯ ГЕРМЕЙЕРА ОТНОСИТЕЛЬНО РИСКОВ В ОТНОШЕНИИ РЕШЕНИЯ ВОПРОСА ОПТИМАЛЬНОГО ИНВЕСТИРОВАНИЯ
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Критерий Гермейера относительно рисков относится к теме «игры с природой», отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком один.
Целью данной работы является исследование применимости критерия Гермейера относительно рисков в отношении решения вопроса оптимального инвестирования.
Задачи:
1) Решить задачу оптимального инвестирования на сове исходных данных, используя критерий Гермейера относительно рисков
2) Описание сильных и слабых сторон использования данного критерия длят решения задачи
.
Теоретическая часть
Сначала дадим определения «игры с природой», матрице Гермейера и критерию Гермейера оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
Игры с природой
Неопределенная ситуация не имеющая антагонистической конфликтной окраски и зависящая от объективной действительности, принято называть "природой".
В матричных играх с природой в качестве игрока II выступает совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений.
Матричные игры с природой отличаются от обычных матричных игр только тем, что при выборе оптимальной стратегии игроком I уже нельзя ориентироваться на то, что игрок II будет стремиться минимизировать свой проигрыш. Поэтому наряду с платежной матрицей вводится матрица рисков
Возможны две постановки задачи о выборе решения в матричной игре с природой:
- максимизация выигрыша;
- минимизация риска.
Задача принятия решений может быть поставлена для одного из двух условий:
- в условиях риска, когда известна функция распределения вероятностей стратегий природы, например, случайной величины появления каждой из предполагаемых конкретных экономических ситуаций;
- в условиях неопределенности, когда такая функция распределения вероятностей неизвестна.
Критерий Гермейера оптимальности смешанных стратегий относительно рисков
Рассмотрим игру с природой размера c матрицей выигрышей.[1]
Некоторые из выигрышей могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
В последней добавленной строке матрицы выигрышей размещены известные вероятности , состояний природы , удовлетворяющие условию .
Для характеристики оптимальности чистых стратегий посредством выигрышей с учетом данных вероятностей состояний природы рассмотрим критерий Гермейера относительно выигрышей, который также можно обозначить как критерием.
Выбрав чистую стратегию игрок A может получить выигрыш , если природа окажется в состоянии . Иными словами выигрыш может стать реальностью только с вероятностью
В качестве количественной характеристики удовлетворительности выигрыша для игрока будем рассматривать элемент Гермейера этого выигрыша .
Из элементов Гермейера выигрышей игрока А формируется матрица Гермейера относительно выигрышей:
Таблица 1. Матрица Гермейера относительно выигрышей
Игроком предполагается, что в момент выбора стратегии природа будет находится в самом неблагоприятном для него состоянии , т.е. в состоянии, при котором элемент Гермейера является минимальным среди всех элементов Гермейера при этой стратегии в матрице ( табл.1).Этот элемент
называется показателем эффективности чистой стратегии по критерию Гермейера относительно выигрышей или показателем эффективности стратегии .
- цена игры
Приведем формулировку основной теоремы:
Теорема 1.
Для того чтобы чистая стратегия была оптимальной во множестве чистых стратегий по критерию Гермейера относительно выигрышей необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент Гермейера при этой стратегии в матрице Гермейера относительно выигрышей был не меньше цены игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера относительно выигрышей:
Перейдем непосредственно к критерию Гермейера относительно рисков, рассмотрим два направления: относительно чистых и смешенных стратегий.
Критерий Гермейера оптимальности чистых стратегий относительно рисков.
Составим матрицу рисков ,соответствующую матрице выигрышей на основе формулы ( ) :
Таблица 2. Матрица рисков
Теперь сформулируем матрицу Гермейера относительно рисков :
Таблица 3. Матрица Гермейреа относительно рисков
Элементы матрицы относительно рисков назовем Гермейера рисков . Они количественно
характеризуют степень удовлетворенности
игрока ском с учетом вероятности состояния природы .
Показателем неэффективности чистой стратегии по критерию Гермейера относительно рисков или показателем неэффективности чистой стратегии называется максимальный элемент Гермейера рисков при выборе этой стратегии, т.е. элемент Гермейера, максимальный среди элементов Гермейера и обозначим его:
Иными словами игрок заинтересован в выборе стратегии с наименьшим показателем.
Так как любой из рисков неотрицателен, а вероятности состояний природы , положительны, то
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера будем называть минимальный показатель неэффективности всех чистых стратегий по критерию Гермейера относительно рисков:
Запишем основную теорему:
Теорема 2
Для того чтобы чистая стратегия была оптимальной во множестве чистых стратегий по критерию Гермейера относительно рисков необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент матрицы Гермейера относительно рисков при этой стратегии был не больше цены игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера относительно рисков:
Стоит отметить, что критерий Гермейера относительно рисков, так же как и критерий Гермейера относительно выигрышей является критерием крайнего
пессимизма с учетом вероятностей состояний природы. Он предполагает наихудшее для игрока состояние природы, при которых риск каждой чистой стратегии с учетом вероятностей этих состояний природы наименее удовлетворителен для игрока .
Заметим, что оптимальной во множестве чистых стратегий по критерию Гермейера относительно рисков или -оптимальной во множестве чистых стратегий является стратегия с минимальным показателем неэффективности.
Критерий Гермейера оптимальности смешанных стратегий относительно рисков
Цену игры в смешенных стратегиях по критерию Гермейера относительно рисков, которую обозначим через , определим как наименьший показатель неэффективности смешенных стратегий по критерию Гермейера относительно рисков[2]:
Если смешенная стратегия является, чистой, например , то . Отсюда найдем:
Оптимальной во множестве смешанных стратегий по критерию Гермейера относительно рисков, называется стратегия с минимальным показателем неэффективности:
Запишем теорему:
Для того чтобы стратегия была оптимальной во множестве смешанных стратегий по критерию Гермейера относительно рисков необходимо и достаточно, чтобы элемент Гермейера рисков, при этой стратегии и при каждом состоянии природы были не больше цены игры в смешенных стратегиях по критерию Гермейера относительно рисков:
Практическая часть
Рассмотрим задачу оптимального инвестирования опираясь на критерий Гермейера относительно рисков, представив решение задачи в виде выбора чистой стратегии-оптимальной стратегии игрока .
Условие задачи[3]:
Пусть инвестор решил вложить свои средства в покупку акций одной из российских компаний: «НорНикель ГМК», «Polymetal International pl», «АЛРОСА», «Северсталь», «НЛМК», входящих в индекс «ММВБ Металлургия».
Компании и их тикеры приведены ниже:
Таблица 4. Список компаний
|
Компания |
Тикер |
|
НорНикель ГМК |
GMKN |
|
Polymetal International plc |
POLY |
|
АЛРОСА |
ALRS |
|
Северсталь |
CHMF |
|
НЛМК |
NLMK |
|
ММВБ Металлургия[4] |
^MICEX M&M |
Для удобства будем использовать тикеры компании.
При этом он предпочитает руководствоваться доходностью от инвестирования, абстрагируясь от риска. Так как выбор акций конкретной компании для большинства инвесторов зависит скорее не от поведения конкретных контрагентов на фондовом рынке, а от складывающейся в данный момент на
фондовом рынке конъюнктуры, то для моделирования поведения инвестора будем использовать использовать модель «игра с природой», в которой игрок является инвестором. Его чистые стратегии: , , , , - выбор, соответственно, «НорНикель ГМК», «Polymetal International pl», «АЛРОСА», «Северсталь», «НЛМК».В качестве природы был взят индекс РТС, являющийся основным индикатором российского фондового рынка. Предполагалось, что природа может находиться в одном из своих состояний: , , , , , представляющих собой принадлежность доходности индекса ММВБ соответствующим диапазонам:
(- ; -1,5%], (-1,5%; -0,5%], (-0,5%; 0,5%], (0,5%; 1,5%], (1,5%; + ∞ ).
Выигрыши , в результате выбора инвестором стратегии и нахождения природы в состоянии , измерялись доходностью акций. Представим результаты приведенных статистических наблюдений посредством прикладного обеспечения Excel.
Приближенное распределение вероятностей состояний природы имеет следующий вид:
В результате построения рыночной модели получим следующую зависимость между доходностью отдельного инструмента ( в данном случае акции) и доходностью индекса ММВБ.
Построенная таблица выглядит следующим образом:
Таблица 5.Матрица доходностей по отношению к природе
|
Доходность индекса |
-2% |
-1% |
0% |
1% |
2% |
|
Доходность акции |
|||||
|
НорНикель ГМК |
-2,52 |
-1,36 |
-0,01 |
0,9 |
1,5 |
|
Polymetal International plc |
-3,01 |
-2,1 |
-0,09 |
1,3 |
2,4 |
|
АЛРОСА |
-2,11 |
-1,01 |
0,02 |
1,2 |
1,9 |
|
Северсталь |
-2,48 |
-0,92 |
0,04 |
1,1 |
2,1 |
|
НЛМК |
-2,25 |
-1,35 |
0,07 |
1,5 |
2,25 |
На основе полученных данных построим матрицу выигрышей, с соответствующими верояностями.
Таблица 6. Матрица выигрышей.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2,52 |
-1,36 |
-0,01 |
0,9 |
1,5 |
|
|
-3,01 |
-2,1 |
-0,09 |
1,3 |
2,4 |
|
|
-2,11 |
-1,01 |
0,02 |
1,2 |
1,9 |
|
|
-2,48 |
-0,92 |
0,04 |
1,1 |
2,1 |
|
|
-2,25 |
-1,35 |
0,07 |
1,5 |
2,25 |
|
|
0,15 |
0,12 |
0,25 |
0,27 |
0,21 |
Далее найдем показатель благоприятности состояния природы
Таблица 7. Показатели благоприятности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2,52 |
-1,36 |
-0,01 |
0,9 |
1,5 |
|
|
-3,01 |
-2,1 |
-0,09 |
1,3 |
2,4 |
|
|
-2,11 |
-1,01 |
0,02 |
1,2 |
1,9 |
|
|
-2,48 |
-0,92 |
0,04 |
1,1 |
2,1 |
|
|
-2,25 |
-1,35 |
0,07 |
1,5 |
2,25 |
|
|
-2,11 |
-0,92 |
0,07 |
1,5 |
2,4 |
Для поиска оптимальной стратегии воспользуемся критерием Гермейера относительно рисков.
Найдем оптимальную чистую стратегию, используя критерий Гермейера.
Рассмотрим игру с природой в которой () - множество чистых стратегий игрока A, состояния природы, вектор вероятностей состояний природы, удовлетворяющий условиям:
.
Составим матрицу рисков, используя формулу:
Искомая матрица выглядит следующим образом :
Таблица 8. Матрица рисков
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,41 |
0,44 |
0,08 |
0,6 |
0,9 |
|
|
0,9 |
1,18 |
0,16 |
0,2 |
0 |
|
|
0 |
0,09 |
0,05 |
0,3 |
0,5 |
|
|
0,37 |
0 |
0,03 |
0,4 |
0,3 |
|
|
0,14 |
0,43 |
0 |
0 |
0,15 |
|
|
0,15 |
0,12 |
0,25 |
0,27 |
0,21 |
Умножая каждый элемент r, матрицы при состоянии природы , на вероятность этого состояния, получим матрицу Гермейера относительно рисков (для удобства произведём расчеты в среде Excel) :
Таблица 9. Матрица Гермейера относительно рисков
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0615 |
0,0528 |
0,02 |
0,162 |
0,189 |
|
|
0,135 |
0,1416 |
0,04 |
0,054 |
0 |
|
|
0 |
0,0108 |
0,0125 |
0,081 |
0,105 |
|
|
0,0555 |
0 |
0,0075 |
0,108 |
0,063 |
|
|
0,021 |
0,0516 |
0 |
0 |
0,0315 |
|
|
0,15 |
0,12 |
0,25 |
0,27 |
0,21 |
Рисунок 2. Расчеты преобразование к матрице Гермейера
Следующим
шагом будет нахождение показателей неэффективности () чистых стратегий
игрока
где
Таблица 10. Показатели неэффективности чистых стратегий игрока
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0615 |
0,0528 |
0,02 |
0,162 |
0,189 |
0,189 |
|
|
0,135 |
0,1416 |
0,04 |
0,054 |
0 |
0,1416 |
|
|
0 |
0,0108 |
0,0125 |
0,081 |
0,105 |
0,105 |
|
|
0,0555 |
0 |
0,0075 |
0,108 |
0,063 |
0,108 |
|
|
0,021 |
0,0516 |
0 |
0 |
0,0315 |
0,0516 |
|
|
0,15 |
0,12 |
0,25 |
0,27 |
0,21 |
|
Определим цену игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера по критерию Гермейера относительно рисков через следующую формулу:
Подставив результаты из таблицы 10 найдём, что
Цена игры будет равна
Основываясь на определение оптимальной стратегии
Получим, что оптимальной стратегией игрока в чистых стратегиях относительно критерия Гермейера относительно рисков является стратегия . Отметим, что стратегия не доминируется ни одной из чистых стратегий игрока
Заключение
Резюмируя выше
изложенное, стоит отметить, что критерий Гермейера
относительно рисков является критерием крайнего пессимизма, так как
учитывает только наихудшие для игрока состояния природы, т.е.
только те состояния природы, при которых риск каждой чистой стратегии с учётом
вероятностей этих состояний природы наибольший, и, следовательно, наименее
удовлетворительный для игрока 
. Поэтому, применяя
критерий Гермейера относительно рисков, желание не проиграть у игрока
превалирует над желанием выиграть. Однако ситуации, в которых пессимистический
настрой игрока является нецелесообразным, на практике встречаются достаточно
часто.
Иными словами данный критерий применим в определённых границах -интересов инвестора, в иных ситуациях можно воспользоваться другими критериями или их комбинациями.
Список литературы
1) Лабскер Л.Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения - М. КноРус. 2009.
2) Гулюгин А.Н. Оптимизация покупки акций с помощью комбинации критерия Гермейера и обобщённого критерия Гурвица относительно рисков - М.Вестник Финансового университета
3) Лапаев М.А. Сборник Прикладная математика: новые задачи и традиционные приложения. Сборник исследовательских и реферативных работ молодых ученых.Москва, 2014.
Размышления по поводу работы
В процессе выполнения работы были проведены ряд исследований применимости критерия Гермейера относительно рисков, использовано прикладное обеспечение Excel для :
v построения графиков
v выполнения ряда операций с матрицей для оптимизации процесса вычисления
В результате было отмечена ограниченность применимости критерия Гермейера относительно рисков для решения реальных задач в зависимости от предпочтений инвесторов, возможно более оптимальным было бы использование комбинация нескольких критериев для нескольких интересов инвестора, а не сделав акцент на каком-то одном.
[1] Лабскер Л.Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения - М. КноРус. 2009. с181.
[2] Лабскер Л.Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения - М. КноРус. 20089. с 251
[3] Гулюгин А.Н. Оптимизация покупки акций с помощью комбинации критерия Гермейера и обобщённого критерия Гурвица относительно рисков М.Вестник Финансового университета
[4] Индекс