VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Введение

Темой моей домашней творческой работы стала теория игр на финансовом рынке. Такой мощный инструмент, как теория игр, можно применять во многих областях, и финансовый рынок не стал исключением. Структура рынка идеально подходит под концепцию игры с конфликтующими целями и позволяет наиболее точно охарактеризовать внутренние механизмы и найти взаимосвязи.

Цель этой работы - описать взаимосвязь между финансовым рынком и теорией игр, поставить одну из возникающих задач и решить эту задачу практически.

В первой главе будет описано понятие финансового рынка, его структура и элементы, а также взаимосвязь между теорией игр и финансовом рынком. Эта глава написана с помощью [2].

Во второй главе будут описаны основные инструменты, критерии и понятия, необходимые для решения задач. В этой главе использовался [1].

В третьей главе будет поставлена задача и подробно описан весь процесс ее решения, от подготовки данных до непосредственного решения. Здесь в небольшом количестве использовался [3].

Я выбрал эту тему так как мне очень интересен финансовый рынок в целом, а также потому, что научившись решать подобные задачу, я смогу использовать полученный опыт и при принятии личных финансовых решений, и решений в рамках компании.

 

1. Описание финансового рынка

 

1.1. Понятие финансового рынка

Можно рассматривать понятие «финансовый рынок» в двух направлениях - с точки зрения совокупности институтов и с точки зрения системы экономических взаимосвязей. В первом варианте в финансовый рынок включаются все учреждения и организации, которые предназначены для перераспределения капитала теми способами, которые основаны на рыночных принципах спроса и предложения. В этом смысле финансовый рынок - это вся система институтов, из которых он состоит (участники рынка: эмитенты ценных бумаг и инвесторы; инфраструктура рынка и депозитарии; регистраторы, посредники биржи и внебиржевые организаторы торговли; расчетно-клиринговые организации и т.п.).

Во втором варианте финансовый рынок рассматривается как система экономических взаимосвязей, направленных на распределение и перераспределение капитала, а также его формирование. В это случае финансовые рынки - это все рынки, на которых, в противопоставлении товарным рынкам, происходит торговля капиталом. На финансовых рынках устанавливаются связи между элементами прямо или через финансовых посредников. В идеальном случае это происходит следующим образом: банковские и небанковские финансовые посредники аккумулируют сбережения индивидуальных инвесторов, и впоследствии превращают их в инвестиционный капитал, который вкладывается в финансовые активы.

В этой работе будем рассматривать применение теории игр на фондовом рынке (рынке капиталов), поэтому необходимо дать характеристику фондового рынка.

Рынок капиталов можно охарактеризовать тем, что в нем обращаются долгосрочные финансовые инструменты, которые торгуются преимущественно на биржах, или торги организованы похожими на биржевую торговлю способами. Подобная организация рынка обеспечивает накопление информации об основных участниках, спросе и предложении, проведение операций, а также поиск оптимальных предложений.

 

1.2. Теория игр и финансовый рынок

Теория игр в настоящее время - одно из ключевых направлений формирования новых экономических теорий, так как в ней экономические рынки моделируются как поля игр, на которых осуществляются стратегические действия агентов. Этот факт подтверждается присуждением в 2005 году Нобелевских премий Р. Оманну, выдающемуся математику и Т. Шеллингу, экономисту, специализирующемуся в теории игр.

В отличии от теории игр, традиционная финансовая математика не принимает во внимание то, что агенты на финансовых рынках получают информацию с учетом своих стратегических целей. В теория игр же финансовый рынок не рассматривается как анонимное множество - здесь массовые явления случаются скорее в исключительном порядке, а не постоянно. Субъекты здесь - самостоятельные игроки, которые по всей возможности используют то, что им предоставлено. Хотя этот вариант и ограничивает прогноз на основе статистики прошлых лет, нужно принять во внимание, что финансовый рынок - это не самонастраивающаяся и саморегулирующаяся система, для успешного существования в которой игрокам нужно лишь следить за его тенденциями. Как только рассмотрение принципиальных взаимосвязей исследуемой ситуации начнет доминировать над задачами по еще большему уточнению фундаментальных значений и оптимизации стандартной модели, в игре появятся различные линии поведения игроков.

Разнообразие факторов и всевозможных стратегий поведения составляют некое общее целое (которое в теории игр называется пространство событий), которое вполне измеримо при помощи моделей поведения, в основу которых положена теория вероятностей. В свою очередь, теория игр, основываясь на своих моделях, создает с их помощью поведенческие контексты (которые называются стратегическими играми), дальнейший анализ которых - это чисто математическая задача.

Ни один из игроков на бирже не опирается в своих решениях на принципы, родственные подбрасыванию монеты или игре в рулетку. Действительно, вести себя так, как предписывает стандартная теория общего равновесия, было бы просто глупо, ведь биржа - это не казино. Биржевые игроки строят различные стратегии, приводящие к требуемым результатам только в конкретных условиях игры.

Между тем, если характеристика игроков рынка не позволяет получить стабильный прогноз их поведения, то игровые модели являются абсолютно необходимым аналитическим средством для анализа сложившейся ситуации. Ведь даже такие простые базовые модели из теории игр, как "дилемма заключенных" или же "битва полов", очень часто помогают точно отобразить весь спектр риска и дать дифференцированную количественную оценку. В этом, случае чем четче удается выявить цели противника, а соответственно и собственный риск, тем легче будет предсказать исход игры и найти стратегию, которая изменит игру в свою пользу.

 

2. Теоретические основы игровых моделей

 

2.1. Игры с природой

Как известно, в антагонистических играх присутствует неопределенность, состоящая в том, что ни один из игроков не обладает информацией о действиях противника Тем не менее, эта неопределенность в некоторой степени компенсируется определённым предположением каждого из игроков о том, что противоборствующая сторона действует осознанно, выбирая стратегии, наиболее выгодные для себя и наименее выгодные для противника, т.е. поведение каждого игрока нацелено на увеличение своего выигрыша (уменьшение проигрыша).

Однако в финансово-экономической практике во многих задачах принятия решений существенно важным элементом является неопределенность иного вида, не связанная с сознательным целенаправленным противодействием противника, и заключающаяся в недостаточной информированности лица, принимающего решение, об объективных условиях, в которых будет приниматься решение. Неопределенность такого рода может порождаться различными причинами нестабильность экономической ситуации, покупательский спрос на товар определённого вида, меняющийся объём перевозок, рыночная конъюнктура, политика правительства, надёжность партнёра, выход из строя технического оборудования, курс валюты, уровень инфляции, налоговая политика, биржевая ситуация, экологическая обстановка, стихийные бедствия и др.

Во всех задачах такого рода выбор решения зависит от объективной действительности. окружающей решаемую задачу и называемой в математической модели «природой». Сама же математическая модель подобных ситуаций называется игрой с природой» (или статистической игрой).

Таким образом, в игре с природой осознанно действует только один игрок, а именно, лицо, принимающее решение - обозначим его через А. Природа, обозначим её через П, является вторым игроком, но не противником и не союзником игрока А, ибо она не действует осознанно против игрока А. а принимает неопределённым случайным образом то или иное своё состояние, не преследуя конкретной цели и безразлично к результату игры.

Любое допустимое в игре с природой действие игрока А называется его стратегией. Если стратегия выбирается игроком А определенным образом, то она называется чистой (в отличие от понятия смешанной стратегии).

Пусть  - множество чистых стратегий игрока А, a  - множество состояний природы П, которая в любой момент времени может находиться только в одном из них.

Выигрыш игрока А при выбранной им стратегии  и при состоянии  природы П обозначим .

Таблица 1

Матрица выигрышей (A)

Ai\Пj	П1	П2	...	Пm
A1	a11	a12	...	a1n
A2	a21	a22	...	a2n
...	...	...	...	...
Am	am1	am2	...	amn

 

Задача выбора игроком А стратегии, более эффективной, чем остальные, в игре с природой, осложняется наличием неопределенности, связанной с дефицитом осведомлённости игрока А о характере проявления состояний природы.

Говорят, что стратегия Ak доминирует, строго доминирует, дублирует относительно выигрышей стратегию Al, если выполняются соответственно неравенства, , равенство .

При решении вопроса о выборе возможной стратегии в игре с природой игрок А должен исходить из матрицы выигрышей. Однако матрица выигрышей не всегда адекватно отражает имеющуюся ситуацию. На выбор стратегии влияют не только выигрыши, составляющие матрицу игры, но и показатели благоприятности состояний природы для увеличения выигрыша и индикаторы «удачности» или «неудачности» выбора данной стратегии при данном состоянии природы.

Показателем благоприятности состояния Пj природы П для увеличения выигрыша в чистых стратегиях называется наибольший выигрыш при этом состоянии, т.е. наибольший элемент в j -м столбце матрицы игры:

1)

Для характеризации степени удачности выбора игроком А стратегии Аi при состоянии Пj природы П вводят понятие «риска» (игрового риска).

Риском rij игрока А при выборе им стратегии Аi и при условии, что природа находится в состоянии Пj называется разность между показателем благоприятности βj состояния природы Пj и выигрышем aij, т.е. разность между выигрышем, который игрок А получил бы, если бы знал заранее, что природа примет состояние Пj. и выигрышем, который он получит при этом же состоянии Пj, выбрав стратегию Ai:

(2)

Из рисков можно составить матрицу рисков R, которая имеет следующий вид:

Таблица 2

Матрица рисков (R)

Ai\Пj	П1	П2	...	Пm
A1	r11	r12	...	r1n
A2	r21	r22	...	r2n
...	...	...	...	...
Am	rm1	rm2	...	rmn

 

Действие игрока А, состоящее в случайном выборе одной из своих чистых стратегий с определенной вероятностью называется смешанной стратегией.

Поэтому смешанную стратегию можно отождествить с m-мерным вектором  координаты которого удовлетворяют условиям

 

и являются вероятностями, с которыми игрок А выбирает соответствующие чистые стратегии. Каждая чистая стратегия Аk также является и смешанной. Множество всех смешанных стратегий обозначим через S.

Выигрыш игрока А при выборе им смешанной стратегии P когда природа П находится в состоянии Пj, определяется следующим образом:

(3)

Если смешанная стратегия Р является чистой стратегией Ai, то выигрыш превращается в выигрыш aij.

Выбор игроком А смешанной стратегии не исключает риска, который также целесообразно принимать к сведению для более адекватного анализа ситуации.

Риск при выборе игроком А смешанной стратегии Р и при состоянии природы Пj определим, как

(4)

Если известны вероятности  в соответственно состояний  природы П (доброкачественная неопределенность) или принята какая-либо гипотеза о распределении этих вероятностей (например, гипотеза об их относительных величинах), и лицо, принимающее решение, относится с полным доверием к этим вероятностям, то в этих случаях говорят о "принятии решения в условиях риска".

Состояние природы, вероятность которого равна нулю, не играет существенной роли в анализе ситуации и потому его можно исключить из рассмотрения. В силу этого в дальнейшем, не оговаривая специально, будем считать все вероятности состояний природы положительными.

В случае же. когда вероятности состояний природы неизвестны и нег никакой возможности получить о них какую-либо статистическую информацию, то говорят о "принятии решения в условиях (полной) неопределенности".

Если же к известным вероятностям состояний природы лицо, принимающее решение, относится не абсолютно, а с некоторой степенью доверия, то будем говорить, что "решения принимаются в условиях полунеопределенности".

Для упрощения решения игр с природой помимо принципа доминирования можно воспользоваться еще одним из видов редуцирования игр, состоящим в аффинном преобразовании матрицы выигрышей А в матрицу А', т.е. в преобразовании элементов матрицы А по следующему правилу:

(5)

где  - элементы преобразованной матрицы А', а  >0 и  - действительные произвольные фиксированные числа.

 

2.2. Обобщенный критерий Гурвица оптимальности смешанных стратегий относительно рисков

Для анализа игры в этой работе будем использовать обобщенный критерий Гурвица оптимальности смешанных стратегий относительно рисков, так как он стоит на стыке эффективности и простоты реализации. Стоит отметить, что этот критерий представляет собой критерий Гурвица относительности рисков, но в отличии от него учитывает специальным образом все выигрыши при каждой стратегии. Критерий Гурвица в свою очередь - это комбинация критерия Сэвиджа и миниминного критерия.

Пусть  - вектор числовых коэффициентов, удовлетворяющих условиям:

(6)

Смысл этих коэффициентов в том, что коэффициент  количественно характеризует субъективную оценку (ощущение, уверенность) игра А того, что при выборе им любой из чистых стратегий, он получит выигрыш j-го ранга.

Пусть R - матрица рисков игрока А и  - вектор коэффициентов, удовлетворяющих условиям (6). Выбору игроком А смешанной стратегии Р когда природа П находится в состоянии Пj сопутствуют риски

(7)

Переставим риски строки в невозрастающем порядке:

 

Где  - перестановка чисел 1,2,...,и, зависящая от стратегии Р. Риск  назовем рискам j-го ранга стратегии Р.

Число

(8)

где S - множество смешанных стратегий, назовем показателем неэффективности стратегии Р по Обобщенному критерию Гурвица относительно рисков, или -показателем неэффективности стратегии Р.

Так как риски и числа , неотрицательны, то получаем неотрицательность -показателей неэффективности смешанных стратегий. Таким образом, рассматривая показатель  как функцию стратегии Р, констатируем ее ограниченность снизу нулем на множестве S. Следовательно, функция  будет ограниченной снизу нулем и на любом непустом подмножестве Т множества S. В силу этого на каждом непустом подмножестве  существует неотрицательный инфимум:

(9)

который мы назовем ценой игры в стратегиях множества Т по Обобщенному критерию Гурвица относительно рисков.

Обобщенным критерием Гурвица оптимальности стратегий во множестве Т относительно рисков с вектором коэффициентов  назовем критерий, по которому оптимальной стратегией во множестве Т является стратегия Р . обладающая следующими двумя свойствами:

1.     Стратегия Р0 принадлежит множеству Т: ,

2.     Показатель неэффективности  стратегии Р0 равен цене игры  в стратегиях множества Т:

 

Множество стратегий, оптимальных во множестве Т по Обобщенному критерию Гурвица относительно рисков обозначим через .

Теорема 1. Для любой игры с природой и любого непустого замкнутого подмножества Т множества S смешанных стратегий существует стратегия, оптимальная на множестве Т по Обобщенному критерию Гурвица относительно рисков.

Пусть

(10)

Если множество T замкнуто, то в равенстве (10) вместо inf можно писать min.

Пусть

 

- сумма рисков j -го ранга при стратегиях множества Т,

 

- сумма всех рисков при стратегиях множества Т.

В случае неблагоприятной ситуации коэффициенты  целесообразно выбирать в соответствии с формулой

(11)

В случае благоприятной ситуации коэффициенты  можно выбирать по формуле

(12)

В случае нейтральной ситуации последовательность  целесообразно выбрать постоянной:

 

3. Игровая модель поведения инвестора на фондовом рынке

 

3.1. Постановка задачи

Будем решать вышеуказанным методом следующую задачу, которая часто встречается на практике.

Пусть инвестор решил вложить свой капитал в покупку акций российских компаний: «Газпром» (GAZP), «Лукойл» (LKOH), ГМК "Нор.Никель" (GMKN), «Сургутнефтегаз» (SNGSP) и «Роснефть» (ROSN). Важным условием определим то, что инвестор абстрагируется от риска и руководствуется только доходностью от инвестиций.

Так как выбор акций конкретной компании для большинства инвесторов зависит скорее не от поведения конкретных контрагентов на фондовом рынке, а от складывающейся в текущий момент конъюнктуры на фондовом, то для моделирования поведения инвестора было решено использовать модель «игра с природой», в которой игрок A является инвестором. Его чистые стратегии:  - выбор, соответственно, компаний «Газпром», «Лукойл», ГМК "Нор.Никель", «Сургутнефтегаз» и «Роснефть». Природой в этой игре будем считать индекс ММБВ. Будем предполагать, что природа может находиться в одном из состояний , которые представляют собой принадлежность индекса ММБВ к диапазонам, соответственно:

 

Выигрыши aij; i = 1,...,m; j =1,...,n, в результате выбора инвестором стратегии Ai и нахождения природы в состоянии Пj, будем измерять доходностью акций.

 

3.2. Предварительный анализ

Прежде всего нам нужно определить значения вероятности  нахождения природы в соответствующем состоянии. Так как наша работа состоит в решении методами теории игр, а не в анализе всего рынка ценных бумаг, то определим эти вероятности простейшим образом.

Для начала загрузим данные о показателях индекса на конец месяца в период с 1.10.2012 по 1.10.2015. Получим месячные значения индекса на конец периода. Далее, образуем из этих данных вектор доходностей индекса при помощи формулы:

 

где  - значение индекса в период i (текущий период).

Следующим шагом образуем из этих доходностей гистограмму распределения на соответствующих отрезках. Деля число доходностей, которые попали в соответствующий интервал на общее число доходностей, получим вероятность попадания доходности в этот интервал. Эта вероятность и будет нашей вероятностью нахождения природы в соответствующем состоянии. В таблице 3 показан итоговый результат анализа.

Таблица 3

Распределение доходностей на интервалах

Карманы	Частота	Вероятность
-0,04	7	0,19
-0,02	6	0,17
0,02	8	0,23
0,04	7	0,19
больше 0,04	8	0,22

 

Следующее, что нам необходимо сделать - это заполнить таблицу А. В этой таблице находятся доходности соответствующих акций, при нахождении природы в состоянии Пj. Для заполнения проделаем следующие шаги.

1)    Загрузим цены закрытия всех акций на конец периода, то есть на конец месяца, в интервале с 1.10.2012 по 1.10.2015.

2)    Для каждой акций составим вектор доходностей с помощью следующей формулы:

 

где Pi - цена закрытия в месяц i.

3)    Разобьём все полученные доходности по блокам, соответствующим интервалам нахождения природы в определенном состоянии.

4)    С помощью функции LINEST (ЛИНЕЙН) программы Microsoft Excel, определим уравнения зависимости доходности акции в интервале, от доходности индекса. В итоге для каждой акции получим набор уравнений, число которых совпадает с числом состояний природы.

5)    Подставляя в каждое уравнение среднее значение в каждом из состояний природы, получаем значение aij - выигрыш выбора чистой стратегии Ai, при нахождении природы в состоянии Пj.

Проделаем эти шаги на примере первой стратегии подробно, а в остальных укажем только результат.

На четвертом шаге получаем систему уравнений:

 

где  - доходность индекса, а  - доходность первой стратегии при соответствующем состоянии природы.

Подставляя в эти уравнения значения доходностей, которые находятся в середине интервала (для первого и последнего уравнения: -6% и +6% соответсвенно), получаем a1j. Проделывая эти же шаги для всех акций, получаем матрицу А:

Таблица 4

Матрица выигрышей (A)

Доходность индекса	-6,00%	-3,00%	0,00%	+3,00%	+6,00%
Доходность акций
A1	-7,95	-2,36	-2,30	5,28	4,07
A2	-5,27	-2,26	0,47	3,70	4,47
A3	-2,67	-2,25	2,83	5,41	6,26
A4	-2,72	-3,45	2,30	1,14	5,97
A5	-7,00	-4,92	3,66	0,95	6,34

Приступим к решению игры с помощью обобщенного критерия Гурвица оптимальности смешанных стратегий относительно рисков.

 

3.2. Решение поставленной задачи

Заметим, что стратегия А3 строго доминирует стратегии А1, А2, А4. Поэтому их нужно исключить из рассмотрения. Получим матрицу:

Таблица 5

Матрица выигрышей (A')

Доходность индекса	П1	П2	П3	П4	П5
Доходность акций
A3	-2,67	-2,25	2,83	5,41	6,26
A5	-7,00	-4,92	3,66	0,95	6,34

Для удобства выполним аффинное преобразование с параметрами

Таблица 6

Преобразованная матрица выигрышей

Доходность индекса	П1	П2	П3	П4	П5
Доходность акций
A3	4,33	4,75	9,83	12,41	13,2
A5	0,00	2,08	10,66	7,95	13,3
	4,33	4,75	10,66	12,41	13,3

где в нижней строке находятся показатели благоприятности состояния природы . Перейдем от полученной матрицы к матрице рисков с помощью формулы (2):

Таблица 7

Матрица рисков (R)

Доходность индекса	П1	П2	П3	П4	П5
Доходность акций
A3	0,00	0,00	0,82	0,00	0,09
A5	4,33	2,67	0,00	4,45	0,00

Пусть  - произвольная смешанная стратегия. Вычислим риски при этой смешанной стратегии:

 

Построим графики (r от p) этих функций на отрезке [0,1]:

 

Рисунок 1. Графики функций рисков на отрезке [0,1]

В этом виде не слишком хорошо видно, что происходит в начале, поэтому увеличим начальную область:

 

Рисунок 2. Графики функций рисков на отрезке [0;0,05]

Найдем абсциссы всех пересечений, приравнивая каждое уравнение. В итоге получим, что

 

Следовательно,

 

Теперь найдем вектор коэффициентов . В современных условиях ожидать, что какая-либо акция даст внезапно большой доход невыгодно и может привести к разорению. Поэтому будем считать, что инвестор настроен пессимистично.

Преобразуем матрицу так, чтобы в каждой строке риски были расположены в невозрастающем порядке:

Таблица 8

Ранжированная матрица R

Ранг j	1	2	3	4	5
Доходность акций
A3	0,82	0,09	0,00	0,00	0,00
A5	4,45	4,43	2,67	0,00	0,00

 

Складывая значения каждой строки получим Ri. Найдем , разделив каждое значение Ri на сумму всех значений. Получаем

На основе полученных значений и функций, найдем выражения для -показателей неэффективности стратегии P:

 Рассмотрим следующие подмножества смешанных стратегий:

Они образуют множество всех стратегий S и каждая из них замкнутое. Тогда имеем:

 

 

 

3.3. Выводы по решению задачи

Итак, мы получили, что по обобщенному критерию Гурвица оптимальности смешанных стратегий относительно рисков в поставленной задаче единственной оптимальной оказывается чистая стратегия А3. Это значит, что придерживаясь исходных предпосылок и имея возможность составить портфель из акций, пессимистичный инвестор должен в любом случае вкладывать средства только в акции ГМК "Нор.Никель".

Стоить отметить, что мы сразу указали, что игрок является пессимистом, поэтому, есть вероятность, что в других ситуациях оптимальной будет уже иная стратегия.

 

Заключение и собственные мысли

В этой работе был рассмотрен и реализован на практике обобщенный критерий Гурвица оптимальности смешанных стратегий относительно рисков. Все поставленные задачи были выполнены.

В первой и второй главе были описаны финансовый рынок в целом и на стыке с теорией игр, а также вышеуказанный критерий.

Далее был описан метод получения матрицы А, а также векторов .

В заключительной главе была подробно решена задача принятия решения инвестором на фондовом рынке. Оказалось, что в поставленной задаче оптимальной смешанной стратегией является стратегия А3, то есть игрок должен вкладывать свои средства только в акции ГМК "Нор.Никель".

Стоит отметить, что мне эта работа очень понравилась, так как за время выполнения работы я изучил огромный материал, рассмотрел основы игр с природой, и, самое главное, научился применять изученное на практике. Полученное решение, при некотором усложнении может применяться и при реальном принятии решений по инвестированию. При выполнений практической части был использован продвинутый функционал программного продукта Microsoft Excel, а также использовался сайт finance.yahoo.com.

 

Список использованных источников и интернет-ресурсов

1.     Экономические игры с природой (практикум с решениями задач): учебное пособие / Л.Г. Лабскер, Н А. Ященко ; под ред. Л.Г. Лабскера. - М : КНОРУС, 2015 - 512 с.

2.     Рынок ценных бумаг: трансформационные процессы С.З. Мошенский. Москва: «Экономика», 2010. 240 с.

3.     Гулюгин А.Н. Оптимизация покупки акций с помощью комбинации критерия Гермейера и обобщенного критерия Гурвица относительно рисков // Вестник Финансовой академии, 2010. №2 (56).

4.     Таблицы исторических цен акций с сайта finance.yahoo.com.

Код для цитирования: Скопировать