VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Закономерности боевых действий чрезвычайно сложны. В их основе лежат количественные отношения, что требует применения математики для их анализа.

Приложения теории игр состоят в описании конфликтных ситуаций на формальном языке и в использовании математических средств для выработки оптимальных решений в условиях конфликтов и неопределенности. Для моделирования явлений и процессов, которые происходят на море во время вооружённых боёв, поиска оптимальных решений в конфликтных ситуациях, методы классической математики не подходят. Поэтому для их формализации целесообразно использовать такой раздел математики, как теория игр, которая прямо отражает особенности конфликтных ситуаций объективной реальности.

Применение теории игр к боевым действиям на море можно условно разделить на оперативно-тактические и технические. Оперативно-тактические приложения связаны с обоснованиями оптимальных способов использования сил и методов боевого применения уже имеющихся боевых средств, а в технических приложениях речь идет о выборе рациональных параметров разрабатываемой боевой техники.

Целью данной работы является анализ оперативно-тактического применения теории игр для флота. Будут рассмотрены основные понятия касательно антагонистических игр, суть игры двух лиц в чистых и в смешанных стратегиях, методы решения антагонистической игры. В практической части работы рассмотрен пример, взятый из истории морских сражений на Тихом океане в период второй мировой войны.

1. Теоретическая часть

1.1. Антагонистическая игра как математическая модель конфликта двух сторон

В процессе боевых действий на море, использования в бою оружия или выборе тактики действия часто складываются конфликтные ситуации, в них участвуют две противоборствующие стороны, и они имеют при этом противоположные цели. Один противник наступает, а второй - обороняется. В этом и есть их противоположные интересы.

Участник боевого конфликта, который совершает наступательные действия, стремится получить максимум боевой эффективности своих действий, а участник, который обороняется, пытается свести эту эффективность к минимуму, предпринимая оборонительные действия [1].

Следует заметить, что каждый участник конфликта не располагает достаточными данными о действиях, которые планирует совершать его противник. Таким образом, складывается антагонистический конфликт, в котором один участник стремится уничтожить другого участника, а другой стремится избежать уничтожения. То есть утраты одного участника в этом конфликте составляют выигрыш второго, и наоборот.

Построение математической модели требует выделения существенных факторов и условий, которые определяют, как состояние системы, так и возможное управление ею. Эти факторы и условия являются переменными модели. После построения модели, её можно использовать для отыскания оптимального решения, которое максимизирует или минимизирует критерий качества при заданных условиях и ограничениях.

Формализация содержательного описания конфликта представляет собой его математическую модель, которую называют игрой. Исход конфликта между двумя сторонами зависит не только от решения, принятого одной из сторон, но и от ответных действий другой стороны. Предугадать этот исход и тем более определить действия, при которых он оказался бы наиболее благоприятным, чрезвычайно сложно.

Основными этапами решения задач теории игр являются: формализация конфликта, принятия решения и оптимальность решения.

Наиболее естественным представлением об оптимальном решении служит получение возможно большего выигрыша. Если бы игрок имел такую стратегию, применив которую он смог бы максимизировать выигрыш, такое поведение естественно было бы считать оптимальным. Однако складывающаяся в процессе игры ситуация и тем самым выигрыш игрока зависят не только от его выбора, но и оттого, какие стратегии будут выбраны остальными игроками, цели которых иные, а в ряде случаев и прямо противоположные. Поэтому в произвольной игре каждая стратегия может быть хорошей или плохой в зависимости от выбора своих стратегий остальными участниками игры [3].

 

1.2. Игры двух лиц с нулевой суммой. Основные понятия

Игра двух лиц с нулевой суммой в матричной форме самое главное место в современной теории игр. Рассмотрим более подробно, в чём заключается суть игры с нулевой суммой.

Имеется два игрока. В распоряжении первого игрока возможны всего n возможных ходов i=1,2,3,...,n; в распоряжении второго игрока возможны m возможных ходов j=1,2,3,...,m. Эти возможные ходы называются чистыми стратегиями игроков.

Оба игрока делают одновременно по одному ходу, после чего партия считается законченной. Если первый игрок делает ход i, а второй - ход j, то первый игрок получает выигрыш, равный . Очевидно, что выигрыш второго игрока равен .

Эти данные можно записать в виде матрицы,

,

в которой строки соответствуют ходу первого игрока, а столбцы - ходу второго игрока. Эта матрица носит название платёжной матрицы игры [4].

Условно назовём сторону боевого конфликта, которая наступает, игрок А, а сторону, которая обороняется - игрок В. Тогда элемент платёжной матрицы  это численное значение выигрыша стороны, совершающей наступательные действия и проигрыша обороняющейся стороны при условии, что первая сторона выбрала стратегия i, а вторая сторона выбрала стратегию j.

 

1.3. Игры двух лиц в чистых стратегиях

Рассмотрим пример игры с позиций двух конфликтующих сторон со следующей платёжной матрицей.

.

С точки зрения наступающей стороны, если она сделает ход i=1, то наихудшей для неё будет ситуация, когда обороняющаяся сторона боевого конфликта сделает ход j=3, так как в этом случае она получит 0. Если наступающая сторона сделает ход i=2, то в наихудшем случае (при ходе обороняющейся стороны j=1) она также получит 0. Аналогично, при i=3 она в наихудшем случае получит 4 (при j=2), при i=4 - 2 (при j=3) и, наконец, при i=5 наступающая сторона в наихудшем случае получит 0 (при j=3).

Стремясь сделать свой гарантированный выигрыш как можно больше, первая сторона военного конфликта должна выбрать ход i=3, так как в этом случае она гарантирует себе выигрыш, равный 4.

А теперь посмотрим на эту же матрицу с точки зрения конфликтующей стороны, которая обороняется. Для неё это - матрица её проигрыша.

Если она выберет ход j=1, то её максимальный проигрыш будет равен 18 (если наступающая сторона сделает ход i=1). Аналогично, при j=2 её максимальный проигрыш будет равен 4, при j=3- 8, и, наконец, при j=4 её максимальный проигрыш будет равен 25. Стремясь сделать свой максимальный проигрыш как можно меньше, обороняющаяся сторона должна выбрать ход j=2, так как в этом случае её максимальный проигрыш, равный 4, самый маленький.

Итак, мы пришли к выводу, что наступающая сторона должна выбрать третью по счёту стратегию, а обороняющаяся сторона - вторую. Допустим теперь, сторона, которая обороняется, "открывает карты" и заявляет наступающему противнику: "Я буду делать ход j=2". Есть ли наступающей стороне необходимость менять свой ход? Нет, так как в этом случае её наилучший ход всё равно i=3.

Аналогично, если наступающий противник заявит обороняющемуся, что он будет ходить i=3, то обороняющемуся противнику также нет смысла менять свой ход, так как наилучшим ответом будет всё равно j=2. Пара i=3, j=2 является уравновешенной парой, так как "открытие карт" не даёт поводов участникам боевых действий менять свои стратегии. Пара стратегий i=3, j=2 и есть решение игры, а величина выигрыша при этом нападающей стороны (и одновременно величина проигрыша обороняющейся стороны) - 4 - это цена игры.

Математически это выглядит так.  Итак, пусть первый игрок выбирает ход i. В наихудшей для него ситуации он выиграет

.

Стремясь сделать свой минимальный выигрыш максимальным, он выбирает свой ход из условия

.

Такая стратегия называется максиминной.

Аналогично, второй игрок, выбирая ход j, в наихудшей для себя ситуации проигрывает

.

Стремясь сделать свой максимальный проигрыш минимальным, он должен выбирать свой ход из условия

.

Такая стратегия называется минимаксной.

По моему мнению, данный пример показывает, что применение игры двух лиц в чистых стратегиях напрямую отражает суть военного конфликта в процессе планирования действий.

 

1.4. Игры двух лиц в смешанных стратегиях

 Если игра не имеет седловой точки , то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Таблица 2

Вj Ai	B1	B2
A1	a11	a12
A2	a21	a22

 

Необходимо найти смешанные стратегии и цену игры. Обозначим искомые значения вероятностей использования чистых стратегий игрока А через , а для игрока В - через .[6]

Имеем, если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии , то:

    (1)

Поскольку , то . Поставим это выражение в систему уравнений (1), получим:

.

Решив уравнение относительно неизвестного , имеем:

                              ,                       (2)

тогда:                = .                  (3)

Проводим аналогические мышления относительно игрока В, имеем:

                                                            (4)

Поскольку , то .

.

Решив уравнение относительно неизвестного , имеем:

                            ,                        (5)

тогда: .                (6)

Цену игры u находят, подставив значения  (или ) в какое-либо уравнение из (1) или (4):                            .                                              (7)

По моему мнению, данный тип игры целесообразно применять к военным конфликтам, в которых нет возможности выбрать стратегии, которые являются оптимальными для обеих сторон одновременно.

 

1.5. Геометрический способ решения игры в смешанных стратегиях

Решению игры 2´2 можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

Рассмотрим игру с платёжной матрицей вида:

Таблица 3

Вj Ai	B1	B2
A1	a11	a12
A2	a21	a22

Отметим на оси абсцисс отрезок длиной 1 (рис. 1). Левый конец - (точка с абсциссой х = 0) будет отвечать стратегии А1, а правый конец (х = 1) - стратегии А2, все промежуточные  точки отрезка будут отвечать смешанным стратегиям игрока А, причём вероятность х1 стратегии А1 будет равна расстоянию от  точки Р до правого конца отрезка, а вероятность х2 стратегии А2 - расстоянию от  точки Р до левого конца отрезка. Проведём через точки А1 и А2 два перпендикуляра к оси абсцисс: ось І и ось ІІ. На первой из них отметим выигрыш при выборе стратегии А1, а на второй - при стратегии А2. [3]

Пусть противник выбрал стратегию В1, ей отвечают на осях І и ІІ две точки В1, причём длина отрезка А1В1 равна а11, а длина отрезка А2В1 равна а12.

Аналогично строим прямую В2В2, отвечающую стратегии В2.

Необходимо найти оптимальную стратегию Х*, такую, при которой минимальный выигрыш игрока А будет максимальным.

Геометрическая интерпретация даёт возможность также наглядно изобразить нижнюю и верхнюю цену игры (рис. 2). Для нашего примера нижней ценой игры есть величина отрезка А2В2, а верхней ценою игры - А2В1.

На этом же рисунке рассматривается интерпретация оптимальных стратегий противника В. .

По моему мнению, геометрический метод даёт наглядную интерпретацию процесса и результата планирования боевых действий в военном противостоянии конфликтующих сторон на флоте.

1.6. Сведение антагонистической игры к задаче линейного программирования

В случае, когда у обеих конфликтующих сторон имеется больше трёх возможных вариантов действий, геометрическая интерпретация игры невозможна.

В таких случаях для решения игры m × n используют приём сведения её к задаче линейного программирования. [5]

Пусть рассматривается парная игра со стратегиями  для игрока А, стратегиями  для игрока В и платёжной матрицей   . Необходимо найти оптимальные смешанные стратегии  и , где , .

Находим сначала оптимальную стратегию игрока А. Допустим, что игрок А использует свою оптимальную стратегию, а игрок В - свою чистую j-ую стратегию Bj, тогда средний выигрыш игрока А равен:

                       .                          

 Разделим все ограничения на u, получим:

 

Обозначим  имеем:

 

Необходимо сделать выигрыш максимальным.

Целевая функция:

                                              (9)

При условиях:

                                         (10)

                            .                                  

Решая эту задачу симплексным методом, находим значения  а также величину  і значения , что есть оптимальным решением прямой задачи.  Аналогично строим модель двойственной задачи и находим оптимальную стратегия игрока В.

  По моему мнению, метод сведения игры к задаче линейного программирования и решение её симплексным методом даёт возможность из множества вариантов будущих военных действий, в случае, когда их много, выбрать оптимальный для каждой из противоборствующих сторон.

 

2. Практическая часть

2.1. Постановка и решения игры в чистых стратегиях

 Продемонстрируем пример, который взят из морских сражений на Тихом океане в период второй мировой войны.

В боях за Новую Гвинею американская разведка сообщила, что японцы планируют переход конвоя с войсками и провиантом из порта Ребаул на восточной оконечности Новой Британии в Лаэ, находящийся в Новой Гвинее.

Маршрут конвоя имел выбор: проходить либо к северу от Новой Гвинеи (северный путь), где исходя из прогноза, ожидалась плохая видимость, либо к югу (южный путь), где ожидалась ясная погода. Время пути по данным маршрутам было одинаковым и составляло трое суток (рис.4).

С целью обнаружения японского конвоя американцы могли сосредоточить основные силы разведывательной авиации или на первом, или на втором маршруте конвоя. На рис. 5 изображены четыре оперативно-тактические ситуации для двух альтернатив, которые имелись у каждой из противоборствующих сторон, они представлены на рис. 5 как элементы матрицы 2х2.

Анализ разобранной конфликтной ситуации США против японцев в боях за Новую Гвинею аналогичен анализу матричной игры, а фактические решения воюющих сторон аналогично решению этой игры. Действительно, матрица для рис. 2 является матрицей выигрыша игрока А (американцев), а ее оперативно-тактические ситуации - ситуациями следующей игры (Рис. 5).

Вводим необходимые данные и формулы и решаем задачу в редакторе электронных таблиц Excel с помощью статистических функций (табл. 3)

Таблица 3

	B1	B2	min aij
A1	2	2	=МИН(B2:C2)
A2	1	3	=МИН(B3:C3)
max aij	=МАКС(B2:B3)	=МАКС(C2:C3)	=B5
min max aij	=МИН(B4:C4)
max min aij	=МАКС(D2:D3)

 Получаем результат (табл. 4):

Таблица 4

	B1	B2	min aij
A1	2	2	2
A2	1	3	1
max aij	2	3	2
min max aij	2
max min aij	2

 

Из анализа этой матрицы видно, что она имеет седловую точку
min max aij = max min aij = 2. Игрок А (военно-воздушные силы США) выбирает стратегию A1 (северный путь), игрок В (японский конвой) выбирает стратегию B2 (северный путь). Данная точка определяет оптимальные стратегии с ожидаемым исходом - два дня для бомбардировки конвоя. Эти стратегии в действительности и были выбраны. Конвой был обнаружен через день после выхода на северном пути, и японцы понесли тяжелые потери. Несомненно, обстановка для японцев сложилась весьма неблагоприятная. Однако выбор северного пути обусловливал (в случае выбора американцами неоптимальной стратегии) уменьшение числа дней до одного, и потери в этом случае могли бы быть гораздо меньше.

По моему мнению, обе стороны в соответствии с теорией игр, действовали наилучшими способами. Это показывает, что использование теории игр как математической модели  конфликтов  является  целесообразным, а  конкретные интерпретации понятия игры встречаются в вооруженной борьбе на море всюду, когда ход боевых действий непосредственно зависит от принятых  сторонами  решений. Поэтому, я думаю, что военно-морское дело дает чрезвычайно  широкие  возможности  для  практических  приложений  теории игр, а теория игр облегчает и делает эффективным процесс разработки тактики боевых действий.

 

2.2. Постановка и решения игры в смешанных стратегиях

Предположим, что участники следующей конфликтной ситуации имеют больше двух альтернатив своих возможных мероприятий. Сторона конфликта, которая совершает наступление - игрок А, имеет три стратегии A1, A2, A3, сторона конфликта, которая совершает оборонительные действия - игрок В, имеет пять стратегий В1, В2, В3, В4, В5.  Необходимо найти решение игры в смешанных стратегиях с платёжной матрицей:

Вj Ai	B1	B2	B3	B4	B5
A1	5	-8	7	6	0
A2	8	-5	9	-3	2
A3	-2	7	-3	6	-4

 

Как видим, доминирующих стратегий нет в данной игре.

Проверим наличие седловой точки.

Вводим необходимые данные и формулы и делаем проверку на существование седловой точки в редакторе электронных таблиц Excel с помощью статистических функций (табл. 5)

Таблица 5

 

Таблица 6

	B1	B2	B3	B4	B5	min aij
A1	5	-8	7	6	0	-8
A2	8	-5	9	-3	2	-5
A3	-2	7	-3	6	-4	-4
max aij	8	7	9	6	2	-
min max aij	7
max min aij	-5

 

Как видим (талб. 6),  то есть нет седловой точки.

Сводим матричную игру к задаче линейного программирования:

Составляем математические модели прямой и двойственной задач, вводим необходимые данные и формулы на рабочий лист Excel (табл. 7).

Таблица 7

 

С помощью надстройки Excel Поиск решений находим вероятности, с которыми игрок А использует свои стратегии и верхнюю цену игры.

Таблица 8

x1	x2	x3	x4	x5
0	0,0435	0	0	0,087
13	0	15	14	8	0	0	0	0	0,7	0,7	<=1
16	3	17	5	10	0	0,1	0	0	0,9	1	<=1
6	15	5	14	4	0	0,7	0	0	0,3	1	<=1
Целевая функция F(X):	0,1304
Цена игры:	7,667
p1	p2	p3	p4	p5
0	0,3333	0	0	0,6667

 

Верхняя цена игры min max aij = 7,667.

Находим вероятности, с которыми игрок В использует свои стратегии и нижнюю цену игры.

Таблица 9

y1	y2	y3
0	0,0797	0,0507
13	16	6	0	1,2754	0,3	1,6	>=1
0	3	15	0	0,2391	0,8	1	>=1
15	17	5	0	1,3551	0,3	1,6	>=1
14	5	14	0	0,3986	0,7	1,1	>=1
8	10	4	0	0,7971	0,2	1	>=1
Целевая функция Ф(Y):	0,1304
Цена игры:	7,667
q1	q2	q3	q4	q5
0	0,6111	0,3889	0	0

 

Нижняя цена игры max min aij = 7,667.

Имеем:

Стратегии игрока А: Х* = (0;0,333;0;0;0,667). То есть, наступающая сторона конфликта для получения максимальной эффективности от своих боевых действий должна использовать стратегию A2  с вероятностью 0,333 и стратегию A5  с вероятностью 0,667.

Стратегии игрока В: У* = (0;0,611;0,389;0;0). То есть, обороняющаяся сторона конфликта для получения минимальных потерь от действий наступающего противника должна использовать стратегию В2  с вероятностью 0,611 и стратегию В3  с вероятностью 0,389.

Если наступающая сторона отклонится от выбранных стратегий, то эффективность от её боевых действий будет меньшей, если же обороняющаяся сторона отклонится от выбранных ею стратегий, то потери, которые она понесёт от действий наступающей стороны, будут большими.

Цена игры: v = min max aij = max min aij =7,667.

Это означает, что при выборе полученных в результате решения игры стратегий обеими сторонами, количественное значение выигрыша наступающей стороны и проигрыша обороняющейся стороны примет значение 7,667.

По моему мнению, вторая конфликтная ситуация хорошо демонстрирует метод сведения игры к задаче линейного программирования. А демонстрация процесса её решения показывает, насколько просто и быстро можно получить ответ при надобности принятия решения при выборе вариантов боевых действий.

 

Заключение

 

В данной работе рассматривалась тема применения теории игр для флота при выборе стратегий в конфликтных военных ситуациях. В основной части работы были приведены сведения об антагонистических играх, в частности об игре с нулевой суммой и игре в смешанных стратегиях и методах решений.

В практической части работы был разобран пример морского сражения второй мировой войны, составлена модель игры и реализован процесс её решения в программе Ms Excel с помощью статистических функций. Во втором примере конфликтной ситуации в результате её формализации получена модель игры, которая не имеет седловой точки. Данная задача была сведена к задачи линейного программирования решена с помощью надстройки Ms Excel Поиск решения.

По моему мнению, применение методов теории игр во флоте не только облегчает и ускоряет процесс анализа конфликтной ситуации, но и открывает дополнительные возможности в отрасли военного флота. В процессе планирования и разработки тактики наступления, применение игровых методов позволяет выбрать наступающей стороне вариант действий, который даст наибольший положительный результат от боевых действий для этой стороны.

А в процессе планирования и разработки тактики оборонительных действий, применение игровых методов позволяет выбрать обороняющейся стороне вариант действий, который будет способствовать наименьшим её потерям от боевых действий наступающей стороны.

 

Использованная литература

 

1.     Кузнецова И.А. Сборник задач по исследованию операций с методическими указаниями. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989.

2.     Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в  управлении  экономикой и бизнесом: Учеб. пособие. - М.: Дело, 2001. - 464 с.

3.     Лунгу К. Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 128 с.

4.     Розен В.В. Теория игр и экономическое моделирование. Саратов, 1996.

5.     Шолпо И.А. Исследование операций. Теория игр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 1983.

6.     Суздаль В.Г. Теория игр для флота. М., Воениздат, 1976. - 317 с.

7.     Лабскер Л.Г., Ященко Н.А. Теория игр в экономике. -М.: КНОРУС. 2013

Код для цитирования: Скопировать