VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

В подготовке инженеров обучению математике отводится значительное место, так как без этих знаний невозможно изучение большинства других предметов. При изучении раздела «Дифференциальные уравнения» на занятиях изучаются в основном математические методы решения различных дифференциальных уравнений, на задачи прикладного содержания времени, как правило, не остается. Однако даже хорошее усвоение теоретических знаний не гарантирует успешного применения их для решения практических инженерных задач. Необходимость решения студентами задач прикладного содержания, в которых демонстрируется мощь математических методов и необходимость их изучения, проявляется при анализе результатов итогового тестирования студентов. Эти результаты показывают, что примерно 70-80% студентов правильно решают задачи с формулировкой «Найти решение дифференциального уравнения…», задачи же в которых требуется составить уравнение по практической ситуации, описанной в задаче, составить начальные условия для нахождения частного решения решают единицы. Таким образом, для того, чтобы избежать инертности мышления, ориентировки на определенную знакомую постановку задачи необходимо предлагать студентам задачи, включающие элементы практической ситуации. В данной работе рассматривается решение задачи, которая описывает процесс обогрева жилого помещения. Задача интересна тем, что для экономии тепловой энергии в задаче используется термостат и приходится рассматривать различные ситуации процесса, менять начальные условия задачи.

В настоящее время все больше людей задумываются о вопросах энергосбережения. И в этом нет ничего удивительного - зачем переплачивать за отопление, когда на этом можно экономить? Существует несколько способов сокращения расходов тепловой энергии а, следовательно - ее экономии. Один из них оборудование систем отопления жилых домов термостатами. Термостаты - это приборы, которые включают и выключают нагреватель в зависимости от величины разности между заданной оптимальной температурой Т₀ и действительной температурой в помещении в данный момент времени Т(t), то есть они позволяют автоматически регулировать температуру воздуха в помещении, поддерживать ее изменение в определенном интервале. При этом происходит значительное снижение затрат тепловой энергии при сохранении комфортной температуры во внутреннем помещении обогреваемого здания.

Цель работы: на примере решения задачи, описывающей процесс обогрева заданного помещения показать применение дифференциальных уравнений.

Этапы решения задачи:

1. По условию задачи составить математическую модель обогревательного процесса в рассматриваемом помещении;

2. Найти закон изменения температуры в этом помещении в зависимости от времени;

3. Провести анализ работы термостата, вычислить время одного цикла его работы;

4. Проиллюстрировать полученные результаты графиками, полученными с применением ЭВМ;

Сделать выводы по проведенной работе.

В качестве математической модели в данной работе используется дифференциальное уравнение первого порядка, которое описывает процесс изменения температуры при обогреве заданного помещения [3].

Из теплотехники известна закономерность изменения температуры в обогреваемом помещении:

,

где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от многих факторов, которые должны быть учтены, например, от размеров помещения, работы системы отопления и температуры окружающей среды. Он получается экспериментальным путем для каждой конкретной задачи. В данной задаче рассмотрены следующие условия: вне дома температура равна 0°, а начальная температура в помещении равна 10°, k = 250 [3];

Q_вх - количество тепла, поступившего от нагревателя, мы использовали данные [3] Q_вх = 30000 Дж/ч.;

Q_вых - потери тепла из помещения в окружающую среду, в нашем исследование они изменяются по закону Q_вых = 500T(Дж/ч ) [3];

Пусть Т₀ - заданная комфортная температура в помещении. Обычно на практике комфортной для жилых помещений считается Т₀ = 22°. Работа термостата заключается в том, чтобы поддерживать в помещении температуру определенного диапазона, например, как в нашем исследовании Т = 22° ± 1°. График работы термостата приведен на рис. 1. Из графика видно, что

если температура в помещении нагреется до T = 23°, то

(Т₀ – Т) = –1° и термостат выключает нагреватель,

если температура понизится до T = 21°, то

(Т₀ – Т) = +1° и термостат снова включает систему отопления, входная мощность нагрева составляет Q_вх = 30000 Дж/ч.

Рис. 1. График работы термостата

Математическая модель задачи - дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными и начальными условиями, то есть задача Коши:

/ (1)

Метод решения уравнения (1) заключается в разделении переменных и последующем интегрировании полученного равенства.

Так как отопительная система снабжена термостатом, то с учетом его работы было рассмотрено три частных случая уравнения (1). Эти частные случаи отличаются входными числовыми данными и начальными условиями. Решения этих уравнений также отличаются, поэтому в процессе обогрева помещения было решено три частных задачи или рассмотрены три этапа решения одной задачи.

Задача 1. Получение закона изменения температуры в помещении T(t) при включенном обогревателе Q_вх = 30000 Дж/ч и начальной температуре T(0) = 10°, определение времени, за которое температура внутри помещения нагреется от 10° до 23°.

Решение. Решая задачу Коши:

= dt, T(0) =

получили:

= +C, ln = t + C, ln = -2t +

Общее решение уравнения:

T(t) = .

Произвольную постоянную С нашли из начальных условий, получили С = 25000, откуда Т(t) = 60° – 50°— закон изменения температуры в помещении на первом этапе. Чтобы найти время, в течение которого температура в помещение поднимется от 10° до 23°, подставили в последнюю формулу вместо T условие Т = 23°, получили:

t = = 0,12 (час) = 7 мин.

Первый этап закончился, термостат выключил систему обогрева и подачи тепла в помещение нет.

Задача 2. Обогреватель отключен, подачи тепла в помещение нет, идут только потери тепла, поэтому температура понижается, но понижение возможно только до 21° потом термостат снова включает отопление. Требуется получить закон снижения температуры в помещении от 23° до 21° при условиях = 0, а формула потери тепла: = -500Т. Требуется определить время, за которое температура в помещении снизилась с до и термостат снова должен включить отопительную систему для обогрева.

Решение (2 этап): Решение задачи Коши:

-500T = 250, T(0) = .

Разделяем переменные = -2dt, = + C, ln = -2t +C,

T(t) = *C - это закон изменения температуры внутри помещения на втором этапе, а именно закон потери тепла после отключения обогревателя.

Используя начальное условие T(0) = , получим Т(t) = 23° .

Очевидно, что значения T(t) убывают с увеличением t, температура в помещении падает. Время, за которое температура в помещении понизится до 21°, получим из равенства:

= *, t = = 0, 05 (час) 2,7 мин.

Итак, до включения отопительной системы термостатом на втором этапе потребовалось 2,7 мин. После этого подача тепла снова включилась. Температура в помещении вновь повышается.

Задача 3. Получить закон изменения температуры в помещении, если обогреватель включен и температура повышается, причем Т(0) = 21°.

Требуется определить время, за которое температура в помещении вновь повысится до , то есть до момента повторного включения отопления.

Решение: Приводим решение задачи Коши:

(30000 – 500T) = 250 , T(0) = .

Закон повышения температуры уже был получен при решении задачи на первом шаге:

T(t) = .

С помощью начальных условий была найдена произвольная постоянная С = 19500, и

T(t) = = - - закон изменения температуры в помещение на третьем этапе исследования работы термостата. Очевидно, что с увеличением времени t значения температуры Т(t) увеличиваются, то есть температура в помещении растет. Для нахождения времени t до включения обогревателя термостатом, использовались условия Т = 23°, получено:

T = = 0,03 (час)

Таким образом, мы изучили работу термостата на трех этапах процесса отопления помещения. Если циклом считать промежуток времени между двумя отключениями отопительной системы, то время одного цикла работы термостата равно:

Т = ln( ) 2,7 +2 5 мин.

За время цикла обогреватель включен 2 минуты, а выключен 2,7 минут, то есть около 3 минут. При этом в помещении поддерживается комфортная температура. Мы считаем, что при этих условиях идет значительная экономия тепловой энергии, приблизительно 60 %.

Приведем иллюстрацию всех трех этапов исследования графиками, полученными с помощью электронных таблиц.

Приложения.

Первый этап. В таблице 1 и на рисунке 2 приведен расчет времени, необходимого для первоначального нагрева помещения.

Таблица 1

Часть 1. Первоначальный нагрев до
k	(час)	T = -50+60	Шаг t =
0	0,00	10,00000	T = 0,16666667
1	0,02	11,53919
2	0,03	13,22465
3	0,05	14,75813
4	0,07	16,24133
5	0,08	17,67591
6	0,10	19,06346
7	0,12	23,99995

Рис.2

Вывод. Первоначальный нагрев произошел за 0,12*60 7,2 мин.

Второй этап. В таблице 2 и на рисунке 3 приведен расчет времени, за которое температура в помещении понизилась от 23° до 21°.

Таблица 2

Часть 2. Понижение температуры до
k	(час)	T = 23	Шаг t =
0	0,12	23,91349	0,16666667
1	0,14	23,12951
2	0,15	22,37123
3	0,17	21,63782
4	0,19	Вкл. отопление

Рис. 3

Вывод. Понижение температуры произошло за время t 3 минуты.

Третий этап. В таблице 3 и на рисунке 4 приведен расчет времени, которое потребовалось для нагрева помещения от Т = до T = .

Таблица 3

Часть 3. Нагрев температуры от до 230
k	(час)		Шаг t =
0	0	21,0000	0,01666667
1	0,02	22,27857
2	0,03	Выкл. отопление

Рис. 4

Вывод. Нагрев помещения произошел за 2 минуты.

Выводы по проведенной работе:

В данной работе решена задача, описывающая процесс обогрева в заданном помещении. Эта задача решается с использованием математического аппарата дифференциальных уравнений и демонстрирует студентам необходимость этих знаний. При решении задачи проведено исследование работы термостата в процессе обогрева жилого помещения при определенных условиях, рассмотрены 3 этапа его работы. Проведен анализ работы термостата, установлено время одного цикла его работы, которое составило 4,7 , то есть примерно 5 минут. За это время подача тепла в помещение идет 2 минуты, а отключается тепло в течение 2,7 минут. Мы считаем, что экономия тепловой энергии составляющая более 50 % очень значительна. Данное исследование имеет прикладное значение, так как в настоящее время при обогреве индивидуальных жилых домов люди для экономии тепловой энергии все чаще используют обогреватели с регулятором температуры. Результат решения, полученные в работе, могут быть использован для решения более сложных задач.

Исследование работы термостата при обогреве помещения на каждом этапе имеет иллюстрации, в виде графиков, составленных с помощью ЭВМ.

Список литературы.

1. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях.

2. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987. — 160 с.

3. Боярчук А. К., Голвач Г. П. Справочное пособие по высшей математике. Т. 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Дифференциальные уравнения 1 порядка. М.: КомКнига, 2006. — 240с.

4. Шуп Т. Е. Решение инженерных задач с помощью ЭВМ. М.: Мир,1982. С. 99-1.

Spisok literatury.

1. Amel'kin V. V. Differencial'nye uravnenija v prilozhenijah.

2. M.: Nauka, Glavnaja redakcija fiziko-matematicheskoj literatury, 1987. — 160 s.

3. Bojarchuk A. K., Golvach G. P. Spravochnoe posobie po vysshej matematike. T. 5. Differencial'nye uravnenija v primerah i zadachah. Differencial'nye uravnenija 1 porjadka. M.: KomKniga, 2006. — 240s.

4. Shup T. E. Reshenie inzhenernyh zadach s pomoshh'ju JeVM. M.: Mir,1982. S. 99-1.

Код для цитирования: Скопировать