VIII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2016

Исторически рано развившейся областью математической фи­зики и важной с точки зрения физических приложений является теория потенциала.

По закону Ньютона потенциал поля тяготения в точке x, соз­данный массой m, сосредоточенной в точке равен (1):

где х — гравитационная постоянная, а г —расстояние между точ­ками хи I. Если масса распределена с плотностью р в области V, то потенциал созданного ею поля, очевидно, должен быть опре­делен как объемный интеграл:

Выражением подобного же вида, отличающимся лишь постоянным множителем, определяется и кулоновский потенциал поля электри­ческих зарядов, распределенных с плотностью р.

В обоих случаях потенциал поля с точностью до множителя равен интегралу:

который будем называтьньютоновским потенциалом.

Подчеркнем отличия между ньютоновским потенциалом (1), с одной стороны, и потенциалами полей тяготения и электричес­ких зарядов — с другой.

При переходе к полю тяготения перед интегралом (1) должен быть введен отрицательный множитель, учитывающий характер взаимодействия между тяготеющими массами (притяжение). Абсо­лютная величина этого множителя зависит от выбора единиц измерения и поэтому для нас несущественна. Кроме того, плот­ность тяготеющих масс р, в отличие от плотности электрических зарядов, всегда неотрицательна. Поэтому, при рассмотрении поля тяготения мы всегда имеем дело с частным случаем ньютоновского потенциала (1).

При переходе к полю электрических зарядов перед интегра­лом (1) должен быть введен положительный множитель, так как одноименные электрические заряды отталкиваются. Плотность р может быть знакопеременной.

Таким образом, изучая ньютоновский потенциал (1), мы отвле­каемся от конкретного характера взаимодействия (притяжение или отталкивание) — наши выводы не будут зависеть от этого характера. Они всегда будут приложимы к полю электрических зарядов. К полю тяготения они будут приложимы, если соблю­дено требование неотрицательности плотности р.

Перейдем к изучению свойств ньютоновского потенциала.

Если плотность р — ограниченная функций с непрерывными первыми производными, убывающая на бесконечности не медлен­нее, чем 1/|£|2, где |£|² = £₁² + £₂² + £з², то можно показать, что нью­тоновский потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона (2):

и имеет непрерывные первые и вторые производные, причем первые производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла.

Ниже мы будем рассматривать ньютоновский потенциал в точках вне области V распределения масс или зарядов, считая область V ограниченной, а плотность р непрерывной. Когда xRe—V,где все пространство, подынтегральная функция в интеграле (1) непрерывна и дифференцируема по координатам точки x неограниченное число раз. Следовательно, когда хR_F—V,производные ньютоновского потенциала всех порядков могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла.

Так как функция 1/r гармонична, когда x R_Е—V,

то ньютоновский потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, когда xR_F—V. При х→ ∞подынтегральная функция неогра­ниченно убывает. Поскольку область V ограничена, ньютоновский потенциал при этом стремится к нулю. Следовательно, вне области расположения масс (зарядов) ньютоновский потенциал представ­ляет гармоническую функцию.

Код для цитирования: Скопировать