Например: Рассмотрим функцию .
По определению факториал числа (обозначается n!, произносится эн факториал) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:
.
Её значения
образуют некоторую числовую последовательность, и соответственно факториал является функцией натурального аргумента. Функции натурального аргумента еще называют целочисленными функциями.
Функции «пол» и «потолок» и их свойства
Пусть множество всех натуральных чисел, т.е. множество всех целых положительных чисел . Для любого где множество всех действительных чисел, определим следующие понятия:
x — наибольшее целое, меньше или равное x;
x — наименьшее целое, больше или равное x (рис.1).
Литературах, например, в их еще называют пол (floor) и потолок (ceil), соответственно.
Рисунок 1-График функции «пол», «потолок» и
Из определения ясно, что , . Отсюда следует, что
(1)
В целых точках и функции неубывающие, а значения их совпадают, т.е. — целое . А если они не совпадают, то они отличаются на 1, т.е.
для всех не целых . (2)
Функции и являются отображениями друг друга относительно координатных осей, т.е.
, (3)
Из определений «пола» и «потолка» легко следуют свойства этих функций: и
(4)
Разность между и называется дробной частью x и обозначается
. Иногда называется целой частью , поскольку .
Докажем следующее свойство рассматриваемых функций:
(5)
Так как равно либо 0, либо 1, то равно либо , либо .
«Пол» и «потолок» как функции «пола» и «потолка»
Рассмотрим непрерывную, монотонно возрастающую функцию такую, что при целых значениях функций аргумент является целым. Тогда
(6)
и
(7)
всякий раз, когда определены функции,,.
Докажем, что
Случай 1: если , тогда .
Случай 2: если , тогда (в силу того, что функция монотонно возрастающая), а так как функция «пол» — не убывающая, то . Предположим, что , тогда существует такое число , что и (в силу непрерывности функции). Из условия следует, что — целое число. Это противоречит тому, что между и нет целых чисел. Значит, .
Докажем, что .
Случай 1: если , то .
Случай 2: если , то (в силу того, что функция монотонно возрастающая), а так как функция «потолок» — не убывающая, то . Предположим, что , тогда существует такое число , что и (в силу непрерывности функции ). Из условия следует, что — целое число. Это противоречит тому, что между и нет целых чисел. Значит, .
Рассмотрев , получаем полезное свойство:
и (8)
Например, при и получаем , т.е. троекратное деление на 10 с последовательным отбрасыванием цифр остатка — это то же самое, что и непосредственное деление на 1000 с последующим отбрасыванием всего остатка.
3. Формулы для подсчета целых чисел в заданном ограниченном числовом множестве
Рассмотрим следующие ограниченные числовые множества вида . Будем рассматривать указанные интервалы при условии .
Если и — целые числа, тогда интервал содержит ровно целых чисел: , аналогично интервал содержит целых чисел. Теперь если и произвольные вещественные числа, то из (4) следует, что
,
здесь — целое число.
Следовательно, интервал содержит ровно целых чисел, а интервал (, ] содержит ровно целых чисел.
Рассмотрим промежуток [, . Имеем (на основании свойств (4)). Отсюда следует, что рассматриваемый промежуток содержит ровно целых чисел: , , …, , .
Рассмотрим (, ), причём . Имеем . Отсюда следует, что рассматриваемый интервал содержит ровно целых чисел: , , …, , . Если не вводить дополнительное ограничение то получим, что пустой интервал (, ) содержит ровно целых чисел.
Подытожим установленные факты:
Интервал |
Количество целых чисел |
Ограничение |
[, |
+ 1 |
|
[, ) |
|
|
(, ] |
|
|
(, ) |
1 |
|