VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Актуальность работы

Результаты работы могут быть использованы при конструировании датчиков для определения критичных конструктивных параметров и при их изготовлении для определения параметров технологического процесса.

Научная новизна

Решенные новые задачи по анализу частоты колебаний доведены до числового результата и позволяют оценить влияние допусков на геометрические размеры магнитного поля, случайного характера геометрических размеров на функциональные характеристики датчика.

Практическое использование

Применение при системном подходе к процессу производства датчиков для уменьшения вариаций параметров технологического процесса, сокращение количества несоответствий при производстве датчиков.

Функциональные характеристики вибрационного датчика имеют случайный характер. Вариации характеристик определяются: исполнителем работ; допуском на геометрические размеры; сырьем и исходными материалами; технологическим процессом; оборудованием и инструментом; средствами и методами измерения результатов; окружающей средой.

Улучшение качества и уменьшение количества несоответствий при выпуске датчиков достигается не ужесточением требований к системе и увеличением вариаций случайных параметров, а уменьшением вариаций результатов деятельности, считая что качество формирует технологический процесс.

При анализе влияния геометрических размеров решены вопросы: 1) разработки уточненных расчетных схем вычисления собственных частот упругой системы в статистических и динамических условиях; 2) установления связи между допуском на характеристики датчика и свойствами материала (размером зерна, легирующими элементами, модулем упругости, реологическими свойствами, режимами термообработки); 3) учета влияния внутреннего трения на частоты датчика; 4) обеспечения стабильности функциональных характеристик в зависимости от времени и температуры; 5) оценки влияния коэффициентов инерции и жесткости на функциональные характеристики.

1. Малые колебания струн

Уравнение малых поперечных колебаний элемента датчика – струны имеет вид [1], Рис. 1.

d2ydt2=a2d2ydz2, a2=T0m0 1

где T0 – натяжение струны н; m0=bhρ – масса единицы длины струны, кг/м; (h – толщина, b – ширина, ρ –плотность). Y(z, t) – смещение произвольной точки струны.

Рис. 1. Малые колебания

струны

Функция Y(z, t) должна удовлетворять краевым и начальным условиям.

Общее решение (1) записывается в виде:

yz, t= ∞C1ncosπnlat+C2nsinπnlatsinπnzl 2

коэффициенты C1n и C2n определяются как коэффициенты рядов Фурье для начальной формы и начального распределения скоростей точек струны.

Возможные значения частот колебаний p:

pn=nπl1T0m0c-1, n=1,2,… (3)

При уменьшении толщины струны с h = 0,22 мм до h = 0,19 мм (на – 13,6%) для l = 5,7 мм частота увеличивается на +7,6%. При той же толщине струны h = 0,220 мм увеличение длины с l = 5,7 мм до l = 5,775 мм (на +1,3%) приводит к уменьшению частоты на – 1,3%. Изменение геометрических размеров с h = 0,22 мм, l = 5,7 мм до h = 0,19 мм, l = 5,775 мм вызывает увеличение частоты на +6,2%.

При уменьшении толщины струны с h = 0,16 мм до h = 0,146 мм (на – 8,75%) для l = 5,7 мм частота увеличивается на +4,7%. При той же толщине струны h =0,16 мм увеличение длины с l = 5,7 мм до l = 5,775 мм (на +1,3%) приводит к уменьшению частоты на – 1,3%. Изменение геометрических размеров с h = 0,16 мм, l = 5,7 мм до h = 0,146 мм, l = 5,775 мм вызывает увеличение частоты на +6,2%.

Уравнение малых поперечных колебаний струны при переменных по длине струны m₀(z) и T₀(z) имеет вид:

m0zd2ydt2=ddzT0(z)dydz (4)

Если масса струны (масса единицы длины струны) изменяется по закону, Рис. 2.,

m=m0+m1sinπz1, (5)

то первые две частоты колебаний, считая, что натяжение в струне Т₀ при колебаниях остается практически неизменным, определяются выражениями:

_{p1=πlT0m01+m1m083π, c-1, 6 p2=2πlT0m01+m1m03215π, c-1, (7)}

Если масса струны ( масса единицы длины струны) изменяется по закону, Рис. 3.,

m=m0+m1sinπz1, (8)

то частота колебаний определяется формулой:

_{p1=πlT0m01+a11, c-1, 9}

_{a11=12π1-cosπll11-l1ll2-4l12m1m0}

Если струна находится между полюсами N и S магнита, Рис. 4., то сила притяжения со стороны магнитов при смещении струны из нейтрального положения (сила, действующая на единицу длины струны) равна [2]:

g=F2-F1=KФ02ll1-y2-ll1+y2;

В этом случае частоты малых колебаний:

_{pn=πnl2T0m0-4Ф02Km0l13, c-1 (10)}

(n=1, 2,…)

Полученные формулы используются при определении натяжения струны и оценки влияния неточности формы на частоты колебаний.

Уравнение малых поперечных колебаний элемента датчика – стержня (балки) переменного поперечного сечения, Рис. 5. Имеет вид:

_{d2dz2EIx(z)d2ydz2+m0zd2ydt2=0, (11)}

где _Ix(z) - момент инерции поперечного сечения стержня.

Если _EIx = const и _m0z = const, то уравнение (11) запишется в виде:

EIxd4ydx4+m0d2ydt2=_{0 (12)}

Его решение ищем в виде y(z, t) = Z(z)T(t), что позволяет получить два уравнения:

_{EIxZiv-m0p2Z=0, a}

T+p2T=0, (б)

где р – частота колебаний стержня.

Решение уравнения (а) представляем в форме А.Н. Крылова:

Zz=C1K1λz+C2K2λz+C3K3λz+C4K4λz,

где Kiλz – функции Крылова, а функция Z(z) (и частоты колебаний стержня) удовлетворяет краевым условиям задачи (условиям закрепления балки).

Решение (б) записывается в виде T = C₅cos pt + C₆sin pt, где коэффициенты С₅ и С₆ определяются из начальных условий для начальной формы и начального распределения скоростей точек стержня.

Для шарнирно опорной балки частоты колебаний определяются выражением:

_{pn=n2π2l2EIxm0, c-1}

,где момент инерции поперечного сечения _{Ix=bh312, b-ширина, h-толщина стержняh=1, 2,….} Масса единицы длины _m0=bhρ,

_{ρ-плотность материала стержня.}

С учетом этого первая частота колебаний стержня в Гц определяется выражением:

_p1=khl2Eρ, Гц, где k(h, E) = 1,03…1,23.

Анализ частоты упругих элементов с учетом допусков на геометрические размеры при _{E=1,92∙1011 н/м2 -} значение модуля упругости для сплава 45 НХТ после закалки 950°С в воду и старении 600°С в течение 2ч.

b = 0,7^-0.06 мм, h = 0,22^-0.030 мм, l = 5,7^+0.075 мм, _{ρ=8,05∙103кгм3;}

При уменьшении толщины стержня с h = 0,22 мм до h = 0,19 мм (на – 13,6%) для l = 5,7 мм частота уменьшается на ту же величину – 13,6%. При толщине стержня h = 0,22 мм изменение длины с l = 5,7 мм до l = 5,775 мм (увеличение на +1,3%) приводит к уменьшению частоты на – 2,6%. Изменение геометрических размеров с h = 0,22 мм l = 5,7 мм до h = 0,19 мм l = 5,775 мм вызывает уменьшение частоты на – 15,9%

При уменьшении толщины стержня с h = 0,16 мм до h = 0,146 мм (на – 8,75%) для l = 5,7 мм частота уменьшается на ту же величину – 8,75%. При той же толщине стержня h = 0,16 мм увеличение длины с l = 5,7 мм до l = 5,775 мм (на +1,3%) приводит к уменьшению частоты на – 2,6%. Изменение геометрических размеров с h = 0,16 мм l = 5,7 мм до h = 0,146 мм l = 5,775 мм вызывает уменьшение частоты на – 11,1%. Полученные результаты справедливы для модуля упругости _{E=1,92∙1011 н/м2}.

Если _{E=1,82∙1011 н/м2}, что соответствует старению при 700°С, то _{А=0,482∙104}Гц/м. В этом случае а) р₁ = 33625,93 Гц; б) р₁ = 29040,57 Гц (- 13,6%); в) р₁ = 32758,81 Гц (- 2,6%); г) р₁ = 28291,71 Гц (- 15,9%); д) р₁ = 29163,04 Гц; е) р₁ = 26648,47 Гц (-8,7%); ж) р₁ = 28450,72 Гц (- 2,4%); з) р₁ = 25916,29 Гц (- 11,1%).

Полученные зависимости позволяют оценить влияние геометрических характеристик (допусков геометрических размеров) и свойств материала на частоту упругих элементов. Например, при изменении модуля упругости с _{E=1,92∙1011 н/м2} до _{E=1,82∙1011 н/м2} частота изменится при h = 0,22 мм, l = 5,7 мм с р₁ = 34523,54 Гц до р₁ = 33625,93 Гц (уменьшение на – 2,6%); h = 0,16 мм, l = 5,7 мм с р₁ = 29941,52 Гц до р₁ = 29163,04 Гц (уменьшение на – 2,6%).

Полученные зависимости частоты от геометрических размеров позволяют решить задачу в вероятностной постановке с использованием [3]. Действительно, пусть толщина стержня – случайная величина, которая подчинена нормальному закону с плотностью:

fh=1σh2πe-h-mh22σh2, (14)

где mh, σh - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение толщины соответственно.

Учитывая, что частота связана с толщиной линейной зависимостью

p=kll2Eρh, то распределение частоты также по нормальному закону с параметрами

mp=kll2Eρmh, (15)

σp=kll2Eρσh. (16)

Зная закон распределения частоты, цель и допуск на цель можно определить вероятность попадания в заданный интервал и вычислить процент брака по частоте в зависимости от допуска на геометрические размеры.

Аналогично решается задача о влиянии случайного модуля упругости на частоту.

Вычисление закона распределения частоты с учетом целевого назначения и допуска на него позволяет определить вероятность попадания служебных характеристик в заданный интервал и вычислить процент несоответствий с учетом законов распределения геометрических размеров и модуля упругости материала. В работе приведены практические рекомендации по уменьшению вариации частот – обеспечение стабильности свойств материала (модуля упругости, вязкости); электромагнитных характеристик; центра и величины рассеивания геометрических размеров; параметров электроэрозионной и электрохимической обработок, используемых для изготовления датчика.

Заключение

Раскрыты закономерности и проанализировано влияние параметров материала и технологического процесса на изменение частотных характеристик вибрационного датчика. Предложены рекомендации по обеспечению стабильности функциональных характеристик с учетом параметров датчика и параметров технологического процесса. Выполненные работы позволили определить рациональные границы допусков на геометрические размеры с учетом свойств материала и уменьшить вариации функциональных характеристик датчика, обеспечив увеличение числа выхода годных датчиков при производстве.

Литература

1. Ден-Гартог, Дж.П. Механические колебания./Дж. П. Ден-Гартог. – М.: Физматгиз, 1960 – 580с.

2. Постоянные магниты: справочник/ под ред. Ю. М. Пятина. – М.: Энергия, 1976. – 376с.

3. Пугачев, В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления/ В. С. Пугачев. – М.: Физматгиз, 1962 – 884с.

Код для цитирования: Скопировать