VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Как известно, отношение меры дуги к длине ее хорды, когда дуга неограниченно убывает, имеет предел, равный положительному числу. Доказательство этого предложения в геометрии Евклида известно, однако, понятие о дуге длины окружности имеет смысл и в абсолютной геометрии. Поэтому возникла задача провести доказательство указанного предложения без использования аксиомы параллельности.

Сначала докажем несколько вспомогательных предложений.

Предложение 1. Из отрезков, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону, больше тот, который принадлежит большей стороне.

Пусть BC>AB. (Рис.1). Проведем медиану BS и продолжим ее на отрезке SD=BS, точку D соединим с точкой C. Очевидно, и , а следовательно, BC>DC и . Но , поэтому , т.е. биссектриса угла пересекает сторону AC в некоторой точке K, лежащей между A и S, а так как AS=SC, то AK