VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Нередко во многих областях, в том числе и в экономике встречаются такие конфликтные ситуации, которые предполагают возможность объединения игроков, не зависимо от их количества, для получения общей выгоды. Примером может служить объединение производителей товаров с целью повысить цены. Стоит отметить, коалиции создаются с целью извлечения дополнительной выгоды из сотрудничества, поэтому выигрыш коалиции должен быть больше суммарного выигрыша ее отдельных участников.

Кооперативные игры помогают ответить на вопрос, кому и с кем выгодно объединяться и нужно ли это делать вообще. При рассмотрении взаимоотношений поставщиков и покупателей, решений проблем банкротства и налогообложения, а также при обосновании различных форм частно-государственного партнерства эффективно используются именно кооперативные игры. Но, тем не менее, моделирование коалиционных взаимодействий на данном этапе остается лишь в теории, так как проведение анализа этих игр очень затруднительно.

Что же касается теории бескоалиционных игр, там предполагается, что каждый участник игры старается выбрать стратегию, исходя из допущения о том, что другие участники будут максимизировать свои выигрыши, то есть основной единицей анализа является отдельно взятый рациональный игрок. В теории коалиционных игр все складывается иначе. Здесь, основной единицей анализа является коалиция (группа участников), а целью – определить какие коалиции будут наиболее выгодны игрокам. При этом мы абстрагируемся от стратегий игроков, которые приносят им выигрыш. Отсюда, кооперативные игры называют нестратегическими играми. Здесь задаются возможности и предпочтения коалиции, после чего из них выводятся оптимальные для игроков ситуации, в том числе и распределение выигрыша.

Для того чтобы понять сущность кооперативной игры введем понятия, характеризующие их, а также рассмотрим решения таких игр.

Итак, кооперативная игра – это игра, в которой группы игроков – коалиции – могут объединять свои усилия. Подразумевается, что игроки примут решение о создании коалиции в зависимости от размеров выплат внутри коалиции.

Обозначим через множество N всех игроков, N=1, 2, …, n, а через К – любое его подмножество. Допустим, что игроки из К договорились между собой о совместных действиях, поэтому образуют коалицию. После того, как они образовали группу игроков, множество К действует уже как один игрок против остальных (NK), образующих вторую коалицию. Выигрыш этих коалиций зависит от применяемых стратегий каждого из игроков из N игроков.

Конечно, существуют случаи наиболее сложного формирования нескольких коалиций, то есть с увеличением числа всех игроков в игре возрастает количество коалиций. Поэтому, и технические трудности возникают из – за роста N - числа игроков.

Функция, которая каждой коалиции K ставит в соответствие наибольший результат, уверенно получаемый выигрыш ϑ (K), называется характеристической функцией. Она характеризует величину выгоды, которую коалиция достигнет путем объединения. Другими словами, игра задана так, что учитывается только коалиционный выигрыш, а не выигрыш каждого игрока. Но, неоспоримо, что каждый игрок выберет ту коалицию, которая обеспечит ему наибольший выигрыш. Поэтому, необходимо учесть возможное распределение выигрыша внутри каждой коалиции. Обобщая все, важно отметить, что анализ кооперативных игр подразумевает, что игроки вступаются в ту группу участников, которая принесет им наибольший размер выплаты.

Деление выигрыша между участниками коалиции называется дележом. Зачастую, в коалиционной игре существует множество возможных дележей, и каждый из них описывается платежами, которые получают остальные игроки.

Характеристическая функция ϑ называется простой, если она принимает только два значения: 0 и 1, то есть игры, где коалиции либо выигрывают, либо проигрывают. Коалиции, для которых ϑK=1 – выигрывающие, а для которых ϑK= 0 – проигрывающие.

Также необходимо отметить, что игра называется правильная, если ϑK = 1 -ϑNK. Это значит, что коалиция выигрывает тогда, когда оппозиция проигрывает. Примером простой игры может служить голосование на выборах.

Перейдем к свойствам характеристической функции. Первым свойством является персональность (ϑ∅=0). Это значит, что пустая коалиция не получает ничего. Далее, это свойство дополнительности: ϑK+ ϑNK=ϑ(N). Оно означает, что сумма выигрыша коалиции и остальных игроков должна равняться общей сумме выигрышей всех игроков. Монотонность (A⊆B⟹ ϑ A≤ϑB) является еще одним свойством характеристической функции, которое показывает что, у больших коалиций соответственно и выплаты станут больше. Последнее свойство - супераддитивность (ϑK∪L≥ϑK+ ϑL, если K,L ⊂N,K∩L≠∅), означающее, что общий выигрыш коалиции должен быть не меньше суммарного выигрыша всех участников коалиции. Данное свойство показывает дополнительные возможности игроков при их объединении.

Кооперативные игры подразделяют на две группы. Принцип этого деления основывается на свойстве супераддитивности. Таким образом, если для любых коалиций выполняется строгое неравенство ϑK∪L>ϑK+ ϑL, то такая игра называется существенной. Если же выполняется равенство ϑK∪L=ϑK+ ϑL (свойство аддитивности), то такие игры являются несущественными.

Как уже отмечалось, каждый игрок, принимая решение о том, войти или нет в какую-либо коалицию, оценивает результат этого выбора. Исходом игры является дележ, который является результатом их соглашения, поэтому, в кооперативных играх сравниваются не ситуации, а дележи. Такое сравнение часто носит сложный характер. Другими словами, решение игроков о создании коалиции принимается не случайным образом, а основывается на рациональных принципах. Игроков должна соответствовать их возможностям.

Что же касается распределения выигрышей, то, стоит отметить, что оно должно соответствовать некоторым условиям. Во-первых, это условие индивидуальной рациональности: xi≥ϑ(i), для i∈N. Правильно предположить, что каждый игрок в коалиции должен получить выигрыш не меньше, чем выигрыш, если бы он играл самостоятельно. Иначе, смысла вступать ему в коалицию нет. Во-вторых, это условие коллективной рациональности (эффективности): xi=ϑ(N) – сумма дележей игроков должна соответствовать их возможностям. Допустим, что сумма выигрышей игроков всех игроков меньше, чем выгода от объединения в коалицию ϑ(N), то остается неразделенный выигрыш. Если же ситуация обратная, то игрокам придется делить сумму больше, чем они имеют.

Для того чтобы решить кооперативную игру можно использовать как простые методы, то есть интуитивно понятные, так и наиболее сложные с использованием математического инструментария. Итак, наиболее простым методом является решение в угрозах и контругрозах. Допустим, что есть три игрока: игрок №1, игрок №2 и игрок №3. В процессе этой игры формируется следующая коалиция: K=1, 2, в которую вошли игроки №1 и №2. Тогда, при распределении дохода ϑ1, 2 игроки №1 и №2 получают суммы x1и x2 соответственно. Например, если игрок №1 недоволен таким распределением, он может сказать партнеру, что если его доход не будет увеличен, то он сформирует коалицию с игроком №3, где получит наибольший выигрыш. В случае если такая коалиция может образоваться и игроку №3 действительно выгодно вступать в нее, то такое заявление называется угрозой игрока №1 игроку №2. После чего, игрок №2 может заявить о том, что при таких действиях он предложит такую конфигурацию коалиционной структуры игроку №3, что игрок №3 получит еще больший доход, при этом игрок №2 не уменьшит свой выигрыш. Так, игрок №2 выдвигает контругрозу игроку №1. Если в результате этих переговорах складывается какая-то определенная коалиционная структура, то говорят о равновесии в угрозах и контругрозах. То есть, для любой угрозы игрока i против другого игрока j существует контругроза игрока j против игрока i.

Ясно, что при таком решении игроки должны точно знать свой выигрыш и о выигрышах других игроков в разных коалиционных структурах, при этом быть действительно уверенными в их получении (блеф здесь не рассматривается).

В свою очередь теория корпоративных игр основывается на несколько более строгих подходах к образованию коалиций и определению дележей. Рассмотрим подходы к определению оптимальности на основе C – ядра и n – ядра.

Итак, понятие ядра – ключевой принцип оптимальности для теории кооперативных игр. Оно является исходом игры, который нельзя улучшить никакой коалицией участников экономического процесса, а также связано с понятием равновесия. Другими словами, исход действий игроков, который нельзя улучшить ни созданием новых коалиций, ни роспуском уже существующих.

С экономической точки зрения ядро связано со свободной деятельностью огромного количества экономических субъектов, каждый из которых располагает определенным количеством ресурсов и обладает индивидуальными предпочтениями. То есть, экономическая система обеспечивает свободу образования групп субъектов, которые улучшают экономическое состояние участников процесса. Такое распределение благ между субъектами, которое является предпочтительным для всех участников, входит в ядро дележей. Отсюда, C – ядро представляет собой множество недоминируемых дележей, то есть коалиция всех участников не может увеличить выигрыш каждого участника собственными силами. Строго говоря, c – ядро – это множество эффективных распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков, то есть множество векторов x=(x1,…, xN), таких что xi=ϑN, и для любой коалиции K⊂N выполняется xi≥ϑK, где ϑ-характеристическая функция игры.

Равным этому понятию является определения с – ядра кооперативной игры в терминах блокирования распределений выигрыша коалициями. Итак, коалиция K блокирует распределение выигрыша x, если найдется другое распределение выигрыша y, такое что yi≥ϑK, и для любого участника i∈K выполнено yi≥xi. Тогда c - ядром кооперативной игры называется множество распределений выигрыша, которые не могут быть заблокированы ни одной коалицией.

Исходя из сказанного, c – ядро задается системой линейных уравнений и нестрогих неравенств, отсюда, геометрически оно является выпуклым многогранником, вершины которого определяют входящие в ядро дележи.

Не стоит забывать о том, что в несущественной игре c – ядро состоит из единственного дележа. А вот в существенной игре c – ядро может быть пустым. Это объясняется отсутствием недоминируемых платежей. Рассмотрим в общем виде игру трех игроков в форме (0; 1) – то есть коалиция либо проиграла, либо выиграла. Ее характеристическая функция имеет вид: ϑ∅=ϑ1=ϑ2=ϑ3=0

ϑ1, 2, 3=1

ϑ1, 2= C3; ϑ1, 3=C2; ϑ2, 3= C1;0≤C1,C2,C3 ≤1.

Для принадлежности дележа x c – ядру необходимо и достаточно выполнение неравенств x1+x2≥C3, x1+x3≥C2, x2+x3≥C1.

Используя равенство x1+x2+x3=1, получим x3≤1-C3, x2≤1-C2, x1≤1-C1. Отсюда следует,что x1+x2+x3≤3-C1+C2+C3.

Учитывая, что x1+x2+x3=1, получим C1+C2+C3≤2. Данное неравенство является необходимым условием существования непустого c – ядра.

Еще одним принципом оптимизации дележей в кооперативной игре является нахождение n- ядра. Данный принцип базируется на минимизации степени неудовлетворенности участников в составе коалиции в выигрыше. Другими словами, дележ ближе к оптимальному в том случае, если неудовлетворенность участников в выигрыше сведена к минимуму.

Понятие n – ядра игры основано на понятии эксцесса коалиции. Для теории кооперативных игр эксцесс коалиции (функция эксцесса) определяется как вектор eK, x= ϑK- xK. Эксцесс коалиции K интерпретируется как мера неудовлетворенности коалиции распределением выигрышей, которое предписывается вектором x. N – ядро представляет собой распределение выигрыша, на котором степень неудовлетворенности всех коалиций, которая измеряется величиной их эксцесса, будет наименьшей. Стоит отметить, что n – ядро всегда существует и состоит из одной точки. И, если c – ядро не пустое, то она принадлежит ему.

Главным преимуществом данного подхода является то, что он дает возможность найти единственный оптимальный дележ, который впоследствии удовлетворит всех участников коалиции. Нахождение этого дележа можно связать с задачей оптимизации с ограничениями: i∈Kxi≥ϑK, i∈Nxi=ϑ(N) и целевой функцией maxKe(K, x)→min.

На практике такое решение может быть легко найдено с помощью инструмента Excel «Поиск решения».

Помимо этих подходов, существует еще один подход к нахождению оптимальных решений кооперативных игр. Его предложил Л. Шепли и на сегодняшний день, этот подход – наиболее распространенный на практике. Он основан на «принципе дележа», исходя из вклада каждого участника в выигрыш коалиции.

Вектор Шепли, или значение Шепли Фϑ=(Ф1,…,Фn), представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока Фi равен его среднему вкладу в соответствующие коалиции K. Значение Шепли для каждого игрока имеет вид:

Ф(ϑ)i=i∈Kk-1!n-k!n!ϑK- ϑKi, где n-количество игроков, k-количество участников коалиции K.

Вектор Шепли удовлетворяет следующим свойствам: во-первых, линейность. Это свойство означает, что при участии игроков в двух играх их выигрыши в отдельных играх должны складываться. Во – вторых, выигрыш, получаемый участником, не зависит от его номера. Это свойство получило название симметричности. Ну и наконец, свойство эффективности, которое означает, что «бесполезный игрок» не должен получать выигрыш. В теории кооперативных игр такой игрок называется «болваном». Таким образом, при разделении общего выигрыша коалиции доли выделяются пропорционально, и ничего не выделяется на долю бесполезного игрока. При этом с него ничего не взимается.

Обобщая все вышесказанное, хотелось бы отметить, что теория кооперативных игр находит свое отражение в современной экономической жизни. С применением подходов, описанных выше, можно решить сложные экономические задачи. Конечно, раскрытие этих подходов не исчерпывающее, но, тем не менее самые ключевые моменты были затронуты. И, для того, чтобы можно было практически применить их, решим следующую задачу:

- три музыканта (А, Б и В) принимают решение о совместном выступлении. Каждый из них зарабатывает 1, 0 и 1 денежных единиц соответственно. Объединяясь по двое, они могут получить: А и Б – 4, А и В –3, Б и В – 5 денежных единиц, а втроем – 8 денежных единиц. В каком составе музыкантам выгоднее всего выступать и как им в этих условиях поделить заработанные деньги?

а) Будет ли отвергнут «равный» дележ, и если да, то какими коалициями?

б) Является ли данная игра существенной?

в) Проверьте наличие непустого c – ядра и определите его.

Решение:

а) «Равный» дележ не будет отвергнут ни одной коалицией, так как всем музыкантам выгоднее выступать вместе.

б) Для того, чтобы определить является ли игра существенной, необходимо проверить выполняется ли свойство супераддитивности.

• Выигрыш «А и Б» равен 4 денежным единицам; выигрыш «А» и «Б» равен 1 денежной единице. Так как 4 > 1, свойство супераддитивности выполняется.

• Выигрыш «А и В» равен 3 денежным единицам; выигрыш «А» и «В» равен 2 денежным единицам. Так как 3 > 2, свойство супераддитивности выполняется.

• Выигрыш «Б и В» равен 5 денежным единицам; выигрыш «Б» и «В» равен 1 денежной единице. Так как 5 > 1, свойство супераддитивности выполняется.

• Выигрыш «А, Б и В» равен 8 денежным единицам; выигрыш «А», «Б» и «В» равен 2 денежных единицы. Так как 8 > 2, свойство супераддитивности выполняется.

На основе расчетов можно утверждать, что игра является существенной.

в) Примем за x доход каждого из участников, то есть x1,x2 и x3 соответственно. Формализуем условие задачи: C1=5, C2=3, C3=4. Проверим условие существования непустого c – ядра: ϑ∅=ϑ1=ϑ2=ϑ3=0

ϑ1, 2, 3=8

ϑ1, 2= C3; ϑ1, 3=C2; ϑ2, 3= C1;0≤C1,C2,C3 ≤8.

Для принадлежности дележа x c – ядру необходимо и достаточно выполнение неравенств x1+x2≥C3, x1+x3≥C2, x2+x3≥C1.

Используя равенство x1+x2+x3=8, получим x3≤8-C3, x2≤8-C2, x1≤8-C1. Отсюда следует,что x1+x2+x3≤24-C1+C2+C3.

Учитывая, что x1+x2+x3=8, получим C1+C2+C3≤16. Данное неравенство является необходимым условием существования непустого c – ядра. 5+3+4=12≤16 , следовательно, c – ядро существует и оно не пустое.

С – ядро данной игры задается системой:

x1≥1, x2≥0, x3≥1

x1+x2+x3=8

x1+x2≥4, x1+x3≥3, x2+x3≥5

При проецировании c – ядра на плоскости x1,x2,x1,x3,x2,x3и учитывая соотношение x1+x2+x3=8, получим следующие соотношения для пограничных значений:

1. x1+x2=4, x3=4

2. x1+x3=3, x2=5

3. x2+x3=5, x1=3

4. Подстановка x3 из условия №1 в условие №2 дает координаты первой вершины с-ядра: (-1; 5; 4;). Подстановка x2 из условия №2 в условие №3 дает координаты второй вершины: (3: 5; 0). Подстановка x1 из условия №3 в условие №1 дает координаты третьей вершины: (3; 1; 4).

5. Найденные координаты трех точек соответствуют вершинам треугольника, определяющего c- ядро дележей игроков (рис.1).

6. Естественным и справедливым компромиссом является центр c-ядра (среднее арифметическое крайних точек), а именно: x*=(1,67; 3,67;2,67). При таком дележе каждая из возможных двухэлементных коалиций получает дополнительный выигрыш в размере 1,33 денежных единиц: xi+xj-ϑi, j=1,33. Следовательно, лучшее решение для музыкантов с точки зрения максимизации заработка – это выступить втроем, а оптимальное распределение заработка определяется вектором x*.

8. Рис. 1. C – ядро в кооперативной игре трех лиц.

10. Список литературы

1. И.Н. Дубина «Основы теории экономических игр»: учебное пособие / - Барнаул: издательство Алт. ун-та, 2009. – 216с.

Код для цитирования: Скопировать