VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

1. Актуальность рассматриваемого вопроса

При оценивании неопределенности косвенных измерений, в которых результат измерений получают с использованием нелинейных уравнений, рекомендуется использовать метод Монте-Карло [1]. Этот же метод рекомендуется и для случая зависимых результатов прямых измерений, используемых для получения результата косвенных измерений (так называемых зависимых косвенных измерений).

Более простым методом оценивания неопределенности зависимых косвенных измерений в сравнении с методом Монте-Карло является метод приведения [2], другим достоинством которого является отсутствие необходимости вычисления коэффициента корреляции [3].

Вместе с тем возможности метода приведения в случае асимметрии и островершинности функции плотности вероятностей результатов косвенных измерений, возникающей в ряде практических применений средств измерений [4] остаются неизученными.

1. Постановка задачи

С целью определения границ применимости метода приведения целесообразно провести исследование для

а) некоторых видов нелинейных зависимостей (например, , , , );

б) различных значений коэффициента корреляции (например, при );

в) различных соотношений составляющих неопределенности по типу А и по типу В.

Результаты, получаемые с использованием метода приведения целесообразно сравнить с результатами, получаемыми с применением метода Монте-Карло в предположении нормального закона распределения величин, входящих в уравнение измерений.

1. Оценивание неопределенности измерений методом приведения

Метод приведения позволяет найти оценку измеряемой величины и ее случайной погрешности, не прибегая к разложению в ряд Тейлора. При этом плотности распределения вероятностей неисключенных систематических погрешностей входных величин , формирующих стандартную неопределенность по типу В, принимаются равномерными [2].

Метод основан на приведении ряда отдельных значений косвенно измеряемой величины к ряду прямых измерений величин . Получаемые сочетания отдельных результатов измерений входных величин подставляют в уравнение измерения и вычисляют множество значений измеряемой величины : .

Результат косвенного измерения вычисляют по формуле:

,

где  число значений измеряемой величины Y; – i-е значение измеряемой величины, полученное в результате подстановки i-го сочетания результатов измерений входных величин в уравнение измерения.

Стандартную неопределенность результата косвенного измерения по типу А, вычисляют по формуле:

.

При этом число степеней свободы для стандартной неопределенности по типу А равно .

Стандартную неопределенность результата измерений по типу В вычисляют по формуле:

где  оценки стандартной неопределенности величин по типу B,  коэффициенты чувствительности величин , – коэффициент корреляции величин и .

Суммарную стандартную неопределенность измеряемой величины вычисляют по формуле:

.

Расширенную неопределенность результата измерений вычисляют с учетом коэффициента охвата k по формуле:

.

Результат измерения записывают в виде:

.

1. Исследование границ применимости метода приведения

С целью исследования границ применимости метода приведения для оценивания неопределенности измерений проводилось моделирование результатов зависимых косвенных измерений с многократными наблюдениями. Моделирование проводилось для уравнений , , , в предположении нормальной функции плотности распределения вероятностей величин и . Результаты зависимых косвенных многократных измерений обрабатывались методом приведения по описанной выше методике, а затем проводилось их сравнение с результатами обработки результатов измерений методом Монте-Карло.

Для входных величин и моделировались результаты измерений с нормальной функцией плотности распределения вероятностей, математическое ожидание, которых равно 1,000, а среднеквадратическое отклонение равно 0,001. Моделировалось три пары значений систематической погрешности для входных величин и соответственно: 0,0003 и 0,0005; 0,0030 и 0,0050; 0,0300 и 0,0500, т.е. рассматривались 3 случая – пренебрежимо малой систематической погрешности, сопоставимых значений случайной и систематической погрешности; пренебрежимо малой случайной погрешности.

В таблице 1 приведены данные, полученные в результате моделирования при и , ρ₁₂=0,25 и ρ₁₂=0,9.

Анализ таблицы 1 показывает, что оценка результата измерения, полученная методом приведения, совпадает с оценкой, полученной методом Монте-Карло, а ширина доверительного интервала, полученная методом приведения, несколько шире при той же доверительной вероятности p=0,95.

Таблица 1

ρ12	Функция
	Метод	Монте-Карло	Приве-дения	Монте-Карло	Приве-дения	Монте-Карло	Приве-дения	Монте-Карло	Приве-дения
0,25	Оценка среднего	0,9953	0,9953	1,0107	1,0107	1,0054	1,0053	1,0092	1,0092
	Доверит. интервал	0,9929 - 0,9977	0,9884 - 1,0023	1,0076 - 1,0138	1,0034 - 1,0181	1,0038 - 1,0069	1,0017 - 1,0090	1,0068 - 1,0116	1,0028 - 1,0156
0,9	Оценка среднего	0,9953	0,9953	1,0107	1,0107	1,0054	1,0053	1,0092	1,0092
	Доверит. интервал	0,9929 - 0,9977	0,9902 - 1,0005	1,0076 - 1,0138	1,0030 - 1,0185	1,0038 - 1,0069	1,0018 - 1,0089	1,0068 - 1,0116	1,0027 - 1,0157

Наличие корреляции в результатах прямых измерений в случае существенной случайной составляющей погрешности может привести как к асимметрии функции плотности распределения вероятности, так и к её островершинности и пологим «хвостам» распределений.

В качестве примера на рис. 1 показана гистограмма результата измерения, получаемого из уравнения для следующих числовых значений характеристик распределения результатов прямых измерений: математические ожидания и равны 1,00 и 1,24 соответственно, среднеквадратические отклонения равны 0,05, коэффициент корреляции ρ₁₂=0,9, асимметрия и эксцесс составляют соответственно 0,166 и 0,041.

Рис. 1 Гистограмма результата зависимого косвенного измерения для

Для приведенного примерав соответствии с методом приведения получен доверительный интервал[1,208; 1,989], который значительно шире интервала [1,163; 1,848], полученного методом Монте-Карло. Но наибольшее значение имеет тот факт, что интервал, полученный методом Монте-Карло, несимметричен (чего нельзя сказать о симметричном интервале, полученным методом приведения) относительно оценки среднего в виде математического ожидания. Так, отклонение в сторону меньших значений относительно оценки среднего составляет 0,233, а в сторону больших значений – в 2 с лишним раза больше, а именно: 0,484.

Аналогичные исследования проведены и для других нелинейных функций. Результаты исследований приведеныв таблице 2. Они показывают, что при среднеквадратических отклонениях случайной погрешности более 1 % метод приведения при оценке неопределенности зависимых косвенных измерений дает результаты, плохо сопоставимые с результатами, получаемыми методом Монте-Карло, что объясняется возникновением асимметрии функции плотности распределения вероятности, приводит к образованию её острой вершины и пологим «хвостам» распределений.

Таблица 2

Функция
Асимметрия	-0,028		0,116		-0,002		0,057
Эксцесс	0,021		0,041		0,022		0,024
Метод	Монте-Карло	Приве-дения	Монте-Карло	Приве-дения	Монте-Карло	Приве-дения	Монте-Карло	Приве-дения
Оценка среднего	0,828		1,596		1,263		1,488
Отклонение от среднего в сторону:
меньших значений	0,032	0,162	0,233	0,391	0,096	0,155	0,160	0,269
больших значений	0,062	0,162	0,484	0,391	0,192	0,155	0,328	0,269
Ширина интервала	0,094	0,324	0,717	0,782	0,288	0,310	0,488	0,538

1. Заключение

Для оценивания неопределенности зависимых косвенных измерений, основанных на использовании нелинейных уравнений с многократными наблюдениями входных величин, применение метода приведения дает вполне удовлетворительные результаты.

При использовании метода приведения влияние корреляции между входными величинами несущественно, как и соотношение между стандартными неопределенностями по типу А и по типу В.

Установлено, что асимметрия функции плотности распределения вероятностей результатов зависимых косвенных измерений, а также её острая вершина и пологие «хвосты» распределений, возникающие из-за наличия корреляционных связей между результатами прямых измерений, не оказывают существенного влияния на оценку неопределенности измерений методом приведения, если среднеквадратические отклонения случайной погрешности (неопределенность по типу А) не превышают 1 %, т.е. в большинстве практических случаев.

1. Литература

1. ISO/IEC Guide 98-3:2008 / Supplement 1:2008 Uncertainty of measurement – Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM 1995) – Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method (IDT).

2. Кудряшова Ж. Ф., Рабинович С. Г. Методы обработки результатов наблюдений при косвенных измерениях. – В кн.: Методы обработки результатов наблюдений при измерениях. – Л. ВНИИМ им. Д. И. Менделеева. – 1975. – Вып. 172 (234). – С. 3-58.

3. Рабинович С. Г. Навстречу новой редакции «Руководства по выражению неопределенности измерений». – Системи обробки iнформацiï. – 2008. – Вып. 4 (71). – С. 10-14.

4. Данилов А. А., Шумарова С. А. Об асимметрии функции плотности распределения вероятностей погрешности результатов измерений, полученных с помощью сложных измерительных каналов измерительных систем. – Измерительная техника. – 2012. – № 11. – С. 60-61. (Danilov A. A., Shumarova S. A. On the asymmetry of the probability density function of the error of the results of measurements obtained by means of the complex measurement channels of measurements systems. – Measurement Techniques. – 2013. – V. 55. – № 11. – P. 1316-1318).

Авторы:

²⁾ Марина Викторовна Бержинская, кандидат технических наук (2010), докторант кафедры «Метрология и системы качества» Пензенского государственного университета, Россия

Научные интересы: Метрологическая надежность средств измерений, оценивание неопределенности измерений

^{1), 2)} Александр Александрович Данилов, доктор технических наук (2002), профессор (2004), заместитель директораФБУ «Пензенский ЦСМ»¹⁾, профессор кафедры «Метрология и системы качества» Пензенского государственного университета²⁾, Россия

Научные интересы: Метрологическое обеспечение измерительных систем, методы повышения точности средств измерений, оценивание неопределенности, метрологическая надежность средств измерений

²⁾ К И Мальцева, магистрант кафедры «Метрология и системы качества» Пензенского государственного университета, Россия

Научные интересы: оценивание неопределенности измерений

Research of limits of applicability of a method of reduction

when processing results of indirect measurements

M. V. Berzhinskaia²⁾, A. A. Danilov ^{1, 2)}, K. I. Maltceva²⁾

¹⁾ Penza Center for Standardization, Metrology and Certificaion; Russia, Penza,St. Komsomolskaya, 20; [email protected]

²⁾ Penza state university; Russia, Penza, St. Krasnaya, 40; [email protected]

Summary: Questions of processing of results of indirect measurements with correlation dependence between arguments of nominal nonlinear function of transformation of a measuring instrument are considered. Research is conducted by comparison of the results received by a method of reduction and the Monte-Carlo method, for some combinations of types of functions of density of distribution of probabilities and correlation coefficients.

Keywords: indirect measurements, Monte-Carlo method, method of reduction, measuring instrument.

Литература на латинице:

1. ISO/IEC Guide 98-3:2008 / Supplement 1:2008 Uncertainty of measurement – Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM 1995) – Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method (IDT).

2. Kudryashova Zh. F., Rabinovich S. G. Metody obrabotki rezul'tatov nablyudeniy pri kosvennykh izmereniyakh. – V kn.: Metody obrabotki rezul'tatov nablyudeniy pri izmereniyakh. – L. VNIIM im. D. I. Mendeleyeva. – 1975. – Vyp. 172 (234). – S. 3-58.

3. Rabinovich S. G. Navstrechu novoy redaktsii «Rukovodstva po vyrazheniyu neopredelennosti izmereniy». – Sistemi obrobki informatsiï. – 2008. – Vyp. 4 (71). – S. 10-14.

4. Danilov A. A., Shumarova S. A. Ob asimmetrii funktsii plotnosti raspredeleniya veroyatnostey pogreshnosti rezul'tatov izmereniy, poluchennykh s pomoshch'yu slozhnykh izmeritel'nykh kanalov izmeritel'nykh sistem. – Izmeritel'naya tekhnika. – 2012. – № 11. – С. 60-61. (Danilov A. A., Shumarova S. A. On the asymmetry of the probability density function of the error of the results of measurements obtained by means of the complex measurement channels of measurements systems. – Measurement Techniques. – 2013. – V. 55. – № 11. – P. 1316-1318).

Код для цитирования: Скопировать