VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

В курс программы обучения студентов по направлению «Экономика» помимо экономических дисциплин, включено множество других, в частности, математика и ее разделы: математический анализ, линейная алгебра и т.д.. Это является следствием того, что экономика и математика как науки идут неразрывно друг с другом и взаимно дополняют друг друга. Множество математических законов и теорем применяются в экономической науке, например, теоремы о производной, которым посвящена данная исследовательская работа.

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовые законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

В рыночной экономике в условиях совершенной конкуренции, которая является идеальной экономической моделью, оптимальный объем выпуска товара производителем достигается при равенстве предельных издержек и предельного дохода.

Максимальная прибыль предприятия достигается в случае сочетания минимальных издержек при выпуске определенного объема продукции и оптимальной цены ее реализации. Неограниченное повышение цены не выгодно для потребителя, поэтому производителю следует определить максимальную цену, при которой можно реализовать максимально большой объем выпуска продукции.

Пусть выручка торговой фирмы вычисляется по формуле: , где p- цена, тогда . Проведем исследования функции U(p) с помощью производной.

Имеем. Производная функции U(p)положительна при p0,5, функция возрастает приp0,5,то есть с ростом цены доход фирмы вначале увеличивается, при p=0,5 достигает наибольшего значения , но дальнейшее увеличение цены приводит к сокращению дохода. Темп изменения выручки определим с помощью второй производной.

При , при , т.е. темп изменения выручки положительный и отрицательный соответственно.

На интервале (0;0,5) функция возрастает всё медленнее, то есть дальнейшее повышение цены становится не выгодным. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для, а затем, темп убывания становится положительным и для p>0,9 выручка убывает все быстрее и в итоге стремится к нулю при бесконечном увеличении цены.

На промежутке (0;0,5) функция возрастает все медленнее.

Соответствующая часть графика выпукла. Выше уже отмечалось, что дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом (при ), а затем темп убывания U(p)становится положительным. Для р>0,9доход убывает все быстрее и стремится к нулю при бесконечном увеличении цены. На промежутке функцияU(p) вогнута. В точке график перегибается (см. рис. 1):

Рисунок 1. График зависимости выручки торговой фирмы от цены

Список литературы:

1. А. М. Иванов, А. В. Аникин, А. В. Бухвалов. Суммарные, средние и предельные величины // Экономическая школа. СПб, 1991. Т. 1, вып. 1 — С. 174-179.

2. Сборник задач по математике: учебное пособие / под редакцией С.И. Макарова, М.В. Мищенко.Р.И.Горбунова,М.В.Курганова,Е.Ю.Нуйкина,С.А.Севастьянова,М.М.Семенова,Л.В.СергееваЛ.И.Уфимцева,В.И.Фомин,Т.Н.Черкасова,Б.П.Чупрынов – Самара: Издательство Самарский государственный экономический университет, 2007 г. – 356 с.