VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Имеется автоколебательный мультивибратор на ОУ, внутренние параметры R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆ и C₁, C₂ неизвестны. Переключателями S_i типа «тумблер» можно изменять параметры, как показано на рис.1.

Требуется определить влияние положения переключателей S1, S2, S3 и S4 на частоту прямоугольных импульсов в контрольной точке КТ2. Для решения этой задачи воспользуемся методом планирования активного эксперимента.

Рис.1 Автоколебательный мультивибратор на операционном усилителе

Метод активного эксперимента в общем случае предполагает: кодирование факторов; составление плана эксперимента; рандомизацию опытов; реализацию плана эксперимента; проверку воспроизводимости опытов; оценку значимости коэффициентов регрессии; проверку адекватности модели; интерпретацию результатов.

Таблица 1

Кодирование факторов

Уровень фактора Si (положение тумблера)	S1	S2	S3	S4
Нижний уровень (верхнее положение тумблера)	1	3	5	7
Верхний уровень (нижнее положение тумблера)	2	4	6	8
Кодовое обозначение плана	х1	х2	х3	х4

Составление плана эксперимента

Ввиду того, что каждый тумблер может занимать только два положения, используем линейный план первого порядка 2⁴ (табл.2), позволяющий построить полином вида

Y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₄x₄ + b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x₃ + b₁₄x₁x₄ (1)

+ b₂₃x₂x₃ + b₂₄x₂x₄ + b₃₄x₃x₄,

где х_i– кодированная переменная, b₀– нулевой коэффициент аппроксимирующего полинома, b₁…b₄ – линейные эффекты, b_ij – эффекты взаимодействия.

Таблица 2

Полный факторный эксперимент 2⁴

Номер опыта	План эксперимента				Измерение
	х1	х2	х3	х4	f
1	–	–	–	–	f1
2	–	–	+	–	f2
3	–	+	–	–	f3
4	–	+	+	–	f4
5	+	–	–	–	f5
6	+	–	+	–	f6
7	+	+	–	–	f7
8	+	+	+	–	f8
9	–	–	–	+	f9
10	–	–	+	+	f10
11	–	+	–	+	f11
12	–	+	+	+	f12
13	+	–	–	+	f13
14	+	–	+	+	f14
15	+	+	–	+	f15
16	+	+	+	+	f16

Особенности лабораторного эксперимента

Особенностями построения математических моделей по экспериментальным данным, полученным в лабораторных условиях, являются:

1. Выходная величина Y определяется практически без ошибок, и результаты каждого опыта точно воспроизводятся при его повторении, так как отсутствуют случайные воздействия. В связи с этим нет необходимости в проверке однородности выборочных дисперсий воспроизводимости, проведении рандомизации и дублировании опытов.

2. В то же время возникает сложность при проведении оценки значимости коэффициентов и проверки адекватности математической модели.

Аналогичная проблема проверки адекватности и значимости коэффициентов возникает и при исследовании математической модели объекта на ЭВМ.

В этом случае наиболее приемлемы следующие пути [1]:

а) считать все коэффициенты значимыми;

б) оценку адекватности проводить на основе принятого уровня точности аппроксимации ε, что связано с искусственным введением дисперсии воспроизводимости

s²{y}= ε ·b₀, ( 2 )

где b₀– нулевой коэффициент аппроксимирующего полинома.

Приняв в выражении (2) значение ε для выходного параметра, проверку адекватности модели можно произвести по F–критерию (критерию Фишера).

К особенностям использования методов планирования эксперимента, проводимого в лабораторных условиях можно отнести и то, что в этом случае на проведение эксперимента - определение значений выходного параметра не затрачивается много времени и ресурсов, т.е. эксперимент не является дорогостоящим. Поэтому вопрос о минимизации количества необходимых опытов не стоит так остро, как при планировании натурных экспериментов, нет необходимости использования дробного факторного эксперимента (ДФЭ).

Проведение эксперимента

Обозначим тумблеры S₁ через х₁, S₂ –х₂, S₃ – х₃, S₄ –х₄.

Принимаем верхнее положение тумблера «-», а нижнее «+» в соответствие возрастания их номеров. Например, для S₁ положение «1» соответствует «-», а положение 2 – «+», для S₂ положение 3 соответствует «-», а положение 4 – «+» и т.д. (см. таблицу 1).

В качестве выходных параметров принимаем частоту импульсов f, измеряемую электронным прибором типа VisualDMM 740 в контрольной точке КТ2.

Полный факторный эксперимент (ПФЭ 2⁴), представленный в табл. 2 после принятых обозначений имеет вид, изображённый в табл. 3.

Рандомизация опытов. После выбора плана эксперимента, основных уровней и интервалов варьирования факторов переходят к эксперименту. Каждая строка матрицы — это условия опыта. Для исключения система­тических ошибок рекомендуется опыты, предусмотренные матри­цей, проводить в случайной последовательности. Порядок проведе­ния опытов следует выбирать по таблице случайных чисел.

Таблица 3

Порядок реализации опытов полного факторного эксперимента (ПФЭ 2⁴)

Номер опыта	Положение переключателя				Частота f(КТ №2)
	S1	S2	S3	S4
5	2	3	5	7	190
9	1	3	5	8	236
1	1	3	5	7	369
4	1	4	6	7	118
3	1	4	5	7	234
16	2	4	6	8	41
2	1	3	6	7	188
10	1	3	6	8	120
8	2	4	6	7	60
13	2	3	5	8	121
15	2	4	5	8	82
11	1	4	5	8	160
6	2	3	6	7	96
14	2	3	6	8	61
12	1	4	6	8	80
7	2	4	5	7	120

Для определения коэффициенты полинома строим план и расчётную матрицу

(табл.4).

План и расчётная матрица эксперимента Таблица 4

Номер Опыта u

План

Расчёт

Измерение f

Вычисление f*

x0

х1

х2

х3

х4

х1х2

х1х3

х1х4

х2х3

х2х4

х3х4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

+

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

369

356,9

2

+

–

–

+

–

+

-

+

-

+

-

188

194,7

3

+

–

+

–

–

–

+

+

-

-

+

234

241,1

4

+

–

+

+

–

–

-

+

+

-

-

118

117,4

5

+

+

–

–

–

–

-

-

+

+

+

190

196,5

6

+

+

–

+

–

–

+

-

-

+

-

96

94,0

7

+

+

+

–

–

+

-

-

-

-

+

120

120

8

+

+

+

+

–

+

+

-

+

-

-

60

55,7

9

+

–

–

–

+

+

+

-

+

-

-

236

241,7

10

+

–

–

+

+

+

-

-

-

-

+

120

117,9

11

+

–

+

–

+

–

+

-

-

+

-

160

159,9

12

+

–

+

+

+

–

-

-

+

+

+

80

74,5

13

+

+

–

–

+

–

-

+

+

-

-

121

119,3

14

+

+

–

+

+

–

+

+

-

-

+

61

55,1

15

+

+

+

–

+

+

-

+

-

+

-

82

76,7

16

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

41

50,9

Cумма столб.

2276

– 734

– 486

–748

– 474

156

238

152

154

136

154

∑(f–f*)2 = =534

bi

b0 142

b1 – 46

b2 –30

b3 – 47

b4 – 30

b12 9,8

b13 14,9

b14 9,5

b23 9,6

b24 8,5

b34 9,6

f* = 142– 46х₁ – 30х₂ – 47х₃ – 30х₄ + 9,8х₁ х₂ + 14,9х₁ х₃ + 9,5х₁ х₄ + 9,6х₂ х₃ + 8,5х₂ х₄ + 9,6 х₃ х₄ , Гц

Оценка значимости коэффициента регрессии производится с помощью t – критерия Стьюдента

Коэффициент считается значимым, если выполняется неравенство

,

где t_(0,05;fy) – 5 % -ная точка распределения критерия Стьюдента с степенями свободы. Здесь t_(0,05;fy) = 2,228 при

f_y= 16.(см. Приложение 1.2 [1] ).

Принимаем ошибку опытов S_y 5% от среднего значения b₀ =142. Тогда S_y = 7,1; S² = 50,4.

В данном случае Δ b_i = 2,2282,228∙7,1/4= 3,95.

Следовательно, в полученном полиноме все коэффициенты значимы.

Для оценки адекватности полинома измеренным данным произведём расчёт

частоты в каждой точке опыта (1…16) и сравним отклонения расчётных данных от измеренных значений частоты.

Опыт 1: f*= 142 + 46 +30 + 47 + 30 + 9,8 +14,9 + 9,5 + 9,6 + 8,5 + 9,6 = 356,9

2: f* = 142 + 46 +30 – 47 + 30 + 9,8 – 14,9 + 9,5 – 9,6 + 8,5 – 9,6 = 194,7

3: f* = 142 + 46 –30 + 47 + 30 – 9,8 + 14,9 + 9,5 – 9,6 – 8,5 + 9,6 = 241,1

4: f* = 142 + 46 –30 – 47 + 30 – 9,8 – 14,9 + 9,5 + 9,6 – 8,5 – 9,6 = 117,4

5: f *= 142 – 46 +30 + 47 + 30 – 9,8 – 14,9 – 9,5 + 9,6 + 8,5 + 9,6 = 196,5

6: f* = 142 – 46 +30 – 47 + 30 – 9,8 + 14,9 – 9,5 – 9,6 + 8,5 – 9,6 = 93,9

7:f* = 142 – 46 –30 + 47 + 30 + 9,8 – 14,9 – 9,5 – 9,6 – 8,5 + 9,6 = 119,9

8: f*= 142 – 46 –30 – 47 + 30 + 9,8 + 14,9 – 9,5 + 9,6 – 8,5 – 9,6 = 55,7

9: f* = 142 + 46 +30 + 47 – 30 + 9,8 +14,9 – 9,5 + 9,6 – 8,5 – 9,6 = 241,7

10: f*= 142 + 46 +30 – 47 – 30 + 9,8 – 14,9 – 9,5 – 9,6 – 8,5 + 9,6 =117,9

11: f* =142 + 46 –30 + 47 – 30 – 9,8 + 14,9 – 9,5 – 9,6 + 8,5 – 9,6 =159,9

12: f*= 142 + 46 –30 – 47 – 30 – 9,8 – 14,9 – 9,5 + 9,6 + 8,5 + 9,6 = 74,5

13: f* =142 – 46 +30 + 47 – 30 – 9,8 – 14,9 + 9,5 + 9,6 – 8,5 – 9,6 =119,3

14: f*= 142 – 46 +30 – 47 – 30 – 9,8 + 14,9 + 9,5 – 9,6 – 8,5 + 9,6 = 55,1

15:f* =142 – 46 –30 + 47 – 30 + 9,8 – 14,9 + 9,5 – 9,6 + 8,5 – 9,6 = 76,7

16:f* =142 – 46 –30 – 47 – 30 + 9,8 + 14,9 + 9,5 + 9,6 + 8,5 + 9,6 = 50,9

Результаты вычисления и сравнения с экспериментальными данными сведены в таблице 5.

Таблица 5

Проверка адекватности полиномиальной модели

Номер опыта	Результат измерения	Результат вычисления	Отклонения │f–f*│	Квадрат отклонения │ f–f*│2
1	360,9	356,9	3,1	9,61
2	188	194,7	6,7	44,9
3	234	241,1	7,1	50,4
4	118	117,4	0,6	0,36
5	190	196,5	6,5	42,25
6	96	93,9	2,1	4,4
7	120	119,9	0,1	0,01
8	60	55,7	4,3	18,5
9	236	241,7	5,7	32,5
10	120	117,9	2,1	4,4
11	160	159,9	0,1	0,01
12	80	74,5	5,5	30,25
13	121	119,3	1,7	2,89
14	61	55,1	5,9	34,8
15	82	76,7	5,3	28,1
16	41	50,9	9,9	98
		Сумм квадратов отклонения		∑(F–F*)2 = 534

Критерий Фишера подтверждается, если F≤ F_таб.

< F_ТАБ = 2,54. (см. Приложение 1.3 [1] ).

Следовательно, модель адекватна.

Использование метода планирования активного эксперимента позволило найти качественную и количественную связь между интересующими нас параметрами объекта путём проведения сравнительно небольшого числа опытов.

Интерпретация результатов

Анализ коэффициентов полиноминальной модели показывает, что параметры мультивибратора находятся в следующих соотношениях:

С₂ > C₁, так как при переключении тумблера с положения 1 в положение 2 ёмкость конденсатора увеличивается и частота уменьшается, аналогично R₁< R₂, так как при этом пороговое напряжение увеличивается и, как следствие, конденсатор заряжается до большей величины медленнее. R₃ < R₄ – эти резисторы находятся в цепи отрицательной обратной связи, очевидно конденсатор заряжаются быстрее при меньшем сопротивлении ООС. Резисторы R₅ и R₆ образуют совместно с R₃ и R₄ делители напряжения в цепи положительной обратной связи. Они определяют величину переключения мультивибратора. Уменьшение верхней части делителя равносильно увеличению его нижней части относительно земли. Это подтверждается и тем, что положения ключей 3, 5, 8 равносильно 4, 5, 7 и положение ключей 4, 6, 7 равносильно положениям ключей 3, 6, 8 при одинаковых положениях ключа S₁. Частота выходных импульсов (КТ2) и амплитуда пилообразного напряжения (КТ1) при этом практически не изменилась.

На рис. 2 изображён график зависимости частоты импульсов от величины конденсатора (ключ S₁) и сопротивления цепи ООС (ключ S₃) при неизменном делителе в цепи ПОС (пороге переключения) (S₂ = S₄=const).

Рис.2. Зависимость частоты импульсов от величины ёмкости и сопротивления цепи отрицательной обратной связи (переключатели S₁ и S₃).

Из графика видно, что при переключении тумблера S₁ из положения 1 в положение 2 (–1≤ х₁≤+1) частота уменьшается. Аналогично происходит при переключении S₃ из положения 5 в положение 6 (см. легенду).

Использованная литература

1. Солодов В.С. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов /В.С.Солодов. – Мурманск: Изд-во МГТУ, 2012. – 204 с. : ил.

 

10

 

Код для цитирования: Скопировать