1 ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
1.1 Описание системы
Рассматривается электрохимическая система, в которой имеется анод, катод, а пространство между ними заполнено электролитом.
На данном этапе упростим геометрию области решения и представим ее в виде прямоугольника ABCD (Рисунок 1.1)
Рисунок 1.1 – Рассматриваемая область
Положим, что AD–катод, BC – анод, AB и DC – границы исследуемой области.
1.2 Описание граничных условий
На границах области, занимаемой электролитом, искомый потенциал u отвечает следующим краевым условиям:
На аноде:
(1)
На катоде:
(2)
Представим уравнения в виде, принятом в COMSOL Multiphysics:
Граничные условия на сторонах AB и DC – нулевые (однородные) первого рода, то есть:
В COMSOL Multiphysics задаются как Dirichlet Boundary Condition. На сторонах AD и BC – граничные условия второго рода, задача Неймана. В COMSOL Multiphysics называются Flux/Source и выражаются уравнением вида:
Здесь g – некоторая величина, характеризующая граничный поток/мощность источника; q–коэффициент граничного поглощения (абсорбции). Данный коэффициент используется для упрощения ввода граничного условия Робина (третьего рода).
1.3 Расчет коэффициентов
Для данной задачи необходимо вычислить коэффициенты g1 и g2.
Выразим их, преобразовав уравнения (1) и (2):
Для катода:
Для анода:
Воспользуемся исходными данными, приведенными в [1] и подставим их в уравнения (7) и (8):
U=1,56B; ∆П+=-0,44 В; ∆П-=-0,44 В; i0=1 A/м2; z=2; R=8,314 Дж/(К∙моль); Т=298 К; F=96500 Kл/моль; γЭ=7,7 Ом-1∙м-1. Тогда получим:
Для катода:
Для анода:
Подставим полученные значения в (8) и получим:
Катод:
Анод:
Теперь полученные данные можно использовать в пакете COMSOL Multiphysics. Коэффициент q положим равным нулю, так как коэффициент граничного поглощения в данной задаче не учитывается.
1.4 Решение задачи методом конечных элементов
Построив исследуемую область по параметрам из пункта 1.1 зададим граничные условия. Аппроксимируем область сеткой треугольников (Рисунок 1.2):
Рисунок 1.2 – Аппроксимация области решения
Решим задачу командой Solve и получим следующее: (Рисунок 1.3)
Рисунок 1.3 – Решение краевой задачи
На основании решения можно построить также распределение потенциала по границам области (Рисунок 1.4)
Рисунок 1.4 – Распределение потенциала по границам области
2 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА СО СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ ОБЛАСТИ РЕШЕНИЯ
2.1 Описание задачи
Краевая задача, рассмотренная в п.1.1 является упрощенным вариантом описания электрохимической системы (плоские параллельные пластины) и может быть решена аналитически. На данном этапе рассмотрим случай сложной геометрии. Пусть электрохимическая система имеет вид, представленный на рисунке 2.1:
Рисунок 2.1 – Рассматриваемая область (сложная геометрия)
Размеры области прежние, однако отрезок AD (катод) представлен в виде линии сплайна, повторяющего контур восстанавливаемого зуба шестерни.
2.2 Решение задачи
Исходные данные будут те же, что и в п. 1.3, разница лишь в геометрической форме катода. Описание граничных условий в COMSOL Multiphysics происходит аналогично п. 1.2.
Аппроксимируем исследуемую область (рисунок 2.2):
Рисунок 2.2 - Аппроксимация области решения
Решим задачу командой Solve получим следующее: (Рисунок 2.3)
Рисунок 2.3 – Двумерная визуализация решения краевой задачи
Сравнивая рисунки 2.3 и 1.4 можно судить о влиянии геометрической формы области решения краевой задачи на конечный результат моделирования. Построим также распределение потенциала по границам системы (рисунок 2.4):
Рисунок 2.4 – Распределение потенциала по границам системы (сложная геометрия)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Герасименко Ю.Я. Математическое моделирование физических полей в электрохимических системах. Учебное пособие. Новочеркасск, изд. НПИ, 1980.- 80 с.