VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Метод Монте-Карло − общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется так, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в областях физики, химии, математики, экономики, оптимизации, теории управления.

Датой рождение метода Монте-Карло считается 1949 г., когда появилась статья под названием «Метод Монте-Карло» (Н. Метрополис, С. Улам). Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В нашей стране первые статьи были опубликованы в 1955–56 гг. (В.В. Чавчанидзе, Ю.А. Шрейдер, В.С. Владимиров).

Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом, а одним из простых механических приборов для получения случайных величин является рулетка.

Изначально, этот метод применялся для решения задач нейтронной физики, где численные методы ,как стало известно, менее полезны. Его действие стало хорошо известным на широкий круг задач статистической физики, очень различных по своему содержанию. К разделам науки, где всё в большей степени применялся метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.

Хочу привести легко доступный для понимания пример моделирования методом Монте-Карло в Crystal Ball Exel.

Oracle Crystal Ball – приложение к Microsoft Excel для моделирования бизнес-процессов, определения рисков, прогнозирования неопределенных переменных и оптимизации полученных результатов. Crystal Ball помогает принимать верные тактические решения для достижения стратегических целей компании и получать конкурентные преимущества в условиях большого числа постоянно меняющихся рыночных показателей.

Итак, допустим, что вы хотите арендовать новый станок. Стоимость годовой аренды станка 400 000 дол., и договор нужно подписать на несколько лет. Поэтому, даже не достигнув точки безубыточности, вы всё равно не сможете сразу вернуть станок. Вы собираетесь подписать договор, решив, что современное оборудование разрешит сэкономить на трудозатратах и стоимости сырья и материалов, а также , что материально-техническое обслуживание нового станка обойдется дешевле.

Ваши калиброванные специалисты по оценке дали следующие интервалы значений ожидаемой экономии и годового объема производства:

Шаг. 1. Формирование модели. Разместим исходные данные на листе Excel. Они будут включать названия параметров и их средние значения, а также формулу для расчета годовой экономии (рис. 2)

Рис. 2.

Таким образом, суть нашей модели – расчет годовой экономии от использования нового станка. Годовая экономия (зависимая переменная) есть функция трех видов экономии и объема производства (итого, четырех влияющих переменных).

Шаг. 2. Задание параметров распределения влияющих переменных. Встаньте в ячейку В2 и на вкладке Crystal Ball щелкните Define Assumption. В открывшемся окне выберите Normal и нажмите Ok

Рис. 3. Выбор нормального распределения для первого параметра «Экономия на материально-техническом обслуживании».

Задайте среднее значение – Mean и стандартное отклонение – Std. Dev. (рис. 4). Поскольку исходные данные сформулированы в терминах 90%-ного доверительного интервала (CI), формулы для расчета следующие:

Среднее (Mean) = (Верхняя граница 90%-ного CI + Нижняя граница 90%-ного СI)/2;

Стандартное отклонение (Std. Dev.) = (Верхняя граница 90%-ного CI – Нижняя граница 90%-ного СI)/3,29.

Наша таблица, приспособленная для работы в Crystal Ball примет вид:

Рис. 4. Выбор параметров нормального распределения

Последовательно вставая курсором в ячейки В3:В5 выберите вид и параметры распределения для всех четырех влияющих переменных. После задания параметров ячейки окрашиваются в зеленый цвет.

Шаг 3. Выбор зависимой переменной. Встаньте в ячейку В6, содержащую формулу расчета годовой экономии, и щелкните Define Forecast. В открывшемся окне в поле «Units» укажите ссылку на ячейку (рис.5).

Рис. 5. Выбор зависимой переменной

Шаг. 4. Запуск моделирования. Щелкните Start, и наслаждайте результатом вашего первого моделирования в Crystal Ball J После 10 000 итераций программа выведет результаты в графическом виде (рис. 6).

Рис. 6. Результаты моделирования – распределение годовой экономии.

Особенностью метода является то, что получаемая в результате моделирования информация по своей природе аналогична той информации, которую можно было бы получить в процессе исследования реальной системы, однако объем ее значительно больший и на ее получение затрачивается меньше средств и времени. Отсюда следует эффективность использования метода моделирования, а также высокая точность и достоверность получаемых с его помощью результатов по сравнению с исследованием реальной системы. Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественность получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.