VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

В данной статье пойдет речь о временных рядах в эконометрике, мы раскроем тему: "Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона."

Информационной базой для анализа экономических процессов являются динамические и временные ряды. Совокупность наблюдений некоторого явления, упорядоченная в зависимости от последовательности значений другого явления называют　динамическим рядом. Динамические ряды, у которых в качестве признака упорядочения используется время, называют　временными.

Временной ряд　- это набор чисел, привязанный к последовательным, обычно равноотстоящим моментам времени. Числа, составляющие временной ряд и получающиеся в результате наблюдения за ходом некоторого процесса, называются　уровнями временного ряда или　элементами.　Под длиной временного ряда понимают количество входящих в него уровней　n. Временной ряд обычно обозначают　Y(t),　или　, где　t=1,2,...,n.

В общем случае каждый уровень временного можно представить как функцию четырех компонент:　f(t),　S(t),　U(t),　(t) , отражающих закономерность и случайность развития.

Важнейшей классической задачей при исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.
2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели.

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.

Существует два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков:

1. Построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.
2. Использование критерия Дарбина - Уотсона и расчет величины.

Критерий Дарбина-Уотсона　(или　DW-критерий)　-　статистический критерий, используемый для тестирования　автокорреляции　первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе　временных рядов　и остатков регрессионных моделей.

Критерий назван в честь　Джеймса Дарбина　и　Джеффри Уотсона. Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по следующей формуле:

где　　- коэффициент автокорреляции первого порядка.

Eсли в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то . Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то и, следовательно, . Если автокорреляция остатков отсутствует, то и . Т.е. .

На практике применение критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины　　с теоретическими значениями　　и　　для заданного числа наблюдений　, числа　независимых переменных　модели　　и　уровня значимости　.

1.  
   1. Если　, то　гипотеза　о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция);
   2. Если　, то гипотеза не отвергается;
   3. Если　, то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчётное значение　　превышает 2, то с　　и　　сравнивается не сам коэффициент　, а выражение　.

Также с помощью данного критерия выявляют наличие　коинтеграции　между двумя　временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью　метода Монте-Карло　были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.

Существует несколько недостатков критерия Дарбина -Уотсона, таких как:

1.  
   1. Неприменимость к моделям　авторегрессии, а также к моделям с　гетероскедастичностью условной дисперсии　и　GARCH-моделям.
   2. Неспособность выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.
   3. Даёт　достоверные　результаты только для больших　выборок.
   4. Не подходит для моделей без свободного члена (для них статистика, аналогичная　, была рассчитана Fairbrother).
   5. Дисперсия коэффициентов будет расти, если　　имеет распределение, отличающееся от　нормального.

Критерий Дарбина-Уотсона неприменим для моделей　авторегрессии, так как он для подобного рода моделей может принимать значение, близкое к двум, даже при наличии автокорелляции в остатках. Для этих целей используется　-критерий Дарбина.

-статистика Дарбина применима тогда, когда среди объясняющих регрессоров есть　. На первом шаге методом МНК строится регрессия. Затем критерий　　Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами:

где

• 　- число наблюдений в модели;

 

• 　- оценка дисперсии коэффициента при лаговой результативной переменной　.

Для　панельных данных　используется немного видоизменённый критерий Дарбина-Уотсона:

В отличие от критерия Дарбина-Уотсона для временных рядов, в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности для панелей с большим количеством индивидуумов.

В ходе изучения последовательности остатков временного ряда в такой дисциплине как эконометрика, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов, остатки должны быть случайными (а). Однако, в процессе моделирования временных рядов иногда встречается такая ситуация, когда остатки содержат тенденцию (б и в) или циклические колебания (г). Из этого можно сделать вывод, что каждое следующее значение зависит от предыдущих.

Рассмотрим пример модели зависимости остатков времени на графике:

Модели зависимости остатков от времени

В процессе выявления автокорреляции остатков по критерию Дарбина - Уотсона выдвигается гипотеза об ее отсутствии. Альтернативные гипотезы о наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. После чего по таблицам определяются критические значения критерия Дарбина - Уотсона dL и du для заданного числа наблюдений и числа независимых переменных модели при уровне значимости а (обычно 0,95). По этим значениям промежуток {0;4} разбивают на пяти отрезков:

Если расчетное значение критерия Дарбина - Уотсона попадает в зону неопределенности, то подтверждается существование автокорреляции остатков и гипотезу отклоняют.

Определим наличие автокорреляции с помощью критерия Дарбина - Уотсона:

1.Заполняем таблицу. Из каждого числа 2-го столбца вычитаем предыдущее число. 2-го столбца и результат пишем в 3-м столбце. В 4-м столбце числа округляем до двух знаков после запятой.

2.По таблице распределения Дарбина-Уотсона находим　d_l　= 0,697 и　d_u　= 1,641. Тогда 4 -　d_u　= 4 - 1,641 = 2,359.

3.Так как　d_u　< DW <　4 -　d_u　(1,641 < 1,793 < 2,359), то гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков не отклоняется на уровне значимости 0,05. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

Следуя из всего выше изложенного, следует то, что критерий Дарбина-Уотсона используется для обнаружения автокорреляции остатков модели регрессии　автокорреляционной и частной автокорреляционной функции. Однако данный критерий можно применять только для обнаружения автокорреляции первого порядка между соседними рядами случайных остатков.