VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015
НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Актуальность выбранной мною темы обусловлена тем, что для исследования экономических процессов в настоящее время всё чаще стали применяться нелинейные модели. Данная модель способствует выявлению нелинейных производственных функций, например зависимость между основными факторами производства и объёмом произведённой продукции. Также нелинейная модель может помочь при выявлении зависимости между спросом на товары и их ценами.
Регреccия–это величина, которая выражает зависимоcть cреднего значения случайной величины у от значений случайной величины х.
Уравнение регрессии чаще всего выражает функцию одного признака как среднюю величину другого. Линия регреccии - график функции у = f (x).
Существует 2 типа взаимосвязей междy х и у:переменные равноправны, возможно такое, что неизвестно какая из двух переменных является зависимой, а какая нет(корреляционная взаимосвязь); взаимосвязь регрессионного типа проявляется, если х и у неравноправны и одна из них рассматривается как объясняющая (независимая) переменная, а другая - как зависимая.
В Таблице 1 приведена классификация регрессий.
|
гиперболическая |
регрессия равносторонней гиперболы: у = а + b / х + Е; |
|
линейная |
регрессия, которая применяется в статистике в виде экономической интерпретации ее параметров: у = а+b*х+Е; |
|
логарифмически линейная - регрессия вида |
In у = In а + b * In x + In E |
|
множественная |
регрессия между переменными у и х1 , х2 ...xm, т. е. модель вида: у = f(х1 , х2 ...xm)+E, где у - зависимая переменная х1 , х2 ...xm - независимые, объясняющие переменные ,Е- возмущение или стохастическая переменная, которая включает влияние неучтенных факторов в модели; |
|
нелинейная |
регрессия, нелинейная относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейная по оцениваемым параметрам; |
|
обратная |
регрессия, приводимая к линейному виду, которая реализована в стандартных пакетах прикладных программ вида: у = 1/a + b*х+Е; |
|
парная |
регрессия между двумя переменными у и x, т. е, модель вида: у = f (x) + Е, где у -зависимая переменная ,x – независимая, объясняющая переменная, Е - возмущение, или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных факторов в модели. |
Таблица 1. Виды регрессий
Нелинейные регрессии имеют два класса:
1. Регрессии, линейные по оцениваемым параметрам, но нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, например:
● полулогарифмическая функция yx=a+b∙lnx
● полиномы различных степеней yx=a+b∙x+c∙x2
yx=a+b∙x+c∙x2+d∙x3
● равносторонняя гипербола yx=a+b÷x
2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например:
● Экспоненциальная yx=ea+b∙x
● Степенная yx=a∙xb
● Показательная yx=a∙bx
На рисунке один изображена полиномиальная модель парной регресси.
Рис.1 Полиномиальная модель парной регрессии
Применение полиномиальных моделей
При помощи полиномиальных моделей могут быть представлены зависимости:
● Уровень заработной платы за физический труд от возраста работника
● Количество от количества удобрений
Применение гиперболических моделей
На рисунке 2 изображена кривая Филлипса, которая является графическим отображением обратной зависимости между уровнем инфляции и уровнем безработицы.
Рис.2 Кривая Филлипса
На рисунке 3 изображён пример произвольной логарифмической модели, которая может быть использована при описании расходов на товары длительного пользования относительно общей суммы расходов.
Рис.3 Произвольная логарифмическая модель
Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простозаменой переменных, а дальше оценка параметров производится с помощью МНК. Некоторые функции рассмотрим более подробно.
Парабола второй степени yx=a+b∙x+c∙x2 приводится к линейному виду при помощи замены: x=x1, x2=x2 В результате приходим к двухфакторному уравнению yx=a+b∙x1+c∙x2, оценка параметров которого при помощи МНК, приводит к следующей системе нормальных уравнений:
Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.
Равносторонняя гипербола yx=a+b÷x может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, процента прироста заработной платы от уровня безработицы, расходов на непродовольственные товары от доходов или общей суммы расходов и в других случаях. Гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: z=1÷x Система линейных уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:
Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости , yx=a+b∙lnx , yx=a+b∙x и другие.
Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).
На рисунке 4 представлены примеры нелинейных моделей и их линеаризации.
Рис.4 Примеры нелинейных моделей и их линеаризации.
В качестве примера рассмотрим лабораторную работу, выполненную в ЭТExcel на тему « Сведение нелинейной зависимости к линейному случаю. Экспоненциальная модель».
Рисунок 5
Рисунок 6
Рисунок 7
Рисунок 8
Рисунок 9
Рисунок 10
Исходя из выполненной лабораторной работы, можно сделать вывод о том, что модели нелинейной регрессии широко применимы в условиях современной экономики. Они упрощают процесс выявления зависимостей между экономическими показателями.