VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Каждый человек компетентен в той области, которую он любит, в которой работает. Однако математика пронизывает все науки без исключения, и каждый из нас должен быть в ней более или менее компетентен. В математике есть много удивительных и загадочных чисел. Особое место среди них занимает число . Каждому ученику важно не просто уметь применять это число, необходимо знать историю появления в математике числа . Поэтому перед предстоящей педагогической практикой мы поставили цель: исследовать природу числа π, выявить его роль в окружающем нас мире, систематизировать исторический материал для применения на уроках математики.

Первое знакомство с числом  в школьном курсе математики происходит в 6 классе в теме: «Длина окружности и площадь круга». В учебнике мы сталкиваемся со следующим объяснением: «Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра». Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой  («читается «пи»»). Длина окружности: C=2r; площадь круга S=r². Далее в 9 классе в курсе геометрии опять встретимся с числом .

Есть даже математический ребус с числом  (см. рис.1): какой древнегреческий философ и математик открыл важнейшие теоремы геометрии? (Пифагор)

Рис. 1

На этом школьная жизнь числа  не заканчивается. В старших классах мы встречаемся с этим удивительным числом в курсе физики в таких темах как: движение тела по окружности, механическое напряжение, период колебания математического маятника, закон Кулона, формула Томсона.

Проследим исторический путь появления в математике числа . Более двух тысячелетий назад было подмечено, что все окружности длиннее своих диаметров в одно и то же число раз. Впоследствии это было доказано.

Отношение длины окружности к её диаметру лет 250 назад стали обозначать кратко одной буквой . Эта греческая буква – первая буква греческого слова «периферия», что означает «окружность». В древнем Вавилоне считали, что окружность длиннее её диаметра в три раза (т.е.  приблизительно равно трём). Но древнегреческие геометры уже знали, что  не равно трём. Об этом мы знаем из школьного курса геометрии.

Английский математик Август де Морган назвал как-то  «…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу».

Число  связывают с окружностью. Однако это число появляется в различных математических результатах, в которых ни о какой окружности речи не идёт. Приведем лишь несколько примеров.

1. Рассмотрим множество положительных чисел. Если у них случайным образом выбрать два числа, то какова вероятность того, что выбранные числа не будут иметь общего делителя? Ответ неожиданный: искомая вероятность равна .

2. В 17 веке немецкий математик Лейбниц заинтересовался, сколько получится, если последовательно складывать такие числа: .Ответом служит . Для доказательства Лейбниц пользовался приёмами высшей математики.

3. Леонард Эйлер отыскал сумму других дробей: .

4. В математике найдено много других формул, где неожиданно появляется число . Вот формула английского математика Джона Валлиса:

А можно ли представить число p в виде бесконечной десятичной периодической дроби, как например число 1/3 = 0,33333…? Было найдено много различных рациональных приближений для числа p. Уже в глубокой древности делались попытки найти приближённое выражение для числа p с помощью рациональных чисел. В Древнем Египте при вычислении площади круга для p использовали значение .

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий Индии, возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует: число пи приближенно равно иррациональному числу 10. Тем самым получалась дробь 3,162...

Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга − к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

Древнеримский архитектор Витрувий принимал . Это было очень удобное приближение для строительной практики тех времён, так как, если измерить длину диаметра окружности, то затем легко получить отрезок, равный по длине окружности.

Архимед нашёл, ещё за несколько столетий до Витрувия, более точное приближение для числа p. Он показал, что , так что .

В первой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил пи с 16 десятичными знаками. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.

Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число пи только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что пи можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить пи с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.

Ни одна дробь с целым числителем и знаменателем не может быть в точности равной p, но существует много простых дробей, которые дают исключительно хорошее приближение числа p. Самая замечательная из таких дробей была найдена ещё в пятом веке до н.э. знаменитым китайским астрономом Цю Шунь-Ши. На Западе её открыли лишь тысячу лет спустя. Получить её можно с помощью числового фокуса. Напишем по два раза три нечётных числа: 1, 1, 3, 3, 5, 5. Три последних числа сделаем числителем, а три первых – знаменателем дроби . Эта дробь позволяет вычислить p с точностью до седьмого знака.

Приближенные значения p можно получать и с помощью корней из различных чисел. Как уде отмечали, в древней Индии и Китае заменяли p числом (3,162...). Еще лучшее приближение дает (3,1413...). Заметим, что первые две цифры десятичного разложения p - это те самые тройка и единица, которыми записано число 31. Длина ребра куба объемом 31 см³ отличается от p меньше чем на 0,001 см. Неплохим приближением к p может служить сумма , равное 3,146...

Известно немало случаев, когда любители математики тратили многие годы на вычисление p с большей степенью точности. Чтобы вычислить приближенно число p, в течение многих столетий поступали так: в окружность с диаметром, равным единице, мысленно вписывали правильный многоугольник с большим числом сторон и вычисляли периметр этого многоугольника, привлекая «формулу удвоения». Периметр такого многоугольника и принимался равным числу p. Для оценки погрешности такого приближения приходилось рассматривать также периметры правильных описанных многоугольников.

Так например, голландский математик Рудольф Ван Цейлен после десятилетних вычислений подсчитал этим способом число p с точностью до двадцати знаков после запятой. Для этой цели ему пришлось рассматривать правильные многоугольники, у которых сторон. Книгу, в которой он излагает эти вычисления, он заканчивает словами: «У кого есть охота, пусть пойдет дальше». Однако вскоре после этого такую охоту проявил он сам и, потратив еще двенадцать лет, нашел еще пятнадцать десятичных знаков числа p.

Начиная с конца семнадцатого века, для вычисления p применяются более эффективные методы высшей математики. Леонард Эйлер вычислил p с точностью до 153 десятичных знаков. После опубликования его работы (1736г.) стало общепринятым обозначение p (первая буква в греческом словаре «периферия» - круг), которое встречается впервые в 1706г. у английского математика У.Джонса. С помощью электронных машин в 1949г. получено значение p с 2035 знаками, а позднее - с 3089 знаками всего лишь за 13 секунд. К 1963г. было найдено уже 100265 десятичных знаков числа p.

Вычисление такого большого числа знаков для p не имеет практического значения, а показывает лишь огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.

Самым неутомимым вычислителем pбыл английский математик Уильям Шенкс. Более 20 лет жизни он посвятил вычислению 707 знаков числа p. К сожалению, несчастный Шенкс ошибся в пятьсот двадцатом знаке, и все последующие цифры в полученном им выражении неверны. (Ошибку обнаружили лишь в 1945 году, поэтому семисотсемизначное разложение Шенкса и поныне ещё можно встретить во многих книгах.)

Самое странное в найденных Шенксом 707 знаках pзаключается в том, что эти знаки «свысока» смотрят на цифру 7: если каждая из остальных цифр, как и должно быть, встречается среди первых 700 знаков около 70 раз, то семерка появляется лишь 51 раз. Среди недавно полученных десятичных знаков для pбыли обнаружены не только неоднократно повторяющиеся тройки всех цифр от 0 до 9, но и несколько групп из 4 семерок (и совершенно неожиданная очередь из 6 девяток).

Никакое другое число не является таким загадочным, как π с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Во многих областях математики и физики ученые используют это число и его законы.

Мало какому числу из всех чисел, которые используются в математике, в естественных науках, в инженерном деле и в повседневной жизни, уделяется столько внимания, сколько уделяется числу π.

Библиографический список

1. Жуков А.В. Вездесущее число «пи». – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 216 с.

2. Кымпан Ф. История числа . − М.: Наука, 1971. – 216 с.

Код для цитирования: Скопировать