VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Фалес (640/624 — 548/545 до н. э.) — древнегреческий философ и математик из Милета (Малая Азия). Представитель ионической натурфилософии и основатель милетской (ионийской) школы, с которой начинается история европейской науки.

Уже в V в. до н. э. имя Фалеса стало нарицательным − его считали мудрецом и «отцом философии». В астрономии Фалес первым сделал такие открытия:

• изучил движение Солнца по небесной сфере и открыл наклон эклиптики к экватору. Он установил, что «зодиак наискось накладывается на три средних круга, касаясь всех трех». Научился вычислять время солнцестояний и равноденствий (главных четырёх из восемнадцати астрономически и календарно значимых событий), установил неравность промежутков между ними.

• определил угловой размер Луны и Солнца, указав, что размер Солнца составляет 1/720 часть от его кругового пути, а размер Луны — такую же часть от лунного пути.

• утверждал, что Луна светит отражённым светом; что затмения Солнца происходят тогда, когда между ним и Землей проходит Луна; а затмения Луны происходят тогда, когда Луна попадает в тень от Земли.

• ввел календарь по египетскому образцу (в котором год состоял из 365 дней, делился на 12 месяцев по 30 дней, и пять дней оставались выпадающими).

• «открыл» для греков созвездие Малой Медведицы как путеводный инструмент (морякам он советовал ориентироваться, как это делали финикияне, по Малой Медведице, заметив, что Полярная звезда всегда находится под одним и тем же углом над горизонтом).

• можно утверждать, что Фалес (начав с геометрического изучения углов) создал «математический метод» в изучении движения небесных тел.

Считается, что Фалес первым доказал несколько геометрических теорем, а именно:

− вертикальные углы равны;

− треугольники с равной одной стороной и равными углами, прилегающими к ней, равны;

− углы при основании равнобедренного треугольника равны;

− диаметр делит круг пополам;

− угол, вписанный в полуокружность, всегда будет прямым.

Фалес первый вписал прямоугольный треугольник в круг. Нашёл способ определять расстояние от берега до видимого корабля, для чего использовал свойство подобия треугольников. В Египте «поразил» жрецов и фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды Хеопса. Он дождался момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.

Докажем теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Пусть на прямой l₁ отложены равные отрезки А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, … и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l₂ в точках В₁, В₂, В₃, В₄, … (рис. 1). Требуется доказать, что отрезки В₁В₂, В₂В₃, В₃В₄, … равны друг другу. Докажем, например, что В₁В₂ = В₂В₃.

Рассмотрим сначала случай, когда прямые l₁ и l₂ параллельны (рис. 1). Тогда А₁А₂ =В₁В₂ и А₂А₃= В₂В₃ как противоположные стороны параллелограммов А₁В₁В₂А₂ и А₂В₂В₃А₃. Так как А₁А₂=А₂А₃, то и В₁В₂=В₂В₃. Если прямые l₁ и l₂ не параллельны, то через точку В₁ проведем прямую l, параллельную прямой l₁ (рис. 2). Она пересечет прямые А₂В₂ и А₃В₃ в некоторых точках C и D. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то по доказанному В₁С=CD. Отсюда получаем В₁В₂=В₂В₃. Аналогично можно доказать, что В₂В₃=В₃В₄ и т. д.

Рис.1. Рис.2

Замечание. В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же: параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Иногда теорема Фалеса будет применяться и в такой форме.

Задачи, решающиеся с помощью теоремы Фалеса

Задача 1. Разделите данный отрезок АВ на n равных частей.

Решение. Проведем из точки А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ (рис.3). Отложим на полупрямой а равные отрезки: АА₁,А₁А₂, А₂А₃, …, Аn_-1An. Соединим точки Аnи В. Проведем через точки А₁, А₂, …,Аn_-1 прямые, параллельные прямой АnВ. Они пересекают отрезок АВ в точках В₁,В₂, …,Вn_-1, которые делят отрезок АВ на n равных отрезков (по теореме Фалеса).

Рис.3

Задача 2. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение. Пусть ABCD – данный четырехугольник и E, F, G, H – середины его сторон (рис. 4). Отрезок EF – средняя линия треугольника ABC. Поэтому EF││AC. Отрезок GH – средняя линия треугольника ADC. Поэтому GH││AC. Итак, EF││ GH, т. е. противолежащие стороны EF и GH четырехугольника EFGH параллельны. Точно так же доказывается параллельность другой пары противолежащих сторон. Значит, четырехугольник EFGH – параллелограмм.

Рис. 4

В заключение приведем несколько показательных историй, связанных с Фалесом

• Однажды груженый солью мул, переходя вброд речку, внезапно поскользнулся. Содержимое тюков растворилось, а животное, поднявшись налегке, сообразило в чём дело, и с тех пор при переправе мул намеренно окунал мешки в воду, наклоняясь в обе стороны. Прослышав об этом, Фалес велел наполнить мешки вместо соли шерстью и губками. Груженый ими мул попытался проделать старый трюк, но добился обратного результата: поклажа стала значительно тяжелее. Говорят, что впредь он переходил реку так осторожно, что ни разу не замочил груз даже нечаянно.

• Про Фалеса передавали такую легенду (её с большой охотой повторил Аристотель). Когда Фалеса, по причине его бедности, укоряли в бесполезности философии, он, сделав по наблюдению звезд вывод о грядущем урожае маслин, ещё зимой нанял все маслодавильни в Милете и на Хиосе. Нанял он их за бесценок (потому что никто не давал больше), а когда пришла пора и спрос на них внезапно возрос, стал отдавать их внаем по своему усмотрению. Собрав таким образом много денег, он показал, что философы при желании легко могут разбогатеть, но это не то, о чём они заботятся. Аристотель подчеркивает: урожай Фалес предсказал «по наблюдению звезд», то есть благодаря знаниям.

• В шестой год войны между лидийцами и мидянами случилось сражение, во время которого «день внезапно стал ночью». Это было то самое солнечное затмение 585 до н. э., «заблаговременно» предсказанное Фалесом и произошедшее именно в предсказанный срок. Лидийцы и мидяне были настолько поражены и испуганы, что прекратили битву и поспешили заключить мир.

• Фалес открыл любопытный способ определения расстояния от берега до видимого корабля. Одни историки утверждают, что для этого им был использован признак подобия прямоугольных треугольников.

Проиллюстрируем этот метод на чертеже (рис.5.).

Пусть А − точка берега, B- корабль. На берегу восстанавливается перпендикуляр AC произвольной длины: [AC]┴ [AB]. Из точки С проводится перпендикуляр CD в противоположную от моря сторону. Из точки C проводится перпендикуляр CD в противоположную от моря сторону. Из точки D смотрят на корабль и фиксируют на [AC] точку E- точку пересечения [AC] с [DB]. Тогда длина отрезка АВ во столько раз больше (или меньше) длины отрезка СD, во сколько раз |AE| больше (или меньше) |CE|.

Другие историки (Прокл) говорят, что Фалес применил признак конгруэнтности прямоугольных треугольников, то есть точку D он выбирал так, чтобы наблюдатель D, корабль В и середина отрезка АС, то есть точка Е, лежали на одной прямой. Тогда |AB|=|CD|.

• Столь же остроумно предложил Фалес измерять высоту предметов. Став недалеко от предмета, надо дождаться, пока тень от человека не сделается равной его росту. Измерив тогда длину тени предмета, можно заключить, что она равна высоте предмета. Говорят, таким способом Фалес измерял высоту египетских пирамид.

Библиографический список

1. Панченко Д. В. Фалес: рождение философии и науки // Некоторые проблемы истории античной науки: Сборник научных трудов / Отв. ред. А. И. Зайцев, Б. И. Козлов. — Л.: Главная астрономическая обсерватория, 1989. — С. 16—36.

2. Асмус В. Ф. Античная философия. — М.: Высшая школа, 1998. — С. 10—13.

Код для цитирования: Скопировать