VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

1. Экономические показатели, на изменение которых влияет фактор сезонности. Модели их прогнозирования

Когда экономические показатели представляют собой внутригодовые данные, в их изменении обычно наблюдаются устойчивые сезонные колебания. В одних случаях они могут быть вызваны сезонностью производства (сельское хозяйство, транспорт, торговля, сфера обслуживания и т.д.), в других - социально-экономическими факторами.

Уровни таких рядов, как правило, состоят из трех составляющих: трендовая, сезонная и случайная. Это значит, что на основную тенденцию изменения показателя налагается сезонная составляющая. Сезонная компонента представляет такие отклонения уровней ряда от тренда, которые имеют одинаковый характер и повторяются в одни и те же периоды года.

Для оценки воздействия фактора сезонности на изменение экономического показателя обычно достаточно содержательного анализа экономической природы показателя и графического отображения наблюдений за два-три года.

Измерение внутригодовых колебаний показателя может определяться (анализироваться) различными способами. Простейшим является вычисление удельного веса каждого уровня в суммарном годовом объеме. Полученные значения обычно усредняются по одноименным моментам времени (кварталам, месяцам, временам года), что позволяет получить более устойчивые оценки.

Другой способ - сравнение каждого наблюдения со среднегодовым уровнем соответствующего года. В результате такого сравнения получают так называемые коэффициенты сезонности. Если отклонения фактических уровней от среднего вычисляют в виде разности, то коэффициенты называются аддитивными, а если в форме отношения - мультипликативными. Достоинство данного способа - его простота, недостаток - он не учитывает наличие случайных колебаний и тенденцию изменения среднего уровня и сезонной волны. В какой-то мере уменьшает этот недостаток предварительное сглаживание и выделение тенденции при помощи скользящей средней.

Для прогнозирования показателей, на изменение которых оказывает влияние фактор сезонности, могут использоваться различные модели, например, авторегрессионные или модели Бокса-Дженкинса. Когда в уровнях ряда присутствует тенденция и сезонная составляющая, проще всего показатель прогнозировать, скорректировав модель тренда с учетов сезонных колебаний.

Для этих целей используют мультипликативную или аддитивную модели, которые имеют следующий вид:

мультипликативная

(1а)

аддитивная

(1б)

где - период времени, ;

- фактические уровни ряда;

- составляющая, характеризующая основную тенденцию (тренд);

- сезонная составляющая;

- случайная составляющая.

2. Технология прогнозирования по мультипликативной и аддитивной моделям

Процесс разработки прогнозов по мультипликативной и аддитивной моделям состоит из трех этапов и отличается только некоторыми нюансами.

Первый этап. Сглаживание фактических уровней ряда.

Выполняется для того, чтобы представить тенденцию изменения показателя и выделить сезонную составляющую.

Для сглаживания необходимо определить период сглаживания . Продолжительность этого периода следует принимать равной тому отрезку времени, через который повторяется однотипный эффект сезонности. Его величину определяют в результате качественного анализа экономического показателя и изучения закономерности изменения фактических уровней ряда, представленных графически. Если величина показателя измеряется помесячно, то продолжительность периода сглаживания скорее всего будет равна 12, хотя может быть и иной. Для квартальных данных или данных, собранных по временам года (зима, весна, лето, осень), период сглаживания будет равен 4.

Сглаженные уровни показателя рассчитывают по формуле:

, (2)

где равняется ;

изменяется от до .

Второй этап. Выделение сезонной составляющей.

Вначале выделяют сезонную и случайную составляющие уровней ряда:

(3а)

(3б)

Строго говоря, в этих формулах характеризует лишь часть случайной составляющей, так как другая ее часть содержится в уровнях ряда . Условность применяемой процедуры выделения сезонной составляющей состоит еще и в том, что при сглаживании теряется часть данных из предыстории.

Затем определяют величину сезонной составляющей уровней ряда для каждого – го периода года . Для этого по одноименным периодам года рассчитывают значения (как простую среднюю) и исключают из них . Так как при использовании мультипликативной модели сезонная составляющая колеблется около 1, а при использовании аддитивной модели – около нуля, то можно исключить, выполнив следующие условия:

(4а)

(4б)

Если для расчетов используется табличный процессор Excel, то выполнение условий (4а) и (4б) можно получить, воспользовавшись функцией Сервис - Поиск решения.

Анализируя величину сезонной составляющей, можно делать выводы о том, как сильно влияет сезонный фактор на изменение показателя и одинаково ли это влияние в одноименные периоды года на всей предыстории.

Уровни ряда без учета сезонной составляющей определяют так:

(5а)

, (5б)

где ; ; ; для каждого .

Третий этап. Расчет прогнозов

Точечный и интервальные прогнозы рассчитывают на требуемый период упреждения прогноза . Например, менеджер туристической фирмы желает иметь информацию о том, какие объемы продаж путевок по сезонам года (зима, весна, лето, осень) можно ожидать в следующем году. В этом случае период упреждения прогноза будет равен четырем.

Расчет точечного прогноза состоит из расчета трендовой составляющей уровней ряда для периода и учета влияния сезонного фактора.

Параметры уравнения тренда находят по . Вид уравнения тренда подбирается таким образом, чтобы оно как можно точнее описывало изменение уровней ряда . В пакете Exсel для расчета параметров уравнения можно использовать функцию Сервис – Анализ данных – Регрессия.

Далее значение показателя, рассчитанное по уравнению тренда для периода , корректируют на соответствующую величину сезонной составляющей. Если сезонная составляющая не меняется от года к году в периоде предыстории, то корректировку проводят по формулам:

(6а)

(6б)

В противном случае величину для периода нужно определять по уравнениям тренда или по методу экспоненциального сглаживания.

Интервальный прогноз определяют так:

левая граница (7)

правая граница , (8)

где - доверительный полуинтервал.

Доверительный полуинтервал рассчитывают по формуле:

(9)

где - табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы ;

– остаточное среднеквадратическое отклонение.

, (10)

где – остаточные отклонения,

- среднее значение остаточного отклонения;

– длина периода предыстории.

Остаточные отклонения определяют так:

(11а)

(11б)

Если в периоде предыстории значения сезонной составляющей очень сильно колеблются от года к году, то для прогнозирования лучше использовать мультипликативную модель. В этом случае интервальный прогноз (при одной и той же доверительной вероятности) будет уже, чем при использовании аддитивной модели.

3. Пример расчета модели сезонности

Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии (у) жителями региона за 16 кварталов.

t	y
1	5,6
2	4,7
3	5,2
4	9,1
5	7
6	5,1
7	6
8	10,2
9	8,2
10	5,6
11	6,4
12	10,8
13	9,1
14	6,7
15	7,5
16	11,3

Строится поле корреляции:

Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем вспомогательную таблицу.

t	yt	yt-1	yt - y1cp	yt-1 - y2cp	(yt - y1cp)(yt-1 - y2cp)	(yt - y1cp)2	(yt-1 - y2cp)2
1	5,6	-	-	-	-	-	-
2	4,7	5,6	-2,827	-1,547	4,372	7,990	2,392
3	5,2	4,7	-2,327	-2,447	5,693	5,413	5,986
4	9,1	5,2	1,573	-1,947	-3,063	2,475	3,790
5	7	9,1	-0,527	1,953	-1,029	0,277	3,816
6	5,1	7	-2,427	-0,147	0,356	5,889	0,022
7	6	5,1	-1,527	-2,047	3,125	2,331	4,189
8	10,2	6	2,673	-1,147	-3,065	7,147	1,315
9	8,2	10,2	0,673	3,053	2,056	0,453	9,323
10	5,6	8,2	-1,927	1,053	-2,029	3,712	1,110
11	6,4	5,6	-1,127	-1,547	1,743	1,269	2,392
12	10,8	6,4	3,273	-0,747	-2,444	10,715	0,558
13	9,1	10,8	1,573	3,653	5,748	2,475	13,347
14	6,7	9,1	-0,827	1,953	-1,615	0,683	3,816
15	7,5	6,7	-0,027	-0,447	0,012	0,001	0,200
16	11,3	7,5	3,773	0,353	1,333	14,238	0,125
сумма	112,9	107,2	0,000	8,88E-16	11,191	65,069	52,377
среднее значение	7,527	7,147	-	-	-	-	-

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле:

.

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

t	yt	yt-2	yt - y3cp	yt-2 - y4cp	(yt - y3cp)(yt-2 - y4cp)	(yt - y3cp)2	(yt-2 - y4cp)2
1	5,6	-	-	-	-	-	-
2	4,7	-	-	-	-	-	-
3	5,2	5,6	-2,529	-1,521	3,847	6,394	2,315
4	9,1	4,7	1,371	-2,421	-3,321	1,881	5,863
5	7	5,2	-0,729	-1,921	1,400	0,531	3,692
6	5,1	9,1	-2,629	1,979	-5,201	6,909	3,915
7	6	7	-1,729	-0,121	0,210	2,988	0,015
8	10,2	5,1	2,471	-2,021	-4,996	6,108	4,086
9	8,2	6	0,471	-1,121	-0,529	0,222	1,258
10	5,6	10,2	-2,129	3,079	-6,553	4,531	9,478
11	6,4	8,2	-1,329	1,079	-1,433	1,765	1,163
12	10,8	5,6	3,071	-1,521	-4,673	9,434	2,315
13	9,1	6,4	1,371	-0,721	-0,989	1,881	0,520
14	6,7	10,8	-1,029	3,679	-3,784	1,058	13,532
15	7,5	9,1	-0,229	1,979	-0,452	0,052	3,915
16	11,3	6,7	3,571	-0,421	-1,505	12,755	0,178
сумма	108,2	99,7	0,000	-8E-15	-27,979	56,509	52,244
среднее значение	7,729	7,121	-	-	-	-	-

Следовательно

.

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней
1	0,19170
2	-0,51493
3	0,12718
4	0,98619
5	0,14482
6	-0,64868
7	-0,00647
8	0,96317
9	0,15824
10	-0,67735
11	-0,10469
12	0,94344

Коррелограмма:

Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

Было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. значения «у» в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.

Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы налоговых поступлений.

2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

t	y	итого за 4 квартала	скользящая средняя за 4 квартала	центрированная средняя	оценка сезонной компоненты
1	5,6	-	-	-	-
2	4,7	24,6	6,15	-	-
3	5,2	26	6,5	6,325	-1,125
4	9,1	26,4	6,6	6,55	2,55
5	7	27,2	6,8	6,7	0,3
6	5,1	28,3	7,075	6,9375	-1,8375
7	6	29,5	7,375	7,225	-1,225
8	10,2	30	7,5	7,4375	2,7625
9	8,2	30,4	7,6	7,55	0,65
10	5,6	31	7,75	7,675	-2,075
11	6,4	31,9	7,975	7,8625	-1,4625
12	10,8	33	8,25	8,1125	2,6875
13	9,1	34,1	8,525	8,3875	0,7125
14	6,7	34,6	8,65	8,5875	-1,8875
15	7,5	-	-	-	-
16	11,3	-	-	-	-

Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты . Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Показатели	Год	№ квартала
		I	II	III	IV
	1	-	-	-1,125	2,55
	2	0,3	-1,8375	-1,225	2,7625
	3	0,65	-2,075	-1,4625	2,6875
	4	0,7125	-1,8875	-	-
Всего за квартал		1,6625	-5,8	-3,8125	8
Средняя оценка сезонной компоненты		0,554	-1,933	-1,271	2,667
Скорректированная сезонная компонента		0,550	-1,938	-1,275	2,663

Для данной модели имеем:

.

Корректирующий коэффициент: .

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты () и заносим полученные данные в таблицу.

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

.

Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины . Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

t	y		y-S	T	T+S	E=y - (T+S)	E2
1	5,6	0,550	5,050	5,859	6,409	-0,809	0,654
2	4,7	-1,938	6,638	6,065	4,128	0,572	0,328
3	5,2	-1,275	6,475	6,271	4,996	0,204	0,041
4	9,1	2,663	6,438	6,478	9,140	-0,040	0,002
5	7	0,550	6,450	6,684	7,234	-0,234	0,055
6	5,1	-1,938	7,038	6,890	4,953	0,147	0,022
7	6	-1,275	7,275	7,097	5,822	0,178	0,032
8	10,2	2,663	7,538	7,303	9,966	0,234	0,055
9	8,2	0,550	7,650	7,509	8,059	0,141	0,020
10	5,6	-1,938	7,538	7,716	5,778	-0,178	0,032
11	6,4	-1,275	7,675	7,922	6,647	-0,247	0,061
12	10,8	2,663	8,138	8,128	10,791	0,009	0,000
13	9,1	0,550	8,550	8,335	8,885	0,215	0,046
14	6,7	-1,938	8,638	8,541	6,604	0,096	0,009
15	7,5	-1,275	8,775	8,747	7,472	0,028	0,001
16	11,3	2,663	8,638	8,954	11,616	-0,316	0,100

Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

.

Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени.

Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97,9% общей вариации величины «у» по кварталам за 4 года.

Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об объемах потребления электроэнергии на 17-й и 18-й кварталы. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

.

Получим

.

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и . Таким образом,

.

Т.е. в 17-й и 18-й кварталы следовало ожидать 9,710 и 7,429 ед. потребления электроэнергии соответственно.

Использованная литература

1. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели: Учеб. пособие для ВУЗов. – М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1995. – 136 с., C. 70 –73

2. Кендэл М. Временные ряды. – Пер. с англ. и предисл. Ю.П. Лукашина. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 199 с., ил., С. 63

16

Код для цитирования: Скопировать