VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Плоские шарнирно-рычажные механизмы, широко распространены в современном машино- и приборостроении. Проектирование механизмов представляет собой творческую сложную комплексную задачу, решение которой разбивается на несколько этапов. Одним из важных этапов является кинематическое исследование плоского механизма. Существует несколько методов определения кинематических характеристик звеньев и точек механизма. Рассмотрим конкретный передаточный механизм, преобразующий равномерное движение ведущего звена в неравномерное движение ведомого, и выполним кинематический расчет механизма разными методами.

 

Постановка задачи

В плоском шарнирно-рычажном механизме кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью  (рис. 1). ОА = ВС = CD = CE = DF =  , AB = . В некоторый момент времени механизм занимает положение, при котором ОА  Для заданного положения механизма определить угловые скорости и угловые ускорения всех звеньев и линейные скорости и ускорения указанных точек сочленения звеньев.

 

Решение

Рассмотрим движение плоского механизма, состоящего из пяти звеньев, в пространстве неподвижного основания.

Опишем движение звеньев: 1 звено - кривошип ОА вращается вокруг оси, перпендикулярной  плоскости чертежа и проходящей через точку О; 2 и 3 звенья  -  шатуны АВ и BD движутся плоскопараллельно; 4 звено - коромысло СЕ вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку Е; 5 звено - кривошип DF совершает вращательное движение вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку F.

Рис. 1.

Звенья механизма 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 3 и 5 соединены в точках А, В, С, D с помощью цилиндрических шарниров, следовательно,

;                 ;

;                  .

Для определения кинематические характеристики всех звеньев и указанных точек сочленения звеньев воспользуемся тремя методами кинематического исследования: графоаналитическим, аналитическим и координатным.

 

1. Аналитический метод

В основе аналитического метода лежат основные теоремы кинематики о скоростях и ускорениях точек плоской фигуры.

Задача скоростей

По условию угловая скорость кривошипа ОА задана: , следовательно, 1 звено является ведущим. Найдем скорость точки А₁, принадлежащей звену 1

.                                                            (1)

 

На схеме (рис. 2) покажем направление .

Величины угловых скоростей звеньев 2, 3, 4, 5 неизвестны, направления  изобразим произвольно (рис. 2).

 

 

Рис. 2.

Переходим к звену 2, движущемуся плоскопараллельно. Скорость точки В₂ определим по теореме о скоростях точек плоской фигуры

,                                                          (2)

.

Величина скорости   может быть определена по формуле

                         .                                                            (3)

Точка В_2,3 принадлежит звеньям 2 и 3, совершающим плоскопараллельное движение, поэтому про величину и направление скорости  ничего не известно, следовательно, найти ее из (2) невозможно.

Рассматриваемую задачу кинематики логичнее решать, начиная с пятого звена, а затем последовательно переходить к другим звеньям.

Найдем скорость точки D₅ вращающегося звена 5 и изобразим  на схеме (рис. 2)

,                                                                 (4)

.

Линейные скорости точек и угловые скорости последующих звеньев будем выражать через угловую скорость пятого звена.

Скорость точки C₄ вращающегося звена 4 равна  

,                                                                (5)

.

Изобразим  на схеме (рис. 2).

Переходим к звену 3. Скорость точки D₃ вычислим по теореме о скоростях точек плоской фигуры, взяв за полюс точку С₃

,                                                         (6)

,                                                               (7)

 

Вектор  покажем на схеме (рис. 2)

Введём локальную систему координат (ЛСК) так, что , и спроецируем равенство (6) на оси x, y:

,                                                    (8)

.                                                     (9)

Подставим , (4), (5), (7) в (8), (9) и получим алгебраические значения угловых скоростей звеньев 3 и 4

,                                                                 (10)

.                                                               (11)

По принадлежности точки В звену 3 найдем скорость  согласно теореме о скоростях точек плоской фигуры, взяв за полюс точку С₃

,                                                          (12)

                         ,                                                                 (13)

.

Направление скорости   покажем на рисунке 2.

Приравняем правые части выражений (2) и (12), т.к.

  ,                                                          (14)

Равенство (14) спроецируем на оси x, y выбранной ЛСК

                                            ,           

                                             .                                  

Подставим в записанные равенства , выражения (1), (3), (13), учтем (10), (11) и после элементарных преобразований получим искомые значения угловых скоростей

,                                                              (15)

.                                                             (16)

Подставив (16) в формулы (10), (11), вычислим значения угловых скоростей

,                                                           (17)

.                                                              (18)

Так как алгебраические значения  положительные, следовательно, направления угловых скоростей всех звеньев и линейных скоростей точек на схеме изображены верно (рис. 2).

Модули скоростей точек А, С и D согласно (1), (4), (5) равны

,                                                               (19)

,                                                               (20)

.                                                             (21)

Скорость точки В определим по принадлежности 3 звену, спроецировав выражение (12) на оси x, y выбранной ЛСК и подставив в полученные выражения (20), (13), (17)

                                                        ,           

                                             .                                         

Модуль скорости точки В вычислим по формуле   :                                                                  

                                              .                                                             (22)

Задача ускорений

По условию звено 1 вращается с постоянной угловой скоростью, тогда

.                                                                       (23)                                                 

Угловые ускорения звеньев 2, 3, 4, 5 неизвестны, направления  выберем произвольно (рис. 3).

Рис. 3

Решение задачи ускорений, как и задачи скоростей, эффективнее начинать с последнего звена 5.

Найдем ускорение точки D₅ вращающегося звена 5

,                                                       (24)

,                                                               (25)                  

,                                                     (26)

,     .

Составляющие ,    вектора  ускорения точки D изобразим  на схеме (рис. 3).

Определим ускорение точки С₄ вращающегося звена 4

,                                                       (27)

,                                                               (28)                  

,                                                       (29)

,     .

Составляющие ,    вектора  ускорения точки C изобразим на схеме (рис. 3).

Рассмотрим звено 3. Для нахождения ускорения точки С₃ применяем теорему об ускорениях точек плоской фигуры, взяв за полюс точку D₃

,                                                (30)

,                                                    (31)

,                                                            (32)

,     .

Перепишем равенство (30) с учетом выражений (27), (24) для ,

 

и спроецируем его на оси ЛСК:

,                                 (33)

.                                        (34)

После подстановки (25), (26), (28), (29), (31), (32) в выражения (33), (34) запишем

,

 

и выразим     через

,                                                               (35)

.                                                      (36)

Определим ускорение точки B₃ по теореме об ускорениях точек плоской фигуры, взяв за полюс точку D₃

,                                                   (37)

,                                                        (38)

,                                                                  (39)

,     

С учетом  (37) перепишем в виде

.                                           (40)

Определим ускорение точки В₂ по принадлежности 2 звену по теореме об ускорениях точек плоской фигуры, взяв за полюс точку А₂

,                                                (41)

,                                               (42)

,                                                            (43)

,     

Ускорение полюса А найдем по принадлежности вращающемуся звену 1

,                                                   (44)

,                                                           (45)

,                                                       (46)

.

В выражение (41) подставим (44)

.                                                (47)

            Учтем, что , и приравняем правые части выражений (37) и (47)

.                              (48)

Векторное равенство (48)  спроецируем на оси ЛСК:

,    (49)

.       (50)

В (53), (54) подставим, (25), (26), (38), (39), (42), (43), (46):

,                   (51)

,                       (52)

Из (51) получим зависимость углового ускорения   от 

.                                                     (53)

Для определения  подставим выражения (53), (35) для угловых ускорений второго и третьего звена  ,   в (52) и получим

.                                                      (54)

Подставим (54) в выражения (35), (36), (53)  и запишем формулы для вычисления угловых ускорений , ,

,                                                      (55)

,                                                       (56)

.                                                        (57)

Алгебраические значения , , , получились отрицательные, следовательно, на схеме следует изменить направления угловых ускорений звеньев 2, 3, 4, 5.

Ускорение точки А найдем по формуле (44) с учетом (45), (46)

.                                                               (58)

Ускорение точки В легче всего найти из векторного равенства (47), спроецировав его на оси ЛСК:

,                             (59)

.                              (60)

В (59), (60) подставим , (42), (43), (46) с учетом (57) и получим:

,                                                   (61)

                                                   (62)

Модуль ускорения точки В определим по формуле

                                                             ,                                                     (63) 

.                                                  (64)

Модуль ускорения точки C найдем по формуле  с учетом (29), (28), (55)

.                                                  (65)

Модуль ускорения точки D найдем по формуле  с учетом (25), (36), (54)

.                                                  (66)

На рисунке 4 представлена схема механизма, на которой направления угловых ускорений всех звеньев и линейные ускорения точек изображены верно.

 

Рис. 4.

 

2. Графоаналитический метод

В основе графоаналитического метода лежат понятия мгновенного центра скоростей (МЦС) и мгновенного центра ускорений (МЦУ). Сначала графически определяются положения МЦС и МЦУ звеньев, совершающих плоскопараллельное движение. Затем применяются основные теоремы кинематики о скоростях и ускорениях точек плоской фигуры, причем за полюс принимаются точки скорость и ускорения которых равны нулю: МЦС и МЦУ соответственно.

Задача скоростей

Кинематические характеристики будем находить, как и в первом методе, начиная со звена 5. Угловую скорость  звена 5 направим против часовой стрелки. Линейные и угловые скорости последующих звеньев будем выражать через угловую скорость пятого звена. Величину и направление скорости точки D звена 5 определим аналогично первому методу

,                                                                 (67)

.

Рассмотрим звено 3. Заменим плоскопараллельное движение шатуна BD мгновенно-вращательным относительно МЦС. МЦС находится на пересечении перпендикуляров к направлениям скоростям двух точек твердого тела. Известны направления скоростей точек D и С по принадлежности вращающимся звеньям 5 и 4 соответственно

.

Положение МЦС звена 3 P₃ = (CE) ∩ (DF) показано на рисунке 5.

 

Рис. 5.

Тогда

,                                                          (68)

Необходимые линейные характеристики находим из прямоугольного треугольника , в котором  и из равнобедренного треугольника   (рис. 5):

,                                                    (69)

,                                                    (70)

.                                                    (71)

Значение угловой скорости  найдем, приравнивая (67) и (68) и учитывая (69):

.                                               (72)

Направление угловой скорости третьего звена определим по правилу

.

Величины и направления скоростей точек С и В механизма находятся аналогично с учетом (70)-(72):

,                                            (73)

,

,                                            (74)

,

            По принадлежности точки С звену 4 имеем

.                                                               (75)

Приравнивая (73) и (75) найдем угловую скорость звена 4

.                                                               (76)

Направление угловой скорости четвертого звена определим в соответствии с правилом

.

Переходим к звену 2. На втором звене известны направления скоростей двух точек В и А. Направление скорости точки А определяется по принадлежности к звену 1

.

Заменим плоскопараллельное движение шатуна АB мгновенно-вращательным относительно МЦС. Находим МЦС на пересечении перпендикуляров к направлениям скоростям точек В и А. Положение МЦС P₂ звена показано на рисунке 5.

В прямоугольном треугольнике    (рис. 5) известна сторона АВ =  , из геометрии найдем угол , следовательно,

.

МЦС звена 2 совпадает с точкой O ( ).

Направление скорости точки А указано верно, т.к. по условию задана величина и направление угловой скорости звена 1 (рис. 1). Модуль скорости точки А по принадлежности звену 1

.                                                      (77)

Величина и направление скорости точки А по принадлежности звену 2:

,                                                     (78)

.

Следовательно, направление угловой скорости звена 2 найдено. Значение  найдем из условия , приравняв (77) и (78)

.                                                                 (79)

Скорость точки В₂ равна

,

.                                                             (80)

С другой стороны , следовательно, приравняв (74) и (80), получим

.                                                                (81)

Значения угловых скоростей звеньев 3, 4 найдем подстановкой (82) в (72), (76)

,                                                             (82)

.                                                                  (83)

Модули скоростей точек С и D получим из (73), (67) с учетом (81)

,                                                                (84)

.                                                              (85)

Решение задачи ускорений с помощью мгновенных центров ускорений (МЦУ) для рассматриваемого механизма достаточно трудоемкое и нерациональное.

 

3. Координатный метод

Координатный метод относится к аналитическим методам. В координатном методе механизм изображают в произвольном положении, определяют координаты точек механизма как функции времени и взаимосвязь углов, определяющих положение его звеньев.  Скорости и ускорения точек и угловые скорости и ускорения звеньев механизма определяют дифференцированием по времени координат точек и углов, задающих положение звеньев механизма, соответственно.

Определение положения звеньев механизма

Найдем расстояния между центрами O, E, F неподвижных цилиндрических шарниров рассматриваемого механизма (рис. 1, 2). Учтем, что 

;                   (86)

                                                                           (87)

.                    (88)

Изобразим механизм в произвольном положении (рис. 8).

 

Рис. 6.

Положение звеньев механизма зададим углами , отсчитанными против часовой стрелки, как показано на рисунке 6. Найдем взаимосвязь между углами  определяющими положение звеньев механизма в произвольный момент времени:

                  

                  

                  

                   .

С учетом (86)-(88) записанные выше выражения примут вид

                                                           (89)

                                                                   (90)

                            (91)

                                   (92)

Решив систему трансцендентных уравнений (89)-(92) относительно , получим зависимость  в произвольном положении механизма, определяемом углом .

Определение угловых скоростей звеньев механизма

Уравнения (89)-(92) продифференцируем по времени:

,                                                         (93)

,                                                      (94)

,                     (95)

.                     (96)

Заметим, что

 

Зная закон изменения угла  с течением времени , можно найти угловые скорости  всех звеньев в произвольном положении механизма, решив совместно систему восьми трансцендентных уравнений (89)-(96).

Вычислим угловые скорости звеньев механизма в заданном положении. Учтём, что задана угловая скорость первого звена, и известны углы (рис. 1, 6)

                                                          (97)

Заданная угловая скорость первого звена направлена по часовой стрелке, следовательно, алгебраическое значение  отрицательное:

.                                                                         (98)

Значения углов (97) подставим в выражения (93)-(96):

,                                                                                  (99)

,                                                                           (100)

,                                                     (101)

.                                    (102)

Решив систему уравнений (99)-(102) с учетом (98), найдем алгебраические значения угловых скоростей звеньев 2, 3, 4, 5  

,                                                           (103)

,                                                 (104)

,                                                           (105)

.                                                      (106)

 

Определение угловых ускорений звеньев механизма

Угловые ускорения  можно найти, продифференцировав уравнения (93)-(96) по времени:

,                                         (107)

,                                       (108)

, (109)

. (110)

Заметим, что

 

В произвольном положении механизма, определяемом заданным углом , угловые ускорения  всех звеньев можно найти, решив совместно систему двенадцати трансцендентных уравнений (89)-(96), (107)-(110).

Вычислим угловые ускорения звеньев в заданном положении механизма. Учтем, что угловое ускорение ведущего звена   по условию и углы  равны (97):

,                                                                            (111)

,                                                                            (112)

,                    (113)

,                     (114)

Из системы уравнений (111)-(114) с учетом значений угловых скоростей (103)-(106) получим искомые алгебраические значения угловых ускорений звеньев 5, 4, 3 и 2:

,                                                         (115)

,                          (116)

,                                 (117)

.                            (118)

 

Координаты точек механизма

Определим координаты точек A, B, C, D в произвольном положении механизма согласно рисунку 8.

,                                              ,                                         (119)

,                          ,                   (120)

,                           ,                                    (121)

,                           .                          (122)

 

Определение скоростей точек механизма

Вычислим проекции скоростей точек A, C, D, B на оси x, y, продифференцировав по времени координаты (119)-(122), и модули скоростей указанных точек в произвольном положении механизма

,                                  ,                                (123)

,                                     ,                                (124)

,                                     ,                           (125)

,     ,  (126)

;                                                      (127)

;                                                     (128)

;                                                    (129)

.                                                              (130)

Найдем модули скоростей точек A, C, D, B в заданном положении механизма, подставив в формулы (127)-(129), (126), (130) значения углов   из (97) и угловых скоростей (103)-(106). Скорости точек в заданном положении механизма обозначим звездочкой (*).

;             ;           ;              

,

),

.

 

Определение ускорений точек механизма

Выполнив дифференцирование по времени проекций скоростей точек A, C, D, B (123)-(126), получим проекции ускорений этих точек на оси x, y в произвольном положении механизма:

,                  ;            (131)

,                    ;           (132)

,                    ;         (133)

,                           (134)

.                             (135)

            Модуль ускорения точки А найдем по формуле

.

Аналогично вычисляются модули ускорений точек C, D, B.

В заданном положении механизма определим проекции и модули скоростей точек A, C, D, B, подставив в выражения (131)-(135) значения углов   из (97), угловых скоростей (103)-(106) и угловых ускорений (115)-(118). Учтем, что  согласно условию задачи. Ускорения точек в заданном положении механизма обозначим звездочкой (*).

,                                                                       

,                                                                        

;                                                                                           

,                        

,

,                                                     

,

, 

,                         

,  

, 

               .           

 

Заключение

Особенностью данной кинематической задачи является то, что ведущее звено 1 шарнирно соединено в точке А с плоскопараллельно движущимся звеном 2, которое в свою очередь соединено в точке В со звеном 3, также  совершающим плоскопараллельное движение. И только точки С и D звена 3 шарнирно соединены с вращающимися звеньями 4 и 5. Поэтому решать задачи скоростей и ускорений, переходя от звена 1 к последовательно соединенным с ним звеньям 2, 3, 4, 5 нерационально. Эффективнее задать произвольное направление угловой скорости и углового ускорения звена 5 и последовательно искать кинематические характеристики переходя от звена 5 к звеньям 4, 3, 2, 1. Затем следует скорректировать направления полученных угловых и линейных скоростей и ускорений в зависимости от заданных направлений  и  ведущего звена.

Исследование движения плоского шарнирно-рычажного механизма выполнено тремя методами. Кинематические характеристики звеньев и точек механизма (рис. 1), найденные разными методами, получились полностью идентичными. Анализ методов кинематического исследования механизма по некоторым критериям приведен в таблице 1.

Таблица 1

Критерий	Аналитический метод ( ,  )	Графоаналитический метод (метод МЦС, МЦУ)	Координатный метод
Специальные условия	-	Применим только для плоских механизмов	Механизм должен быть изображен в произвольном положении; необходимо ввести обобщенные координаты (в зависимости от количества степеней свободы)
Возможность определения скоростей	+	+	+
Возможность определения ускорений	+	± МЦУ легко определяется только для некоторых частных случаев расположения звеньев механизма	+
Наглядность	Для точек, принадлежащих плокопараллельно движущемуся звену, можно показать только компоненты скоростей и ускорений	Можно показать истинные направления скоростей всех точек, нормальную и касательную составляющие ускорений всех точек  механизма. МЦС может располагаться вне чертежа	Можно указать проекции скоростей и ускорений точек на оси выбранной системы координат
Возможность определения кинематических характеристик в произвольный момент времени	Как правило, метод применяют для определения скоростей и ускорений в заданном положении механизма	Метод применяют для определения скоростей и ускорений в заданном положении механизма	Метод предназначен для определения кинематических характеристик в произвольный момент времени
Возможность алгоритмизации, программирования	± Кинематические характеристики должны быть найдены  для произвольного момента времени	-	+
Особые требования	-	Высокая графическая культура, знание геометрии	-

 

Аналитический способ является последовательным и структурированным, применим к любой задаче, но является несколько громоздким и не вполне наглядным.

Графоаналитический способ нагляден и значительно сокращает вычисления за счёт геометрических преобразований. Но, с другой стороны, при решении задачи скоростей МЦС может оказаться слишком далеко от объекта, необходимые длины и углы не всегда получаются удобными для вычислений. Кроме того, задачу ускорений не всегда можно легко решить при помощи МЦУ: требуются громоздкие геометрические построения и хорошее знание геометрии.

            Координатный метод позволяет исследовать характеристики механизма в любой момент времени, его можно запрограммировать и легко просчитывать необходимые кинематические характеристики на компьютере, строить графики изменения скоростей и ускорений с течением времени. Однако, для решения без использования компьютерной техники он для большинства задач неудобен из-за громоздких вычислений.

 В рассматриваемой задаче наиболее рациональным является сочетание графо-аналитического метода для решения задачи скоростей и аналитического для задачи ускорений.

 

 

 

Код для цитирования: Скопировать