VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Введение

Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:

(1.1)

где коэффициенты (, ) являются постоянными величинами, а () - неизвестные функции переменной t. Если все , где , положить равными нулю (), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1.1):

, (1.2)

Обозначая матрицу системы через A(t), вектор через , вектор через y,вектор через тогда систему (1.1) можно переписать в матричной форме

(1.1а)

Если b(t)=0, то получаем соответствующую систему однородных уравнений

(1.2а)

Всякая совокупность n функций , , …, ,

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a,b), называется решением системы (1.1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1.1) в тождества:

y1't≡f1t,y1t,y2t,…ynt

y2't≡f2t,y1t,y2t,…ynt

…………………………………… (1.3)

yn'(t)≡fn[t,y1t,y2t,…yn(t)]

справедливые при всех значениях x из интервала (a,b).

Таким образом,общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.

Постановка задачи

Тема работы: «Исследование методов решения систем дифференциальных уравнений с постоянной матрицей».

В данной работе представлены теоретические сведения для решения систем дифференциальных уравнений с постоянной матрицей, описаны два различных метода их решения.

Решение системы линейных дифференциальных уравнений получено в математическом пакете Maple, а решения системы нелинейных уравнений – в пакетах Maple и MATLAB.

Математически поставленные задачи можно сформулировать следующим образом:

1. Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР).

2. Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.

3. Найти приближенное решение в виде матричного ряда.

4. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы A от свойств матрицы системы.

5. Решить задачу Коши.

6. Найти координаты особых точек и определить их тип.

7. Проинтегрировав численно нелинейную систему в MATLAB, построить фазовый портрет.

К данным задачам были приложены конкретные примеры:

1) системы четырех линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (задача 1-5):

, , _,

где А - постоянная матрица системы, имеющая следующий вид:

(2.1, 2.2)

2) нелинейная система уравнений (задача 6-7):

(2.3)

Нахождение собственных чисел и построение ФСР

Однородной линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида (1.2),

или . (3.1)

Если в матрице системы все = const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами (с постоянной матрицей).

Система функций () называется фундаментальнойсистемой решений (ФСР), если она линейно независима для уравнения (1.2). Для линейной системы дифференциальных уравнений всегда существует ФСР, а каждое решение может быть представлено в виде , где - ФСР.

Для того чтобы система n решений была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского этих решений (вронскиан) был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала непрерывности (а,b) коэффициентов исходного уравнения.

Основные свойства фундаментальной системы решений:

1. Эта система решений линейно независима.

2. Любое другое решение однородной системы является линейной

комбинацией этих независимых решений.

Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида строится фундаментальная система решений:

, (3.2)

где - фундаментальная матрица системы.

Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное (ненулевое) решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

, т.е.

(3.3)

Это уравнение является алгебраическим уравнением степени n и называется характеристическим уравнением уравнения (3.1).

Для матрицы системы из примера (2.1) найдем характеристический полином в пакете Maple с помощью функции: charpoly(А, lambda):

,

а затем функцией solve(, lambda) решаем уравнение относительно λ. Получаем четыре корня:

,

где два первых – действительные разные корни, а последние - комплексно-сопряженные корни.

В соответствии с найденными корнями, необходимо составить ФСР.

Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера

Метод Эйлера заключается в следующем:

Решение системы (1.2) находится в виде:

(4.1)

Функция (4.1) является решением системы (1.2), если – собственное значение матрицы A, а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу . Если собственные значения матрицы попарно различны и - соответствующие собственные вектора этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1.2) определяется формулой:

_, (4.2)

где с₁, с₂, … , сn – произвольные числа.

Для случая комплексно-сопряженных корней, когда характеристические числа λ=a±b·i (имеем корень λ=a+b·i и сопряженный ему корень λ* = а-b·i). Поскольку сопряженный корень не порождает новых линейно независимых решений, то будем искать решение системы (1.2) в виде:

(4.4)

Подставляя полученное решение (4.4) в систему (1.2) и выделяя отдельно вектор при мнимой и действительной части, получим два линейно независимых решения.

Для матрицы системы А были найдены собственные значения λ: . ФСР для найденных корней будет включать в себя следующие функции:

,.

Найдем значения собственных векторов, при помощи функции :

Для нахождения строк фундаментальной матрицы необходимо полученные собственные числа подставить в выражение , а затем воспользоваться формулой Эйлера: . После преобразований в полученных выражениях следует выделить элементы при действительной и мнимой части. Выполнив данные преобразования, получаем строки фундаментальной матрицы:

Построим общее решение, транспонируя фундаментальную матрицу решения и умножив на столбец коэффициентов F_i. Получим:

Выполнив проверку найденного общего решения с помощью выражения

ddty=A∙y,

убеждаемся в его правильности.

Нахождение приближенного решения в виде матричного ряда

Приближенно вектор решений можно найти как произведение матричного ряда и вектора начальных условий:

(5.1)

и вектора начальных условий y₀=[y₁,y₂, …..y_k].

Формула является матричной задачей Коши в приближенном виде.

Экспонентой e^A матрицы А называется сумма ряда:

, (5.2)

где Е – единичная матрица.

Свойства матричной экспоненты:

1. Если АВ = ВА, то е^А+В = е^Ае^В = е^Ве^А.

2. Если А = S^-1BS, то , где S – матрица преобразования

переменных из собственного базиса в базис исходных переменных.

1. Вектор yt = е^Аt является решением матричной задачи Коши:

, y(0) =y₀,

т.е. является фундаментальной матрицей системы (1.2).

Из свойства 3 следует, что решение y(t) системы (1.4), удовлетворяющее условию y(0) = y₀, определяется выражением y(t) = е^Аty_0.

Для нашего случая найдем разложение матричного ряда до пяти членов включительно (для n=3, n=4, n=5).

Рассмотрим подробнее разложение матричного ряда для n=5 и, помножив его на вектор начальных условий (2.2), получим приближенное решение в виде матричного ряда:

Аналогично получим приближенное решение для n=4:

Аналогично получим приближенное решение для n=3:

Для сравнения полученных приближенных решений матричным методом используем точное решение задачи Коши:

Изобразим первые и вторые строки-решения приближенного решения матричным методом для первых n=3, n=4, n=5 членов и точного решения задачи Коши.

Рисунок 1. Сравнение первого точного решения задачи Коши и первых решений, найденных в виде матричного ряда

Рисунок 2. Сравнение второго точного решения задачи Коши и вторых решений, найденного в виде матричного ряда.

Из рисунков видно, что при увеличении числа n первых членов график приближенного решения матричным методом приближается к графику точного решения задачи Коши. Особенно эта зависимость видна на втором графике.

Построение общего решения матричным методом

Данный метод решения системы уравнений основан на отыскании фундаментальной матрицы этой системы:

, (6.1)

где Е – единичная матрица. Матрица является решением матричной задачи Коши: , , т.е. является фундаментальной матрицей системы. Из этого следует, что решение системы, удовлетворяющее условию , определяется выражением . Таким образом, задача нахождения решений системы уравнений эквивалентна задаче отыскания матрицы по матрице А. Для вычисления матрицы удобно представить матрицу А в виде:

,

где В – жорданова форма матрицы А, так как .

Исследование зависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы

Пусть J – жорданова клетка матрицы А. Для случая действительных разных корней Жорданова клетка будет выглядеть следующим образом:

. (6.1)

Если два собственных числа матрицы А являются комплексно-сопряженными, то запись жордановой клетки будет выглядеть так:

(6.2)

где – действительная, – мнимая часть собственного числа .

Если корни кратные и являются непростыми делителями, то в общем случае Жорданова форма матрицы выглядит так:

(6.3)

и называется квазидиагональной матрицей.

Определим вид Жордановой матрицы для нашей исходной системы.

Для действительных корней кратности k=1 и комплексно-сопряженных корней , Жорданова матрица записывается следующим образом:

J=,

Из уравнения A_*S = S_*J, где S – невырожденная матрица, получаем систему 16-го порядка, решая которую с помощью функции solve, получаем следующие выражения:

из которых находим элементы матрицы S (доопределяя):

S=

Найдя матрицу S, делаем проверку A_*S-S_*J=0. Получаем нулевую матрицу, следовательно, матрица S найдена верно.

Для нахождения вектора решений y(t) необходимо умножить матрицу S на ξ, где ξ – это вектор, элементы которого зависят от корней характеристического многочлена:

_.

Для комплексных чисел ξ имеет следующий вид:

.

Для случая корней действительных разных:

В нашем случае ξ получается равной:

Общее решение найдем из: y(t)=S*ξ:

Выполнив проверку:

,

получаем, что общее решение, построенное матричным методом, найдено верно.

Задача Коши для матричного метода

Для решения задачи Коши для вектора начальных условий y=[1,2,2,0] в точке х₀=0 необходимо из всех решений системы уравнений найти такое решение, в котором y_i(х) принимает заданное числовое значение y_0iв заданной точке.

Следовательно, необходимо найти значения С_1i из общего решения системы дифференциальных уравнений. В вектор решений y(х) подставляем заданные условия и решаем полученную систему относительно l₁, l₂, l₃, l₄:

Из условия Y₀ =Y и t=0 имеем:

Решая систему уравнений с помощью функции solve относительно неизвестных коэффициентов l₁, l₂, l₃, l₄, находим:

Подставив найденные значения коэффициентов в общее решение системы уравнений, получим частное решение:

Поиск особых точек и определение их типа

Пусть имеется нелинейная система дифференциальных уравнений следующего вида, представляющая структуру фазового пространства:

, (8.1)

где и являются нелинейными функциями.

Особая точка системы являеттся положением равновесия данной системы:

Равенство нулю всех первых производных от фазовых координат будет являться условием равновесия, т.е.:

(8.2)

Приравняв данный определитель к нулю

и определив собственные значения λ, можем определить тип особой точки.

В зависимости от собственных значений, различают 4 типа невырожденных особых точек нелинейных систем:узел, седло, фокус, центр.

Теперь рассмотрим нелинейную систему вида и определим типы особых точек:

Для нахождения особых точек данной системы и определения их типа воспользуемся средствами пакета Maple. Найдем особые точки с помощью функции solve, решая приведенную ниже систему относительно х и у.

Получим следующие координаты особых точек:

Введем следующие обозначения:

Px,y=-x+y-1

Qx,y=LN(x2-y)

Будем искать матрицу А в виде (8.2):

Матрица А будет иметь следующий вид:

А=- для точки (-1; 0)

A=- для точки (2; 3)

Для точки (-1; 0): ��_1,2 =

Тип особой точки: устойчивый фокус.

Тип фазовой траектории: логарифмические спирали.

Рисунок 3. Фазовая траектория типа логарифмической спирали

Для точки (2; 3): ��₁= 1, ��₂= -3

Тип особой точки: седло.

Тип фазовой траектории: гиперболы.

Рисунок 4. Фазовая траектория типа гиперболы

Численное интегрирование нелинейных систем в MATLAB. Построение фазовых портретов

Язык MATLAB является высокоуровневым языком программирования, включающим основанные на матрицах структуры данных, широкий спектр функций, интегрированную среду разработки, объектно-ориентированные возможности и интерфейсы к программам, написанным на других языках программирования.

Программы, написанные на MATLAB, бывают двух типов - функции и скрипты. Функции имеют входные и выходные аргументы, а также собственное рабочее пространство для хранения промежуточных результатов вычислений и переменных. Скрипты же используют общее рабочее пространство. Как скрипты, так и функции не компилируются в машинный код и сохраняются в виде текстовых файлов. В общем случае такие программы выполняются быстрее обычных, особенно если функция содержит команды построения графиков.

В рамках курсовой работы исследуем нелинейную систему (2.3) в пакете MATLAB, а также построим фазовый портрет.

Фазовый портрет - графическое изображение решения системы дифференциальных уравнений на фазовой плоскости (или в многомерном пространстве), по координатным осям которого отложены значения величин переменных системы. Поведение переменных во времени при таком способе представления для каждой начальной точки описывается фазовой траекторией. Совокупность таким фазовых траекторий для любых начальных условий представляет собой фазовый портрет.

Построение фазового портрета предназначено для наблюдения за поведением системы в окрестности особой точки и в удалении от нее.

Для нелинейных систем дифференциальных уравнений не существует общих аналитических методов решения. Поэтому для нахождения решений и оценки их поведения используются разнообразные численные методы. Численные методы позволяют найти решение задачи Коши для данных начальных условий.

Многие из этих методов реализованы в виде специальных функций в пакете MATLAB. Эти функции имеют следующий вид:

[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0),

где solver – имя функции, вычисляющей правую часть дифференциального уравнения и ее аргументы:

• odefun – имя функции, вычисляющей правую часть

дифференциального уравнения.

• tspan – вектор, задающий интервал интегрирования .

• y0 – вектор начальных условий.

Значения, возвращаемые функцией:

• T – вектор-столбец моментов времени.

• Y – вектор-столбец решений. Каждый ряд в Y соответствует решению,

полученному в момент времени в соответствующем ряду T.

Предварительный анализ системы показал, что чтобы получить достаточно полное представление об общем решении данной системы необходимо рассмотреть начальные условия из ограниченной области, содержащей все особые точки. Для определенности в качестве области, в которой мы будем задавать начальные условия, возьмем следующую область (квадрат)

Будем задавать начальные условие в квадрате D в узлах регулярной сетки с шагом 0.2 по обеим осям координат. Полученное решение будем сразу рисовать на фазовой плоскости XOY.

Для задания вида правых частей нелинейной системы создадим функцию func (файл с расширением .m).

Далее создадим файл-сценарий, который и будет выполнять построение фазового портрета. В этом файле задаем начальный и конечный моменты времени. Вызываем solver ode45, который имеет вид:

Ode45 (f, interval, X0).

Входными параметрами этой функции являются:

• f - вектор-функция для вычисления правой части уравнения системы уравнений;

• interval - массив из двух чисел, определяющий интервал интегрирования дифференциального уравнения или системы;

• Х0 - вектор начальных условий системы дифференциальных систем;

Далее строим фазовый портрет с помощью функции plot (см. рис. 5). В результате работы программы получаем фазовый портрет, который дает возможность наглядно проследить за поведением системы в окрестностях особых точек. Анализируя фазовые траектории, можно сказать, что типы особых точек определены правильно.

Рисунок 5. Фазовый портрет

Заключение

В ходе выполнения данной работы, были изучены 3 метода нахождения общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений:

1. метод Эйлера,

2. решение в виде матричного ряда,

3. матричный метод.

Была изучена задача Коши, которая была решена для заданных начальных условий матричным методом (2.2).

Были выполнены соответствующие проверки, для подтверждения правильности решения.

По сравнению с методом Эйлера и матричным методом, метод разложения в матричный ряд дает лишь приближенное решение (см. рис. 1, 2), но имеет самую простую реализацию.

Также была изучена нелинейная система дифференциальных уравнений (2.3): найдены координаты особых точек и определен их тип (пакет Maple), построен фазовый портрет (рис. 4) (пакет MATLAB).

Список литературы

1. Козловских А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения – издательство ТПУ, 2013 – 168с.

2. Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф. Высшая математика для технических университетов – часть V, 2011 г. – 392с.

3. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения : учебное пособие / В. И. Арнольд. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Наука, 1984. - 271 с.

4. Ануфриев, Смирнов, Смирнова. MATLAB 7. Санкт-Петербург, изд. «БВХ-Петербург», 2005 г. – 311с.

5. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения - 3-е изд., перераб. и доп. – изд. «Высшая школа», Минск, 1986 г. – 328с.

23

Код для цитирования: Скопировать