VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Свойства арифметических и геометрических прогрессий были рассмотрены авторами на Форуме 2014 г. и опубликованы в журнале [1], но в указанном источнике пример приводился для арифметических прогрессий в математической среде MathCAD. Исследование прогрессий было продолжено и получены новые результаты.

Рассмотрим, во-первых, программу для геометрической прогрессии, члены которой последовательно заносятся в квадратные матрицы соответствующих размеров. Очевидно, что строится программа аналогично [1] (рисунок 1).

Рисунок 1 – Программа (функция пользователя) в среде MathCAD для членов геометрической прогрессии (строится матрица 3-го порядка).

Задавая параметр n в функции пользователя f 2 (рисунок 1) получаем матрицы размерностью с отсечением дробной части, состоящие из членов геометрической прогрессии с первым членом x1 и знаменателем d. Значение их определителей, очевидно, есть 0. Необходимо отметить, что для геометрических прогрессий полученный результат не вызывает удивления – пропорциональность соответствующих элементов матрицы по строкам и по столбцам (одно из основных свойств определителей). Но в статье [1] для арифметических прогрессий подобной пропорциональности не наблюдается, а определитель равен 0.

С помощью программы (рисунок 1) получим следующую матрицу (рисунок 2).

Рисунок 2 – Геометрическая прогрессия с n = 19 (строится матрица 4-го порядка).

Произведём с матрицей c следующие преобразования: вместо элементов какой-либо строки (или столбца) введём элементы любой последовательности (арифметической или геометрической) – возрастающей или убывающей, а также вообще любые числа (рисунок 3).

а) б) в)

Рисунок 3 – Значение определителя матрицы, состоящей из последовательных членов геометрической прогрессии при замене: а) элементов второй строки на члены убывающей арифметической прогрессии; б) элементов второго столбца на члены убывающей геометрической прогрессии; в) элементов второго столбца на произвольные числа.

Очевидно, что пропорциональность по строкам и по столбцам осталась, поэтому определитель равен 0. Сделаем следующие выводы.

При расчёте определителей любого порядка, начиная с 3-го:

А) при заполнении элементов квадратной матрицы последовательными членами геометрической прогрессии, начиная с любого номера и любым знаменателем, получаем определитель равный нулю;

Б) при заполнении элементов квадратной матрицы последовательными членами геометрической прогрессии, начиная с любого номера и любым знаменателем, но с измененной какой-либо строкой (столбцом) на произвольные числа, получаем определитель равный нулю.

Литература

1 Смольняков И.М., Часов К.В. Некоторые свойства прогрессирующих последовательностей // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 7 – С. 106-107 URL: www.rae.ru/meo/?section=content&op=show_article&article_id=5515 (дата обращения: 20.12.2014).

Код для цитирования: Скопировать