VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2015

Значение математики в современной жизни невозможно переоценить. Да и не только в современной. Сколько вопросов человечества решила математика в прошлом? А сколько еще предстоит решить? Любая, даже самая маленькая идея, не говоря уже о больших научных проектах, в большинстве случаев не обходится без математики. Математика призвана обнаружить логические связи, сформировать алгоритм, произвести оптимизацию, в общем найти кратчайший путь решения любой задачи.

К сожалению, много людей в школе не научились применять математику в жизни. Они еще со школьной скамьи считают, что математика – это абстрактные объекты, теоремы, уравнения и т.д., которым никогда не находят применения в жизни. На самом же деле, они просто не поняли, что математика является тесным сплетением чистой (абстрактной, или просто теоретической) математики и прикладной математики. И что доля именно прикладной математики в этом “симбиозе” огромна. Чтобы попытаться представить насколько – обратимся к книге “Начала финансовой математики” Г.П. Башарина: “на первый взгляд финансовая математика сводится к арифметике. Однако ситуация резко усложняется, если речь идет даже о небольших коммерческих операциях, не говоря уже о банковской деятельности. Поэтому кроме арифметики в коммерческих и финансовых расчетах используются алгебраические методы, методы математического анализа, теории вероятностей, математической статистики и других разделов современной математики” [Башарин, 1997, с. 5]. Конечно, без финансовой математики сложно представить современный мир, тем не менее, она демонстрирует лишь некоторую часть прикладной математики.

Как отметил И.И. Блехман, “движущие силы развития математики имеют два основных объективно существующих источника. Один из них, внешний, связан с необходимостью решения математическими средствами задач, лежащих за пределами математики, задач других наук, техники, экономики и т. д.; именно этот источник был исторически первым. Второй источник, внутренний, вытекает из необходимости систематизировать найденные математические факты, выяснить их взаимосвязи, объединить их с помощью обобщающих концепций в теорию, развивать эту теорию по ее внутренним законам; именно этот источник и привел в свое время к выделению математики как науки” [Блехман, 1976, с. 15]. Эта фраза хорошо разграничивает и определяет понятия “прикладная” и “теоретическая” математика. Теоретическая математика занимается установлением закономерностей между теориями, систематизацией теорий, созданием законов, и развитием по этим законам уже сформированных теорий. Ее характерные черты – доказательность и обоснованность. Прикладная же математика использует эти доказанные теории для решения так называемых прикладных задач.

Понятие “прикладная задача” в литературе трактуется по-разному. Н.А. Терешин отмечает, что “одни исследователи прикладной называют задачу, требующую перевода с естественного языка на математический. Другие исследователи считают, что прикладная задача должна быть по своей постановке и методам решения более близкой к задачам, возникающим на практике. Третьи под прикладной задачей понимает сюжетную задачу, сформулированную, как правило, в виде задачи-проблемы и удовлетворяющую следующим требованиям: 1) вопрос должен быть поставлен в таком виде, в каком он обычно ставится на практике (решение имеет практическую значимость); 2) искомые и данные величины (если они заданы) должны быть реальными, взятыми из практики” [Терешин, 1990, с. 6].

Сам же Н.А. Терешин дает следующее определение: “прикладная задача – это задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами” [Терешин, 1990, с. 6]. Это определение, на мой взгляд, точно описывает суть понятия “прикладная задача”. Похожее определение дает в свой книге “Педагогика математики” А.А. Столяр: “Когда в какой-нибудь области науки (не математики), техники или практической деятельности возникает задача, она не является математической по своему содержанию. Это задача физическая, биологическая, химическая, техническая и т. д. Когда же хотят такую задачу решать математическими средствами, ее называют прикладной (по отношению к математике)” [Столяр, 1986, с. 145]. Делая вывод, важно отметить следующее: прикладная задача обязательно имеет научную (практическую) значимость. Причем не в математике, а в других областях знаний. Логично предположить, что задачи прикладного характера встречаются в школьном курсе математики довольно редко. Все же составители задачников - профессиональные математики, а не инженеры-механики, к примеру. Поэтому, в силу некоторого сходства, к прикладным задачам в рамках школьного курса можно отнести практические и межпредметные задачи. Эти задачи обязательно нужны, так как методика их решения идентична методике решения прикладной задачи.

Процесс решения прикладной задачи, согласно Н.А. Терешину “состоит из трех этапов; 1) формализации, перевода предложенной задачи с естественного языка на язык математических терминов, т. е. построения математической модели задачи; 2) решения задачи внутри модели, 3) интерпретации полученного решения, т. е. перевода полученного результата (математического решения) на язык, на котором была сформулирована исходная задача” [Терешин, 1990, с. 6]. Что здесь важно отметить? Традиционно, в обучении второму этапу уделяется время намного большее, чем остальным, хотя они не менее важны. Складывается ситуация, при которой, как заключает А.А. Столяр “учащиеся приобретают некоторые навыки в решении довольно сложных математических задач, но оказываются совершенно бессильными перед простой задачей, возникающей вне математики, так как не умеют ее переводить в математическую” [Столяр, 1986, с. 145].

О важности этапа построения математической модели говорит и А.Н. Тихонов: “во многих случаях правильно выбрать модель — значит решить проблему более чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. При решении школьных задач по физике вы выступаете одновременно как физики и математики” [Тихонов, 1984, с. 13]. Продолжая эту мысль можно процитировать В.А. Гусева: “Разрозненное преподавание предметов естественнонаучного цикла ведет к формированию метафизических представлений у школьников” [Гусев, 1979, с. 8].

Среди множества прикладных задач особое место занимают задачи по определению оптимальной формы различных предметов. Эти задачи очень наглядно демонстрируют применение математики в практических целях. Приведу пример из книги “Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики” И.М. Шапиро:

Задача: Найдите, при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим.

Решение. Этап I. Составление математической модели облегчается тем, что известна форма банки и оговорено, что она должна быть заданной емкости. Это существенно для составления модели. Существенным является также требование, чтобы расход жести на изготовление банки был бы наименьшим. Это требование означает, что площадь полной поверхности банки, имеющей форму цилиндра, должна быть наименьшей; существенны и значения размеров банки. Несущественны для составления математической модели конкретное значение емкости банки и вид консервов (мясных, рыбных, овощных, фруктовых), для которых банка предназначена.

Обозначив емкость банки через V см³, сформулируем математическую задачу: «Определить размеры цилиндра с объемом V см³ так, чтобы площадь его полной поверхности была наименьшей».

Этап II. Для решения математической задачи обозначим диаметр основания цилиндра через х см, а высоту его через h см. Тогда объем цилиндра

V=14πx2h.

Отсюда h=4Vπx2. Полная поверхность цилиндра Sп=2∙14πx2+πxh=12πx2+πx4Vπx2=πx3+8V2x. Итак

Sп=πx3+8V2x.

Так как переменная х может принимать лишь положительные значения, решение задачи сводится к нахождению наименьшего значения S_п на положительной полупрямой. Найдем производную

Sп'=(πx3+8V2x)'= πx3-4Vx2.

Для нахождения критических точек решим уравнение Sп'= 0, т. е. уравнение

πx3-4Vx2=0.

Корень уравнения 34Vπ. При 00. Следовательно, в точке x=34Vπ функция S(x) имеет минимум.

Так как уравнение не имеет других, кроме 34Vπ, действительных корней, этот минимум совпадает с наименьшим значением функции на рассмотренном промежутке h=4Vπx2=34VπИтак, h=x=34Vπ.

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра, имеющего объем V, будет наименьшей при h=x=34Vπ, т. е. когда цилиндр равносторонний.

Этап III. Наименьший расход жести на изготовление консервной банки цилиндрической формы заданной емкости будет достигнут при условии, что диаметр основания и высота банки равны между собой по размеру.

Решив задачу, целесообразно провести следующие рассуждения.

При x=h=34Vπ

Sп=π∙4Vπ+8V234Vπ=6V34Vπ=332πV2.

Пусть x=32Vπ. Учитывая, что объем цилиндра V, h=4Vπx2=4Vπ∙3(2Vπ)2=232Vπ. Тогда

Sп1=12π3(2Vπ)2+π32Vπ∙232Vπ=12π34V2π2+2π34V2π2=5234V2π2=5234πV2.

Sп1>Sп,так как 5234>332

В этом случае (при ^x=32Vπ и h=232Vπ) расход жести увеличится более чем на 6% по сравнению с наименьшим. Полезно обратить внимание учеников на то, что в нашей стране выпускаются ежегодно сотни миллионов банок консервов в жестяной упаковке. Если эти банки не представляют собой равносторонний цилиндр, то на их изготовление допускается перерасход жести. Экономия 1% жести на изготовление каждой такой банки позволит за счет сэкономленного материала дополнительно изготовить миллионы новых банок [Шапиро, 1990, с. 45].

Рассматривая прикладные задачи математики, определяющие оптимальную геометрию каких-либо предметов не возможно не вспомнить задачу “о пчелиных сотах”. Невозможно, потому что бортничество считается одним из традиционных занятий жителей нашего чудесного края – Башкирии. Как указывается методистами [С.С. Салаватова, 2010], включение задач с краеведческими сюжетами в учебно-воспитательный процесс, повышает интерес учащихся к урокам математики и значимость математики. Поэтому, большое значение в своей исследовательской работе мы уделяем таким задачам, одной из которых является упомянутая выше задача о пчелиных сотах. Решая вопрос о том, каким должен быть их дом пчелы, фактически, решают две прикладные задачи:

1. Как эффективно заполнить объем улья равными фигурами? Что значит эффективно? Объем улья, довольно небольшой. А пчелы, животные умные и при этом еще и неплохие оптимизаторы. Фигуры эффективно заполнят объем только при отсутствии между ними зазоров. Сразу можно исключить фигуры цилиндрической формы, так как каждый цилиндр будет только касается другого и плотного прилегания не возникнет. Фигуры неправильной формы рассматривать нецелесообразно, так как это чрезвычайно усложнит расчеты и дальнейшее исполнение ячеек. Следовательно, плотное прилегание могут обеспечить только правильные многоугольники, такие как треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы. Почему нельзя рассматривать пятиугольные или вообще n-угольные призмы? Для того чтобы ответить на этот вопрос необходимо ввести понятие паркет. По википедии: “Парке́т — замощение плоскости одинаковыми многоугольниками без пробелов и перекрытий, в котором любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек” [Википедия]. Так вот, правильные паркеты образуют лишь равносторонние треугольники, квадраты и правильные шестиугольники.

2. Выбрать оптимальную форму сечения ячейки. Оптимальную – значит при одинаковых объемах фигур, содержащую наименьшую площадь боковой поверхности. Для изготовления стенок ячеек нужно израсходовать определенное количество воска, а пчелы не привыкли тратить его впустую. Почему можно рассматривать только сечение? Потому что, выше уже сказано, что объем фигур считается равным, также равны и длины ячеек – или высоты наших призм. Следовательно, достаточно посчитать, какая из фигур (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник) имеют наименьший периметр.

C периметром квадрата все просто: Pкв=4a, где a – сторона квадрата.

Стороны треугольника и шестиугольника имеет смысл выразить через это же a, для того чтобы найти как относятся периметры. Это можно сделать, учитывая, что

Sтр=Sкв=Sш=a2.

Итак, площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

Sтр=34b2,

где через b обозначим сторону треугольника. Отсюда:

34b2=a2b2=a2·43b=a2·43=243a

Площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

Sш=332с2,

Где через c обозначим сторону шестиугольника. Отсюда:

332c2=a2c2=a2·233b=a2·233=2433a

Следующий шаг найдем отношения периметров:

Pтр  Pкв  Pш=3b 4a  6c=3·243  4  6·2433 4,6  4  3,7

Остается только догадываться, как пчелы сумели произвести данный расчет. Тем не менее, имеет место тот факт, что с помощью прикладной математики можно обосновать, почему пчелы строят ячейки сот в форме шестиугольных призм.

Используемая литература

1. Башарин, Г.П. Начала финансовой математики / Г.П. Башарин. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 160 с.

2. Блехман, И.И. Прикладная математика: предмет, логика и особенности подходов / И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, Я.Г. Пановко. – Киев: Научная думка 1976. – 287 с.

3. Википедия Паркет (геометрия). – [Электронный ресурс]. – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Паркет_(геометрия)

4. Гусев, В.А. Преподавание геометрии в 6-8 классах. Сб. статей / В.А. Гусев, C.С. Варданян. – М.: Просвещение, 1979. – 281 с.

5. Салаватова, С.С. Методические особенности обучения математике в национальной школе / С.С. Салаватова // Вестник Башкирского университета. 2010. Т. 15. № 3. – С. 835-839.

6. Столяр, А.А. Педагогика математики: Учебное пособие / А.А. Столяр. – Минск: Высшая школа, 1986. – 414 с.

7. Терешин, Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. для учащихся / Н.А. Терешин. – М: Просвещение, 1990. – 96 с.

8. Тихонов, А.Н. Вводные лекции по прикладной математике / А.Н. Тихонов, Д.П. Костомаров. – М.: Наука, 1984. – 192 с.

9. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся старших классов сред. шк. / Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. – М.: Просвещение, 1989. – 192 с.

10. Шапиро, И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Кн. для учителя / И.М. Шапиро. – М.: Просвещение, 1990. – 96 с.

Код для цитирования: Скопировать