VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ И МЕХАНИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ СЕРДЕЧНОЙ МЫШЦЫ
КомментарииПолная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В работе создаётся математическая модель активного электромеханического поведения одномерной сердечной мышцы.
Выяснение молекулярно-клеточных механизмов возбуждения и сокращения сердечной мышцы является основой для понимания ее функционирования в норме и патологии, а так же для диагностики, прогноза и рациональной терапии заболеваний сердца.
Поскольку миокард – сложная биологическая система, в которой многочисленные внутриклеточные процессы тесно связаны и взаимно влияют друг на друга, построение интегративных моделей электрической активности миокарда, верифицированных по отношению к широкому кругу известных экспериментальных данных и предназначенных для выяснения причинно-следственных связей между механическими и электрическими явлениями в кардиомиоцитах и, тем более, количественного анализа чувствительности миокардиальной системы к возможной вариации (нормальной или патологической) параметров внутренних процессов или внешних условий ее функционирования является актуальной задачей математической физиологии.
Поскольку целое сердце – чрезвычайно сложный объект, в рамках которого выяснение фундаментальных закономерностей взаимодействия между неоднородными клетками миокарда не представляется возможным, потребовалась разработка простейших и вместе с тем информативных экспериментальных моделей миокарда. В Институте иммунологии и физиологии (ИИФ) УрО РАН под руководством член-корреспондента РАН Мархасина В.С. была разработана такая простейшая физиологическая модель механически неоднородного миокарда - мышечный дуплет. Дуплет представляет собой пару сердечных мышц с различными свойствами, которые механически взаимодействуют, когда объединяются либо параллельно, либо последовательно. Проведение данных работ, а также наличие развитой комплексной модели кардиомиоцита открывает возможность в построении одно-, двух- и трехмерных моделей миокарда.
В рамках представленной работы разработана математическая модель одномерного мышечного волокна из ряда последовательно соединенных клеток с различными механическими свойствами, в которых проведение электрического возбуждения и механическое взаимодействие сегментов будут сопряжены с развитием потенциалов действия и напряжения в клетках с учетом прямых и обратных связей, существующих между всеми этими процессами как на внутриклеточном, так и на тканевом уровне. В данной работе была использована модель сокращения одиночной клетки сердечной мышцы .Екатеринбург-Оксфорд, разрабатываемая сотрудниками ИИФ УрО РАН.
Цель задачи:
Создание математической модели активного электромеханического поведения одномерной сердечной мышцы для воспроизведения проведение электрического возбуждения и сократительной активности миокарда. Модель должна адекватно воспроизводить и объяснять феномены, наблюдаемые в физиологических экспериментах на мышечных препаратах или в интактном сердце.
Объединенная модель ткани.
Блок модели:
Блок содержит 5 обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих следующие фазовые переменные:
1. N – доля силогенерирующих присоединенных поперечных мостиков;
2. – разница между мгновенной длиной сократительного элемента CE и его длиной в состоянии, когда мышца расслаблена;
3. – разница между мгновенной длиной параллельного элемента PE и его длиной в состоянии, когда мышца расслаблена;
4. – разница между мгновенной длиной дополнительного последовательного элемента XSE и его длиной в состоянии, когда мышца расслаблена;
5. v – скорость укорочения/удлинения сократительного элемента CE.
Введем обозначения: LCE – длина сократительного элемента, LSE – длина элемента SE, LPE – длина элемента PE, LXSE – длина элемента XSE.
Объединенная модель представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений. Процесс проведения электрического возбуждения описывается неоднородным параболическим уравнением диффузионно-реакционного типа. Изменения мембранного потенциала одиночных клеток в процессе возбуждения происходит в результате активации разнообразных ионных токов. Механические процессы в клетке, а также кинетика кальция описываются также при помощи обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений. Особенность континуальной модели распространения электрического сигнала по механически активной среде состоит в том, что каждая точка среды, по которой проходит сигнал, непрерывно меняет свое положение в пространстве.
Кроме того, важным звеном модели явились соотношения, определяющие связь между длинами на микроуровне (клетка) и макроуровне (ткань). Дело в том, что хотя на макроуровне каждая клетка среды нульмерна (т.к. представлена одной точкой), но в то же время на микроуровне она имеет собственную непрерывно меняющуюся длину. Именно эти изменения порождают механоэлектрические обратные связи. Поэтому внутренние длины клеток и их непрерывное изменение учтены в модели. Построенные нами соотношения между макро- и микродлинами позволят перенести влияние механической активности миокарда на электрическую функцию с клеточного уровня на уровень одномерной ткани. Выше были определены граничные и начальные условия для механического и электрического блоков модели и обоснован выбор соответствующих условий, исходя из физиологических свойств. Таким образом, мы имеем замкнутую задачу, требующую численного решения.
где – различные ионные токи, в которые входит – Ca-TnC комплекс;
– активация тонкой нити;
- вероятность нахождения миозиновой головкой свободного места на актиновой нити;
- нормализованная линейная зависимость зоны перекрытия толстых и тонких нитей саркомера от его длины.
- параметры модели
– концентрация поперечных мостиков в клетке в момент времени – определяется дифференциальным уравнением.
– потенциал действия.
С помощью данной модели были экспериментально получены результаты для изометрического режима сокращения мышцы. В дальнейшем планируется получить результаты и для изометрического режима.
Заключение
Работа посвящена описанию электрических и механических процессов на уровне одномерного препарата миокардиальной ткани.
Основной задачей настоящей работы является разработка математической модели электромеханического сопряжения механоэлектрических обратных связей. Для этого разработана система уравнений, объединяющая известные уравнения электрического блока, а также уравнения механического блока.
Данная статья написана с использованием следующей литературы:
Соловьева О.Э., Васильева А.Д., Концельсон Л.Б., Курсанов А.Г., Сульман Т.Б., Мархасин В.С.. Учебное электронное текстовое издание «Математическое моделирование живых систем». Учебно-методическое пособие. УрФУ. Екатеринбург. 2012. 210 с.
Кусанов А.Г. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ И МЕХАНИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ СЕРДЕЧНОЙ МЫШЦЫ, квалификационная работа на степень магистра наук / А.Г. Курсанов ; Институт иммунологии и физиологии (ИИФ) УрО РАН – Екатеринбург, 2011. -71 с.
Sulman, T., et al., 2008. Mathematical Modeling of Mechanically Modulated Rhythm Disturbances in Homogeneous and Heterogeneous Myocardium with Attenuated Activity of Na+–K+ Pump. // Bulletin of Mathematical Biology (2008) 70: 910–949