VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

На данный момент, перед различными компаниями стоят две главные задачи: первая это максимизировать прибыль, а вторая это уменьшить издержки.

Одной из математических интерпретаций данных задач являются задачи линейного программирования (ЗЛП). Которые графически или в виде таблиц дают нам описание оптимального подхода к решению проблемы, уменьшить или увеличить производство той или иной услуги, а от какой следует отказаться. Или приобрести необходимый ресурс, для получения соответствующей прибыли.

Но, каждый понимает, что на земле не существует абсолютных величин, все цифры имеют определенную динамику изменения. Простейшим примером этого является колебания валют. Держа в банке валюту, ваши деньги то и дело меняют свою стоимость. Вчера они стоили 35 денежных единиц (д.е.), сегодня 36,7 д.е., а через неделю могут дойти до 40,1 д.е., но могут и не дойти, т.к. у каждого из этих показателей имеется доля вероятности. Никогда нельзя быть точно уверенным, произойдет то или иное событие, но можно быть уверенным, что оно может произойти.

Поэтому относительно ЗЛП, я предлагаю применить метод нечеткой логики, которая покажет более широкие интервалы и покажет перспективы развитие тех или иных событий, на основе которых компания может применить свою стратегию. Нечеткая логика дает возможность компании рискнуть, опираясь на возможность того, что данное событие произойдет. Или увидеть возможные доходы относительно полученной статистической информации.

Начнем с того, что дадим описание каждой из областей и решим относительно этих методов ЗЛП с применением метода нечеткой логики

Определение 1. Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции:

(1)

при условиях, что

(2)

(3)

(4)

где - заданные постоянные величины и

Определение 2. Функцияназывается целевой функцией задачи линейного программирования(1)-(4), где условия (2) – (4) – являются ограничениями данной задачи.

Определение 3. Стандартной(или симметричной)ЗЛП называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции F, при выполнении условий (2) и (4), где k = m.

Определение 4. Основной (или канонической)задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (1) при выполнении условий (3) и (4), где k = 0.

Определение 5. Совокупность чисел D = (d₁, d₂, …, dn), удовлетворяющих ограничениям задачи (2) – (4), называется допустимым решением (или планом).

Определение 6. План D* = (d₁*, d₂*, …, dn*), при котором целевая функция поставленной нами задачи принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

Значение целевой функции (1) при плане D будем обозначать через F(D) или просто F. Следовательно, D* - оптимальный план задачи, если для любого D выполняется неравенство {соответственно }. Эта же запись может выглядеть как F ≤ F* (соответственно F ≥ F*).

Обозначенные нами ранее три вида ЗЛП эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью некоторых преобразований может быть переписана в другую форму задачи. Это значит, что если мы имеем способ поиска решения одной из поставленных задач, то путем тем самых некоторых преобразований, может быть найдено допустимое решение любой из трех задач.

Для того чтобы перейти от одной формы записи ЗЛП к другой, важными факторами являются:

• Уметь свести задачу по нахождению максимума заданной целевой функции к минимуму;

• переходить от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам и наоборот.

В тех случаях, когда от нас требуют найти максимум функции

можно перейти к нахождению минимума функции, умножив все ее коэффициенты на «минус один», т.е.

поскольку функция F принимает максимальное значение в той же самой точке, в которой функция F₁ принимает минимальное значение.

Ограничение-неравенство исходной задачи линейного программирования, имеющее вид можно преобразовать в неравенство вида , поступив аналогичным образом, т.е. умножая на (-1) обе части неравенства и меняя знак неравенства на противоположный.

Что нужно сделать, для того чтобы преобразовать ограничение-неравенство исходной задачи линейного программирования в ограничение-равенство, добавляются уравновешивающие коэффициенты. Эти коэффициенты есть очень малое число, которое необходимо прибавить (в случае), или отнять (в случае) от неравенства, чтобы оно стало равенством.

Пример:

Для изготовления различных изделий А, В и С предприятие использует три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена на одно изделие А, В и С, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице.

Изделия А, В и С могут производится в любых соотношениях(сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида.

Ресурсы	Общее количество ресурсов	Норма расхода ресурса на единицу продукции
		А		C
S1	360	16	15	12
S2	192	6	4	8
S3	180	5	3	3
Прибыль от единицы продукции		8	10	16

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость все й произведенной предприятием продукции максимальной.

Решение

Составим математическую модель задачи. Искомый объем продажи товара А обозначим через d₁, товара В – через d₂, товара С – через d₃. Поскольку имеются ограничения на используемые предприятием ресурсы каждого вида, переменные х₁, х₂, х₃ должны удовлетворять следующей системе ограничений:

Общая стоимость проданного предприятием товара при условии продажи d₁ единиц товара А, d₂ единиц товара В, d₃ единиц товара С составляет

По своему экономическому содержанию переменные d₁, d₂, d₃ могут принимать только лишь неотрицательные значения:

d₁≥ 0, d₂ ≥ 0, d₃ ≥ 0.

Таким образом, приходим к следующей математической модели:

Запишем эту задачу в канонической форме ЗЛП. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам. Введем три дополнительные переменные, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений:

Эти дополнительные переменные по экономическому смыслу означают неиспользуемое при данном плане производства количество ресурса того или иного вида.

Составим симплексную таблицу:

		d1	d2	d3	y1	y2	y3
y1	360	16	15	12	1	0	0
y2	192	6	4	8	0	1	0
y3	180	5	3	3	0	0	1
	0	-8	-10	-16	0	0	0

План, соответствующий данной таблице D = (0, 0, 0). Как видно из таблицы, значения всех основных переменных d₁, d₂, d₃ равны нулю, а дополнительные переменные принимают свои значения в соответствии с ограничениями задачи. Эти значения переменных отвечают такому «плану», при котором ничего не продается, сырье не используется и значение целевой функции равно нулю ( F = 0), т.е. прибыль отсутствует. Этот план, конечно, не является оптимальным.

Об этом же говорит и наличие в целевой строке таблицы отрицательных значений. Отрицательные числа не только свидетельствуют о возможности увеличения прибыли от продажи, но и показывают, насколько увеличится эта сумма при введении в план продажи единицы того или другого вида товара.

Так, число –8 означает, что при включении в план продажи одной единицы товара А обеспечивается увеличение прибыли на 8 ден. ед. Если включить в план реализации по одной единице товара В и С, то общая прибыль возрастет соответственно на 10 и 16 ден. ед. Поэтому с экономической точки зрения наиболее целесообразным является включение в план продаж товара С. Это же необходимо сделать и на основании формального признака симплексного метода (выбор опорного столбца).

Определяем опорную строку. С экономической точки зрения, мы, тем самым, определяем, какое количество товара С предприятие может продавать с учетом норм расхода и имеющихся ресурсов каждого вида. Согласно столбцу α ограничивающим фактором (узким местом) для продажи товара С является имеющийся ресурс III вида (трудозатраты). С учетом его наличия предприятие может продать 180 единиц товара С.

Следовательно, строка d₃ подлежит исключению из базиса. Опорные строка и столбец определены, пересчитываем таблицу:

Первая итерация

		d1	d2	d3	y1	y2	y3
y1	72	7	9	0	1	-1,5	0
d3	24	0,75	0,5	1	0	0,125	0
y3	108	2,75	1,5	0	0	-0,375	1
	360	3,25	-2,5	0	0	1,875	0

Получили новый опорный план D= (0, 24, 0). При данном плане продажи реализуется 24 единиц товара. Прибыль от всего проданного при этом плане товара равна 360 ден. ед. Как видно, данные этого столбца по-прежнему представляют собой параметры рассматриваемой задачи, хотя они претерпели значительные изменения.

Найденный план также не является оптимальным (целевая строка по-прежнему содержит отрицательные коэффициенты). Максимальным по модулю отрицательным числом целевой строки является -2,5, значит, в план будет вводиться продажа товара В.

Определив коэффициенты столбца α, получаем, что опорной строкой будет строка y₁, иными словами, продажа товара В ограничена имеющимся в распоряжении предприятия ресурса I вида .

После первой итерации прибыль предприятия составляет:

_{F=16*24=360ден. ед.}

Вновь пересчитываем симплекс-таблицу:

Вторая итерация

		d1	d2	d3	y1	y2	y3
d2	8	0,78	1	0	0,11	-0,17	0
d3	20	0,36	0	1	-0,06	0,21	0
y3	96	1,58	0	0	-0,17	-0,13	1
	380	5,19	0	0	0,28	1,46	0

В полученной симплекс-таблице в целевой строке нет отрицательных чисел, значит, полученный план: D= (8, 20, 0) - оптимален и F = 380 ден. ед.

Итак, план продажи товара предусматривает реализацию 8 единиц товара В и 20 единиц товара С. При данном плане реализации товара стоимость проданной продукции равна 380 ден.ед.

_{F=16*20+8*10=380 ден. ед.}

А теперь допустим, что цена на продукт, как это часто случается – изменяется. Пускай это будет инфляция, или поднятые цены на сырье или вследствие того, что мы собираемся открыть новое дело, собираем дополнительные средства, а может мы проверяем, на сколько гибкая цена товара и какие у неё покупательские способности. В данных условиях, мы точно не можем сказать, какая у нас будет прибыль, но если «размыть» ценовые характеристики товаров, мы получим интервал вероятной прибыли.

И уже отталкиваясь от данных цифр мы сможем принимать решения, по закупке нового сырья и распределения ресурсов организации.

В нашем примере берутся три ценовые характеристики, обозначаемые буквами А, В и C.

Источник A: у данного продукта неизученная покупательская способность и руководство может поставить цену на данный продукт, в равных возможностях, либо 8-9 д.е. либо 6-7 д.е.

Цена на продукт B: надежная и точная, ожидаемая сумма 10 д.е.

Цена на продукт C: его сумма может изменяться от 10 до 20 д.е. в зависимости от насыщения им рынка, но с наибольшей вероятностью можно ожидать варьирование цен от 16 до 17 д.е.

Различные источники финансирования можно представить с помощью нечетких величин с распределениями.

Рисунок 1

Каждая нечеткая величина рассматривается здесь как объединение трапециевидных и не обязательно нормальных нечетких интервалов. Каждый из этих нечетких интервалов M_i представлен пятеркой

где и — соответственно нижнее и верхнее модальные значения

нечеткого интервала M_i, и . - левый и правый коэффициенты нечеткости, a h_i - высота нечеткого интервала (рисунок 1). В соответствии с этими

обозначениями нечеткие величины, связанные с различными источниками

финансирования, представляются в виде

А = А1 и А2 = (8,9,0,0,0,5) U (6, 7,0,0, 0,5);

В = (10, 10, 0,0, 1);

С = (16,17,6,3, 1);

Нечеткая величина M_i+M_j, где M_i и M_j - два трапециевидных нечетких интервала, подобных изображенным на рисунке 1, есть также трапециевидный нечеткий интервал , где h = min(h_i, h_j) (эффект среза); ; ; ;

Сумма S=A+B+C, получается как объединение всех известных нам интервалов, но так как на онове превой задачи продукт А, мы не продаем, сумма будет состоять из В и С.

_{Так как} ,_,и , являются вариантами цен, на 1единице продукции, то для k единиц товара, эти значения будут увеличены в k-раз.

Значит 8В=(80,80,0,0,1), а 20С=(320,340,120,60,1)

_h=min(1;1)

Сделав вышеперечисленные вычисления, находим итоговую сумму:

S=(400,420,120,60,1)

Графически, наша возможная прибыль выглядит таким образом. Она предоставленна в виде интервала, с возможностью от 0 до 1.

И по данному графику, отталкиваясь от внешних факторов, стратегии организации и принятий решений директором. Организация будет располагать более обширными вариантами развития событий, и рассчитывать на большую прибыль, нежели она располагала статистическими стоимостными характеристиками

Код для цитирования: Скопировать