VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Возможно, не существует открытий

ни в элементарной,

ни в высшей математике,

ни даже, пожалуй, в любой другой области,

которые могли бы быть сделаны…

без аналогии

Д. Пойа

Порой люди, сами того не замечая, используют аналогию в самых разных областях науки, причем нередко обе области, между которыми аналогия проводится, получают при этом существенную пользу.

Анало́гия (др. греч. ἀναλογἰα — соответствие, сходство) — подобие, равенство отношений; сходство предметов (явлений, процессов) в каких-либо свойствах, а также познание путём сравнения [1]. Между сравниваемыми вещами должно иметься как различие, так и подобие; то, что является основой сравнения должно быть более знакомым, чем то, что подлежит сравнению. Различие и подобие вещей должны существовать в единстве или, по крайней мере, не должны быть разделяемы.

В статье Р. Сафаров указывает на тот факт, что «…счет и простейшие арифметические действия, выполнимые лишь с целыми числами, были освоены еще в доисторические времена. … Но иррациональных чисел античные математики не знали. Потому-то они и считали, например, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной: ведь их отношение выражается «незаконным» иррациональным числом 2. Не имея общей числовой меры, оба отрезка существовали, тем не менее, как геометрические объекты. И это подсказывало выход из затруднительного положения: заменить исследование чисел исследованием фигур» [2].

Эвклид в «Началах» сложение чисел объясняет как сложение отрезков, а их произведение выражает площадью прямоугольника со сторонами, равными данным отрезкам, т.е. все действия над рациональными числами описывает на «геометрическом» языке.

Так возникла геометрическая алгебра, которая позволила обойти немало каверзных вопросов, но оперировать ею было нелегко. Действия, которые сегодняшний школьник выполняет с помощью формул, приходилось интерпретировать с помощью геометрических аналогий, требовавшие изощренной изобретательности.

Рациональные и иррациональные числа в геометрической алгебре аналогичны отрезкам прямой, а их произведение - площади геометрической фигуры (прямоугольника или квадрата). Указываем на термин «аналогичны», поскольку о тождественности этих понятий, не может быть и речи по определению.

Данный пример возникшей аналогии на примере двух областей математики алгебры и геометрии иллюстрирует одно из основных положений метода аналогии: то, что сложно в исходной области, может оказаться простым в области аналогии и наоборот – то, что сложно в области аналогии, может оказаться простым, если воспользоваться понятиями исходной области.

Приведем пример, когда геометрические доказательства оказываются нагляднее и проще, чем соответствующие алгебраические. Для этого рассмотрим вывод формулы сокращенного умножения (a+b)²=a²+ 2ab+b², который выполнен средствами геометрии.

Полученный чертеж на рисунке 1 настолько прозрачен и нагляден, что все доказательство сводится к его комментарию, т.е. как писали древнегреческие геометры: «Смотри!» – и более ничего.

Существует несколько видов аналогии в геометрии. Если рассматривается аналогия между двумя объектами в планиметрии или стереометрии, то её называют внутренней. Наибольший интерес для нас представляет внешняя аналогия, когда один из объектов является планиметрическим, а другой – стереометрическим. Приведем примеры.

I. Медианы для плоской и пространственной фигур.

Плоскость - Е² Пространство - Е³

а) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ее в отношении 2:1 (рис. 2).

б) Медианы тетраэдра пересекаются в одной точке (центре тяжести тетраэдра) и делятся ее в отношении 3:1 (рис. 3).

1. Множество точек, равноудаленных от двух данных точек А и В:

а) серединный перпендикуляр, б) серединная плоскость.

III. Множество точек, равноудаленных от

а) сторон угла б) граней двугранного угла

а) биссектриса угла, б) биссекторная плоскость.

IV. а) Биссектриса угла делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам (рис. 8).

б) Биссекторная плоскость тетраэдра делит противоположную сторону на части, пропорциональные площадям граней, которые заключают эту плоскость (рис. 9).

V. а) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении равном сумме двух прилежащих сторон к противолежащей стороне (рис. 10).

б) Биссекторные полуплоскости тетраэдра пересекаются в одной точке I. Пусть прямая DI пересекает грань ABCв точке D₁ тогда точкаIделит отрезок

DD₁ выходящий из вершины D в отношении равном сумме площадей прилежащих граней к площади противолежащей грани (рис. 11).

Аналогия, как правило, не является доказательным рассуждением, которое может служить доказательством. Однако в науке и в обучении аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, т. е. служит эвристическим методом. В математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.

Информационные ресурсы

1. Википедия — свободная энциклопедия Электронный ресурс. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/%C0%ED%E0%EB%EE%E3%E8%FF (дата обращения 2.04.13).

2. Образовательный ресурс "Математика on-line" Электронный ресурс. – Режим доступа: http://gendocs.ru/v1626/%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F_%D0%B2_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5 (дата обращения 2.04.13).

Код для цитирования: Скопировать