VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) – одна из наиболее часто встречающихся задач в научно-технических исследованиях, математической физике, экономике, статистике. Все используемые на практике методы решения СЛАУ можно разделить на две группы: точные методы и итерационные методы.

Преимуществом итерационных методов является удобное применение в современной вычислительной технике, т.к. решения, полученные с помощью прямых методов, обычно содержат погрешность. Итерационные методы же позволяют получить решение данной системы с заранее заданной точностью.

Суть итерационных методов решения систем заключается в том, что СЛАУ AX=B мы приводим к итерационной форме X=φX. Задаем начальное приближение значений решений X0 и решение системы ищем в виде последовательности Xk+1=φXk, постепенно улучшающихся приближений. Итерационный процесс должен быть сходящимся и его продолжают до тех пор, пока два последовательных приближения не совпадут в пределах заданной точности. Примером обычных итерационных методов служат: метод итераций (метод Якоби), метод Зейделя, метод верхних релаксаций.

Мы подробнее остановимся на итерационном методе Зейделя, т.к. этот метод является одним из самых распространенных и наиболее легко программируемых.

Он представляет собой некоторую модификацию метода простых итераций. Идеей этого метода, а самое главное его особенностью является то, что полученное в первом уравнении значение сразу же используется во втором, а значения первого и второго – в третьем и т. д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения неизвестных не станут отличаться от предыдущих приближений на заданную точность ε.

Мы рассмотрели применение метода Зейделя к решению системы

21.9x_{1 +2.2x2 +3.1x3 +1.9x4 = 25.702.2x1+22.2x2+2.5x3+3.5x4=31.463.1x1+2.5x2+20.8x3+2.3x4=32.761.9x1+3.5x2+2.3x3+33.1x4=53.72} с точностью ε = 0,0001.

В данной системе наблюдаем преобладание диагональных коэффициентов, что является достаточным условием сходимости метода Зейделя. Приведем систему к виду X=φX и запишем итерационную формулу

x1k+1=121.9 ∙25.70-2.2 x2k-3.1 x3k-1.9 x4k _{x2k+1=122.2∙31.46-2.2 x1k+1-2.5 x3k-3.5 x4k x3k+1=120.8∙32.76-3.1 x1k+1-2.5 x2k+1-2.3 x4k x4k+1=133.1∙53.72-1.9x1k+1-3.5x2k+1-2.3x3k+1}

В ходе работы была написана программа в среде программирования Cu++ по реализации решения СЛАУ методом Зейделя. В качестве начального вектора выбрали свободные члены системы: X0=1.17;1.42;1.58;1.62T. Оказалось, что достаточно трех итераций, чтобы получить решение данной системы с заданной точностью. В итоге мы получили следующий вектор решений X3=0.7859;0.9865;1.1855;1.3912T.

Явным преимуществом итерационных методов является значительное превосходство над точными методами по скорости, и они удобнее реализуются на практике. Использование итерационных методов с помощью ЭВМ эффективно в решении СЛАУ с разряженными матрицами, а также для уточнения решения СЛАУ, полученного с помощью прямого метода. Главным недостатком этих методов является то, что вопрос сходимости итерационного процесса требует отдельного исследования.

Используемая литература:

1. Турчак, Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. / Л.И. Турчак, П.В. Плотников/– М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304с.

2. Ратушный, И.А. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса в среде программирования С++ / Ратушный И.А., Гаан А.С., Матвеева Т.А. // Современные наукоёмкие технологии. - 2013. - № 6. - C. 108-109.

3. Агишева, Д.К. Транспортные и сетевые модели управления. Часть 2: учебное пособие /Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная, Т.А. Матвеева/ ВПИ (филиал) ВолгГТУ. - Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2012. – 160 с.