VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Графический способ решения уравнений применяется довольно редко. Но существует достаточно много задач, в которых его применение целесообразно. Например, при нахождении количества корней уравнения или при решении «смешанных» уравнений.

Рассмотрим схему решения уравнения графическим способом:

1. Построим графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения: и .

2. Найдем точки пересечения полученных графиков функций.

3. В результате получим: количество точек пересечения – это число корней уравнения. Абсциссы точек пересечения есть (приближенные) корни данного уравнения, которые для проверки подставим в исходное уравнение.

Рассмотрим применение этого способа к решению следующих примеров.

1) Решить уравнение: .

Построим графики функций и в одной координатной плоскости (рис.1) и найдем точки пересечения этих графиков.

Графики пересекаются в двух точках A и B, т.е. данное уравнение имеет два решения. Находим абсциссы точек пересечения: . После подстановки в уравнения убеждаемся, что они являются корнями уравнения.

Отметим, что при аналитическом решении данного уравнения мы получим кубическое уравнение и нужно проверить все полученные корни, т.к. при возведении в квадрат обеих частей уравнения могли появиться «ложные» корни.

Рис.1. Графический способ решения примера 1.

2) Найти количество корней уравнения: .

Построение кубической функции в общем виде затруднительно, поэтому преобразуем данное уравнение к виду: .

Построим графики функций: кубическую параболу и прямую в одной системе координат (рис. 2), и найдем точки пересечения этих графиков.

Рис.2. Графический способ решения примера 2.

Видим что, графики пересекаются в единственной точке. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень. Значение этого корня мы можем найти только приближенно.

Графический способ применим не только к решению уравнений, но и решению систем уравнений, можно его использовать и при решении неравенств.

Преимущества графического способа решения уравнений состоит в наглядности, геометрической иллюстрации наличия или отсутствия корней уравнения, применение к решению уравнений «смешанного» типа; но есть и недостатки у этого способа: непосредственное построение графиков функций; нахождение значений корней приближенно.

Литература:

1. Мордкович А. Г. Алгебра.. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович А. Г., Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская, П. В. Семенов – М: Мнемозина, 2010.

2. http://www.mathematics-repetition.com/ (решение уравнений графическим способом).