VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Введение

В большинстве современных измерительных систем (ИС) результат получают с помощью косвенных измерений. При получении результата косвенных измерений с помощью сложных измерительных каналов (ИК) ИС, результаты прямых измерений, на основании которых выполняются расчёты, недоступны пользователю, потому доверительные границы погрешности результата косвенных измерений оцениваются с большим запасом[5].

Трудность определения расчетным путем оценки результирующей погрешности по известным оценкам ее составляющих заключается в том, что все составляющие погрешности должны рассматриваться как случайные величины. Ввиду разнообразия существующих законов распределения плотности вероятности, обычно предполагают, что распределение результирующей функции относится к классу симметричных, одномодальных, усеченных функций. На самом деле, это утверждение не всегда верно.

Цель работы состоит в исследовании функции плотности распределения вероятностей погрешности косвенного измерения.

Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:

– разработка аппарата для исследования функции плотности распределения вероятностей погрешности косвенного измерения

– рассмотрение результирующей функции плотности распределения вероятности при выполнении математических операций с результатами прямых измерений, выполненных простыми ИК.

Метод исследования. Ввиду сложности математических вычислений, методом исследования было выбрано моделирование в среде MathCad. С помощью генератора случайных чисел формировались случайные выборки, подчиняющиеся заданному закону распределения, на основе которых проводилось исследование.

Практическая значимость работы заключается в том, что выявленные закономерности могут быть использованы при оценивании характеристик погрешности сложных ИК ИС.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю – профессору, доктору технических наук Данилову Александру Александровичу за помощь, оказанную на всех этапах работы.

1 Методы расчета характеристик погрешности результатов измерений, полученных с помощью ИК ИС 1.1 Типовые структуры ИК ИС. Типовые математические операции, реализуемые в сложных ИК ИС

Измерительный канал измерительной системы (ИК ИС)[1] – это конструктивно или функционально выделяемая часть ИС, выполняющая законченную функцию от восприятия измеряемой величины до получения результата ее измерений, выражаемого числом или соответствующим ему кодом, или до получения аналогового сигнала, один из параметров которого – функция измеряемой величины.

ИК ИС могут быть простыми и сложными.

В простом ИК реализуется прямой метод измерений путем последовательных измерительных преобразований.

Сложный ИК в первичной части представляет собой совокупность нескольких простых ИК, сигналы с выхода которых используются для получения результата косвенных, совокупных или совместных измерений или для получения пропорционального ему сигнала во вторичной части сложного ИК ИС.

Типовая структура ИК включает в себя компоненты – технические устройства, которые выполняют определенную функцию.

Выделяют следующие компоненты:

– измерительные - предназначены для измерений и измерительных преобразований величин (средство измерения, для которого отдельно нормированы метрологические характеристики (МХ): измерительный прибор, измерительный преобразователь (первичный, промежуточный, измерительный коммутатор, искробезопасный барьер, аналоговый фильтр и т.п.), мера);

– связующие - предназначены для передачи с минимально возможными искажениями сигналов, несущих информацию об измеряемой величине от одного компонента ИС к другому (техническое устройство или часть окружающей среды: проводная линия связи, радиоканал, телефонная линия связи, высоковольтная линия электропередачи с соответствующей каналообразующей аппаратурой, переходные устройства (клеммные колодки, кабельные разъемы и т.п.));

– вычислительные - предназначены для вычислений результатов прямых, косвенных, совместных или совокупных измерений, а также для реализации логических операций и управления работой ИС (цифровое вычислительное устройство (или его часть) с программным обеспечением);

– комплексные - предназначены для завершения измерительных преобразований, вычислительных и логических операций, а также для выработки выходных сигналов ИС (измерительно-вычислительный комплекс, контроллер, программно-технический комплекс, блок удаленного ввода-вывода и т.п.);

– вспомогательные – предназначены для нормального функционирования ИС, но не участвует непосредственно в измерительных преобразованиях (блок питания, система вентиляции, устройства, обеспечивающие удобство управления и эксплуатации ИС и т.п.).

Протяженность ИК может составлять от десятков метров до тысяч километров. Число ИК — от нескольких десятков до нескольких тысяч. Информация от датчиков передается обычно электрическими сигналами — ток, напряжение, частота, кодовый сигнал. В некоторых областях измерений датчики имеют цифровой выход. При большой протяженности ИК используются радиосигналы.

Области применения ИС весьма обширны, поэтому математические модели реализуемых измерений столь же разнообразны. Однако можно выделить основные математические операции, реализуемые в сложных ИК.

Математическая модель объекта исследований представляет собой описание математическими средствами взаимосвязи входных и выходных величин (рис.1), и записывается в виде:

y= f(x₁; x₂;…;xn)

Рисунок 1

К основным математическим операциям, реализуемым в сложных ИК ИС, относятся: сложение, вычитание, умножение, деление и нахождение квадратного корня.

В общем виде эти операции можно представить в виде схемы (рисунок 2).

Все составляющие, участвующие в процессе измерения, оказывают непосредственное влияние на результат измерения. К таким составляющим относятся: объекты измерений, являющиеся источниками физических величин, метод измерений, среда, в которой происходят измерения, средства измерений и средства обработки результатов измерений.

Рисунок 2

Для упрощения математического описания физических величин, описывают не сами физические величины, а измерительные сигналы и их вероятностные характеристики. Большинство сигналов, несущих информацию об измеряемой физической величине можно рассматривать как случайные сигналы, то есть сигналы, мгновенные значения которых в любые моменты времени неизвестны и не могут быть предсказаны с вероятностью, равной единице [3].

1.2 Методы расчета характеристик погрешности результатов измерений

Метрологические характеристики отражают свойства ИК, оказывающие влияние на результат измерений.

Нормирование MX – это установление комплекса MX и способов их представления.

Способы представления MX должны обеспечивать простоту их контроля.

Особенности ИС обуславливают специфику регламентации их МХ, следует учитывать:

– особенности выпуска и комплектования систем;

– условия их эксплуатации с учетом пространственной распределенности компонентов системы:

– использование в составе систем сложных вычислительных устройств.

Если ИС выпускается и комплектуется как единое целое, то в нормативной документации (НД) устанавливаются MX ИК в целом, а также методы их контроля. Если ИС строится по агрегатному принципу, то тогда регламентируются расчетные MX и методы расчета MX ИК систем по MX входящих в их состав компонентов, либо нормируют индивидуальные характеристики ИК систем и методы их экспериментального определения.

Если все компоненты ИС находятся в одинаковых внешних условиях, то функции влияющих величин и дополнительные составляющие погрешности, возникающие под их воздействием, нормируются как для обычных СИ. Если в различных – нормирование и определение влияющих величин исключительно сложная задача, для решения которой прибегают к планированию эксперимента. Если функция влияния одной влияющей величины на MX зависит от других влияющих величин – необходимо нормировать и определять многомерные функции влияния и проводить многофакторный эксперимент.

Если используются аналоговые вычислительные устройства, то их рассматривают как обычный измерительный компонент системы и соответствующим образом нормируют его MX. Если используют сложные вычислительные устройства, то возникает задача регламентации MX алгоритмов вычислений.

Таким образом, чтобы достаточно полно описать метрологические свойства системы, необходимо нормировать МХ:

– ИК системы;

– измерительных компонентов системы;

– аналоговых вычислительных компонентов;

– алгоритмов вычисления, реализуемых цифровыми вычислительными компонентами.

Основные принципы регламентации МХ ИС и их компонентов; номенклатура МХ ИК ИС и предпочтительная номенклатура МХ их компонентов; основные принципы контроля и определения МХ ИС устанавливаются МИ 2439-97 [4].

При расчете характеристик погрешности ИК рекомендуется руководствоваться действующими НД по расчету характеристик погрешности измерений общего (основополагающего) характера и НД по видам измерений и областям применения средств измерений.

Нормированные МХ комплексных и измерительных компонентов должны обеспечивать:

Для программ, реализуемых вычислительным компонентом ИС, если свойства этих программ не учтены при нормировании МХ соответствующих измерительных компонентов, нормируют характеристики погрешности вычислений, обусловленной алгоритмом вычислений и его программной реализацией, а при необходимости также и другие характеристики с учетом особенностей вычислительного компонента, которые влияют на характеристики составляющей погрешности ИК, вносимой программой обработки результатов измерений. Эксплуатационная (проектная) документация на ИС должна содержать такое описание алгоритма и реализующей его программы или метода имитационного моделирования, которое позволяло бы определить характеристики погрешности результата прямых, косвенных, совокупных или совместных измерений по характеристикам погрешности той части ИК ИС, которая предшествует вычислительному компоненту.

Для связующих компонентов ИС нормируют такие характеристики, которые либо обеспечивают пренебрежимо малое значение составляющей погрешности ИК, вносимой связующим компонентом, либо позволяют определить значение этой составляющей[1].

Далее перечислены нормируемые МХ ИК ИС в соответствии с МИ 2439-97 [4]:

«1 МХ ИК ИС, нормируемые или определяемые расчетом. В общий перечень входят следующие MX ИК ИС:

1.1 Номинальная статическая характеристика преобразования ИК ИС, заканчивающегося измерительным преобразователем либо измерительным прибором со шкалой, отградуированной в единицах, отличных от единиц, в которых выражается входной сигнал ИК.

1.2 Выходной код, число разрядов кода, номинальная цена единицы наименьшего разряда кода ИК ИС, предназначенного для выдачи результатов в цифровом коде.

1.3 Характеристика систематической составляющей погрешности ИК ИС – пределы допускаемой систематической составляющей погрешности ИК ИС.

1.4 Характеристики случайной составляющей погрешности ИК ИС:

а) предел допускаемого среднего квадратического отклонения случайной составляющей погрешности ИК ИС;

б) предел допускаемого среднего квадратического отклонения и номинальная нормализованная (выраженная в долях дисперсии) автокорелляционная функция или номинальная спектральная плотность и предел допускаемого отклонения от указанных номинальных функций случайной составляющей погрешности ИК ИС.

1.5 Характеристика погрешности ИК ИС – предел допускаемой погрешности ИК ИС.

1.6 Предел допускаемой вариации выходного сигнала или показаний ИК ИС, заканчивающегося измерительным преобразователем или прибором соответственно.

1.7 Характеристики, отражающие взаимодействие ИК ИС с объектом измерений.

1.8 Выходной импеданс ИК ИС, заканчивающегося измерительным преобразователем.

1.9 Динамические характеристики ИК ИС:

а) номинальная функция связи между изменяющимися во времени входным и выходным сигналами (передаточная функция, импульсная весовая функция, переходная характеристика, амплитудно-фазовая характеристика и т.п.) и предел допускаемого отклонения от указанной номинальной функции связи;

б) время установления показаний или выходного сигнала ИК ИС;

в) для ИК ИС, которые не могут даже приближенно считаться линейными – любые характеристики, позволяющие установить связь изменяющихся входного и выходного сигналов.

1.10 Неинформативные параметры выходного сигнала ИК ИС, заканчивающегося измерительным преобразователем, нормируются путем установления номинальных параметров и пределов допускаемых отклонений от них, либо наибольших и наименьших допускаемых значений параметров.

1.11 Номинальная функция влияния и предел допускаемого отклонения от номинальной функции или граничные (верхняя и нижняя) функции влияния ИК ИС.

1.12 Наибольшие допускаемые изменения метрологических характеристик ИК ИС, вызванные отклонением внешних влияющих величин и неинформативных параметров входного сигнала от номинальных значений.

1.13 Динамические функции влияния ИК ИС (одна из следующих):

а) номинальная функция связи между изменяющимися во времени влияющей величиной и выходным сигналом или погрешностью ИК системы (передаточная функция, импульсная весовая функция, переходная характеристика, амплитудно-фазовая характеристика и т.п.) и предел допускаемого отклонения от указанной номинальной функции связи;

б) время установления показаний или выходного сигнала ИК ИС при заданном характере изменения влияющей величины во времени;

в) любые характеристики, позволяющие установить связь между изменяющейся во времени влияющей величиной и выходным сигналом или погрешностью ИК ИС.

1.14 Характеристики линии связи, если она не входит в состав комплектующих компонентов ИС при выпуске с завода-изготовителя и появляется как компонент ИС только при монтаже на объекте. При этом возможны два варианта:

а) в нормативной и технической документации на ИС, для которых нормируются MX для ее ИК, указываются параметры линии связи, при которых гарантируются указанные в нормативно-технической документации MX ИК ИС;

б) в проектной документации на ИС, для ИК которых нормируются только некоторые MX или таковые не нормируются совсем, указываются такие требования к линии связи, при которых она существенно не влияет на MX ИК или которые позволяют учесть влияние линии связи на MX ИК ИС.

2 Метрологические характеристики ИК ИС, определяемые экспериментально или расчетно-экспериментально. Комплекс MX для конкретных ИК ИС, определяемых экспериментально, либо расчетным путем по MX компонентов, определенным экспериментально, выбирается из общего перечня MX. В общий перечень входят следующие MX ИК ИС:

2.1 Градуировочная характеристика ИК ИС.

2.2 Таблица поправок для ИК ИС, заканчивающегося показывающим или регистрирующим измерительным прибором, шкала которого градуирована в единицах входного сигнала ИК.

2.3 Характеристики систематической составляющей погрешности ИК ИС: верхняя и нижняя границы неисключенной систематической составляющей погрешности ИК ИС и вероятность, с которой неисключенная систематическая составляющая погрешности находится в верхней и нижней границах.

При необходимости может определяться наибольшее изменение систематической составляющей погрешности за заданный интервал времени.

2.4 Характеристики случайной составляющей погрешности ИК ИС:

а) среднее квадратическое отклонение, его доверительные границы и соответствующая им доверительная вероятность или (при необходимости учета спектрального состава);

б) среднее квадратическое отклонение, его доверительные границы и соответствующая им доверительная вероятность и нормализованная автокорреляционная функция или спектральная плотность случайной составляющей погрешности с указанием доверительных границ этих функций и соответствующей им доверительной вероятности.

2.5 Характеристики погрешности ИК ИС: верхняя и нижняя границы погрешности и вероятность, с которой погрешность находится в верхней и нижней границах.

2.6 Вариация выходного сигнала ИК ИС, заканчивающегося измерительным преобразователем, или вариация показаний ИК ИС, заканчивающегося измерительным прибором, доверительные границы ее определения и соответствующая им доверительная вероятность.

2.7 Характеристики, отражающие взаимодействие ИК ИС с объектом измерений, и погрешности их экспериментального определения.

2.8 Выходной импеданс ИК ИС, заканчивающегося измерительным преобразователем, и погрешность его экспериментального определения.

2.9 Неинформативные параметры выходного сигнала ИК ИС, заканчивающегося измерительным преобразователем, и погрешность их экспериментального определения.

2.10 Динамические характеристики ИК ИС:

а) функция связи между изменяющимися во времени входным и выходным сигналами (передаточная функция, импульсная весовая функция, переходная характеристика, амплитудно-фазовая характеристика и т.д.) и погрешность ее экспериментального определения;

б) время установления показаний или выходного сигнала ИК и погрешность его экспериментального определения;

в) любые характеристики, позволяющие установить связь изменяющихся входного и выходного сигналов для ИК, которые не могут даже приближенно считаться линейными, и погрешность их экспериментального определения.

2.11 Функция влияния ИК ИС и погрешность ее экспериментального определения.

2.12 Динамические функции влияния ИК ИС:

а) функция связи между изменяющейся во времени влияющей величиной и выходным сигналом или погрешностью ИК (передаточная функция, импульсная весовая функция, переходная характеристика, амплитудно-фазовая характеристика и т.п.) и погрешность ее экспериментального определения;

б) время установления показаний или выходного сигнала ИК при заданном характере изменения влияющей величины во времени и погрешность его экспериментального определения;

в) любые характеристики, позволяющие установить связь между изменяющейся во времени влияющей величиной и выходным сигналом или погрешностью ИК, и погрешность их экспериментального определения.

Нормирование MX проводится с учетом следующих обстоятельств.

Наибольшие допускаемые изменения, функция влияния или динамическая функция влияния нормируется отдельно для каждой влияющей величины; указанные характеристики нормируются для совместных воздействий влияющих величин, если функция влияния какой-либо величины существенно зависит от других влияющих величин.

Если протяженность ИК ИС такова, что одна и та же влияющая величина для различных частей ИК может одновременно принимать существенно различающиеся значения, то для такого ИК нормируются функция влияния ИК ИС или динамические функции влияния ИК ИС для данной влияющей величины при ее воздействии на каждую из указанных частей ИК в отдельности.»

Нормирование МХ простых ИК не вызывает трудностей, а установление норм на МХ сложных ИК достаточно трудоемко и связано с решением сложной методической проблемы. Проблема заключается в том, что один и тот же результат косвенных (совместных или совокупных) измерений может быть получен при различных сочетаниях результатов прямых измерений простых ИК, образующих сложный ИК.

Например, при электрической мощности, которая рассчитывается по значениям токаи напряжения, полученным при помощи прямых измерений, значение мощности Р=10Вт можно получить при различных значениях, например:

U=5 В, I=2А, Р=U•I= 10Вт;

U=10В, I=1 А, Р=U•I = 10Вт;

U=1 В, I=10А, Р=U•I = 10Вт и т. д.

Результаты прямых измерений простых ИК недоступны пользователю, поэтому погрешности результатов косвенных измерений могут быть различны.

Одним из вариантов установки нормы на МХ сложных ИК, является предварительная оценка границ погрешности результата измерений сложного ИК для всех возможных сочетаний результатов прямых измерений простых ИК, образующих сложный ИК, и последующий выбор максимальных из них. Такое решение нельзя признать удовлетворительным, т.к. оно приводит к существенному «загрублению» МХ сложных ИК.

В своей книге «Оценка погрешностей результатов измерений»[5] Новицкий П.В. предлагает нормировать лишь погрешности простых ИК, выполняющих прямые измерения, т.к. при косвенных измерениях однозначной функциональной зависимости между получаемым результатом косвенного измерения и его погрешностью не существует. Решение проблемы аттестации результатов косвенных измерений состоит в индивидуальном расчете погрешности результата каждого косвенного измерения и вывода этой оценки погрешности на регистрацию одновременно с самим результатом косвенного измерения.

В качестве альтернативы могут быть установлены нормы на средневзвешенную погрешность, полученную усреднением погрешности результата измерений сложного ИК для всех возможных сочетаний результатов прямых измерений простых ИК, образующих сложный ИК.

1.3 Выбор направления исследований. Формулирование цели и задач исследований. Выбор метода исследований

Предложенный метод регламентирования границ погрешности ИК, реализующих косвенные измерения, не получил широкого распространения в литературе.

Трудность определения расчетным путем оценки результирующей погрешности по известным оценкам ее составляющих заключается в том, что необходимо учесть все возможные сочетания результатов прямых измерений.

Для этого все составляющие погрешности должны рассматриваться как случайные величины. Наиболее полно они могут быть описаны своими законами распределения. Ввиду разнообразия существующих законов распределения плотности вероятности, обычно предполагают, что распределение результирующей функции относится к классу симметричных, одномодальных, усеченных функций. На самом деле, это утверждение не всегда верно[5].

Целью исследовательской работы является исследование функции плотности распределения вероятностей погрешности результата косвенного измерения.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:

– разработка аппарата для исследования функции плотности распределения вероятностей погрешности косвенного измерения

– исследование результирующей функции плотности распределения вероятности при выполнении математических операций с результатами прямых измерений, выполненных простыми ИК.

В качестве объекта исследования выбрана некая величина Z, получаемая при выполнении математических преобразований с величинами Х и Y, значения которых получают с помощью простых ИК.

Z_н=f( Х;Y) (1)

Предполагается, что результаты прямых измерений обладают погрешностями εХ и εY. С учетом погрешностей формулу (1) можно представить в виде:

Z=f[(Х+εХ);(Y+εY)] (2)

За абсолютную погрешность косвенных измерений принимается разность значений величин, полученных по формулам (1) и (2):

ε= f [(Х+ εХ);(Y+ εY)] – f(Х;Y)

При исследованиях функции плотности распределения вероятностей погрешности предполагается, что погрешности прямых измерений относятся к классу симметричных, одномодальных, усеченных функций. При этом для расчета используются предположение об отсутствии корреляции между составляющими погрешности измерений [6, 7]. Рассматриваемые сочетания законов распределения:

– обе величины распределены по равномерному закону;

– одна из величин подчиняется равномерному закону, а другая треугольному (закону Симпсона);

– обе величины распределены по треугольному закону;

– одна из величин подчиняется равномерному закону, а другая нормальному;

– одна из величин подчиняется треугольному закону, а другая нормальному;

– обе величины распределены по нормальному закону.

Для каждого варианта сочетания законов распределения рассматривается несколько случаев сочетания границ погрешности:

1) погрешность ИК1=±1%, погрешность ИК2=±1%;

2) погрешность ИК1=±1%, погрешность ИК2=±5%;

3) погрешность ИК1=±1%, погрешность ИК2=±20%;

4) погрешность ИК1=±1%, погрешность ИК2=±50%;

5) погрешность ИК1=±5%, погрешность ИК2=±20%;

6) погрешность ИК1=±5%, погрешность ИК2=±50%

Получение всех возможных сочетаний результатов прямых измерений простых ИК, образующих сложный ИК достаточно трудоемко, поэтому методом исследования было выбрано моделирование в среде пакета MathCAD. Среда MathCAD располагает мощными средствами позволяющими выполнять громоздкие вычисления за короткий промежуток времени и представлять полученные вычисления в графической форме для дальнейшего анализа.

2 Моделирование функции плотности распределения вероятностей погрешности косвенного измерения 2.1 Разработка программы в среде MathCAD – аппарата для исследований функции плотности распределения вероятностей погрешности косвенного измерения

MathCAD – визуально-ориентированная система программирования, позволяющая задавать решение расчётных задач в виде вводимых с помощью операторов и функций математических формул в их естественном виде и указывать тип желаемых результатов (таблицы или графики).

Наибольшую информацию о функции плотности распределения вероятностей погрешности результатов косвенного измерения можно узнать, построив гистограмму для этой функции.

Гистограммой называется график, аппроксимирующий по случайным данным плотность их распределения. При построении гистограммы область значений случайной величины разбивается на некоторое количество сегментов, а затем подсчитывается процент попадания данных в каждый сегмент. Для построения гистограмм в среде пакета MathCAD имеется несколько встроенных функций. При выполнении исследования использовалась встроенная функция: «hist(intvis,x)» – которая определяет вектор частоты попадания данных в интервалы гистограммы; где «intvis» – вектор, элементы которого задают сегменты построения гистограммы в порядке возрастания «a

Код для цитирования: Скопировать