VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Степенные ряды благодаря их простоте и замечательным свойствам применяются практически во всех разделах математики, физики и других наук. Рассматриваемые как предел многочленов при стремленииих степений к бесконечности, они обладают почти всеми свойствами многочленов с той разницей, что для многих рядов эти свойства выполняются не для всех значений аргумента, а лишь для некоторого ограниченного множества значений.

Степенным рядом называется выражение вида

(1)

Применение степенных рядов для решения различных задач основано на возможности представления многих функций, в частности всех элементарных функций, в виде сумм степенных рядов, называемых рядами Тейлора. Для многих функций их разложения в ряд Тейлора можно найти в учебниках и справочниках по математике. С помощью этих разложений можно с любой точностью вычислить значения различных функций, интегралов, чисел и др., найти пределы и т.д. Именно на них основаны все вычисления с элементарными и специальными функциями, производимые компьютерами.

Например, используя разложение

(2)

вычислим значение с точностью до

Этот ряд сходится на промежутке (-1,1]. Приняв , подставляя это значение в разложение (2) получим знакочередующийся ряд, удовлетворяющая условие Лейбница:

Взяв первые четыре члена разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знкочередующегося ряда мы допустим погрешность , не превышающую первого отброшенного члена по абсолютной величине, т.е.

Итак,

Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервалов сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.

Например, вычилить с точностью 0.001.

Рассмотрим еще один пример, надо доказать, что

Доказательство: записав подинтегральную функцию в виде разложим его в степенной ряд по степеням (при будем считать, что).

Так как этот функциональный ряд, по признаку Вейeрштрасса, равномерно сходится на любом ограниченном промежутке , то его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,

Почленно интегрируя, находим

В эту рекурентную формулу подставляя значения находим

Так как,

то

.

Отсюда

Итак,

Что и требовалось доказать.

Многие уравнения и системы уравнений с двумя и более переменными, некоторые из которых надо найти через остальные, можно решить с помощью степенных рядов. Для этого заданные функции, через которые записано уравнение, надо разложить в степенные ряды и искать неизвестные в виде рядов. После этого для нахождения неизвестных коэффициентов рядов будут получены новые уравнения, решения которых во многих случаях находятся без особых затруднений. Полученные таким образом решения исходного уравнения вполне пригодны как для вычислений, так и для других операций.

В качестве примера рассмотрим уравнение Кеплера

Играющего важную роль в астрономии. Здесь - эксцентрическая аномалия планеты, - ее средняя аномалия, - эксцентриситет орбиты планеты. Считая неизвестной функцией от , будем искать ее в виде

(3)

Разложив в ряд Тейлора по степеням и подставив вместо ряд (3), после возведения этого ряда в степени и приведения подобных членов получим

Из этого равенства, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, найдем последовательно неизвестные

и саму функцию

Доказано, что это разложение верно при

Особенно часто и эффиктивно степенные ряды используются для точного и приближенного решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и частными производными. В общем случае нахождения точного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы ОДУ. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения ОДУ и их систем. Интегрирование ОДУ при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка.

Рассмотрим уравнение:

a₀ (t) = t + 2; a₁ (t) = -1; a₂ (t) = -4t³; a₀(t) ≠ 0 t

по теореме о разложимости решения в обобщенный степенной ряд хотя бы одно нетривиальное решение уравнения может быть найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда

возьмем , будем искать решение в виде

(4)

Опираясь на теорему об аналитическом решении и, дифференцируя ряд (4) почленно два раза, получим

,

(2+t)(n(n-1)cnt^n-2) – (ncnt^n-1) – 4t³(cntn)=0

Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:

Отсюда рекуррентное соотношение имеет вид

при n=0,

n=1,

n=2,

n=3,

n=m-2,

Итак,

Найдем радиусы сходимости R полученных решений, общим методом не представляется возможным, поэтому на основании теоремы о существовании и единственности решения.

Которые имеют область сходимости (по формуле Даламбера):

а)

б)

Таким образом, область сходимости будет

Литература:

1. Щипачев В.С. Математический анализ.– М.: Высшая школа, 2001.–176с.

2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, М.: Физматгиз, 1959.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. I . СПБ.: Мифрил, 1996.

4. Филлипов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М.: Наука, 1992.

Код для цитирования: Скопировать