VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Векторный метод решения задач остается одним из проблемных вопросов современной методики обучения математике. Несмотря на возможности векторного метода для решения большого круга задач, реализации внутри- и межпредметных связей, развития навыков математического моделирования, многие методисты отводят векторному аппарату незначительную роль в школьном курсе математики.

Традиционно одной из самых сложных тем школьного курса геометрии является тема «Применение векторов к решению задач». В то же время понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики, а векторный метод является одним из широко употребляемых и современных методов решения задач.

Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики. Термин векторупотребляют в геометрии, по крайней мере, в двух смыслах. С одной стороны вектором называют направленный отрезок, с другой стороны, вектор понимают так, как понимают в физике «векторные величины». Различают соответственно «конкретный вектор» – направленный отрезок и «абстрактный (свободный) вектор» [1,c.3]

Решение задач векторным методом можно разбить поэтапно:

Подготовительный этап.Его цель – изучение основных понятий в теме «Векторы», теорем, опираясь на которые можно решать задачи векторным методом.

Мотивационный этап. Его задача – показать необходимость овладения этим методом и добиться осознания того факта, что на следующих этапах целью деятельности учащихся будет именно усвоение этого метода решения задач.

Ориентировочный этап. Его цель – разъяснить суть метода и выделить его основные компоненты на примере анализа решенной этим методом задачи.

Этап овладения компонентами метода. Цель – используя специально подобранные задачи, формировать отдельные компоненты метода (сначала задачи на формирование одного компонента, потом двух, трёх и т.д.).

Этап формирования метода «в целом». Цель – решение задач, в которых работают все или большинство компонентов метода.

Выделенные этапы позволяют, решаемые векторным методом математические задачи, разбить на две группы: аффинные и метрические.

Аффинные задачи.К ним относятсязадачи, при решении которых не используется операция скалярного произведения векторов.

1) Задачи на доказательство параллельности прямых.

2) Задачи на доказательство принадлежности точек плоскости одной прямой.

3) Задачи на деление отрезка в данном отношении.

Метрические задачи.К ним относятся задачи,при решении которых используется операция скалярного произведения векторов.

1) Задачи на доказательство перпендикулярности прямых.

2) Задачи на нахождение угла между прямыми.

Таким образом, учитывая все выше сказанное, можно выделить следующие цели изучения векторного метода при решении математических задач:

– дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных, так и метрических) и доказательства теорем;

– использовать векторный метод при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию;

– формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.

Формирование векторного метода решения аффинных геометрических задач должно начинаться еще в девятом (восьмом) классе, на начальном этапе изучении векторов. Для решения задач учащиеся должны владеть следующими умениями, которые и являются компонентами векторного метода:

1) перевод условия задачи на язык векторов, в том числе:

– введение в рассмотрение векторов;

– выбор базисных векторов;

– разложение всех введенных векторов

2) составление системы векторных равенств (или одного равенства).

3) упрощение векторных равенств

4) замена векторных равенств алгебраическими уравнениями и их решения

5) объяснение геометрического смысла полученного решения этой системы (или одного уравнения).

Рассмотрим задачи трёх типов, которые целесообразно решать с помощью векторов.

Первый тип: задачи, связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков, прямых и плоскости

Второй тип: задачи, в которых доказывается, что некоторая точка делит отрезок в заданном отношении.

Третий тип: задачи на доказательство принадлежности трех и более точек одной прямой.

Выделение таких типов полезно по следующим соображениям:

1. Эти виды наиболее многочисленны и, в силу простого перевода на векторный язык, могут служить образцами для учащихся.

2. Навык, приобретенный при решении этих задач, можно переносить на более сложные (где данные задачи могут встречаться в виде части задач).

Указанные выше типы задач охватывают довольно большую часть тех задач, которые приходиться решать учащимся. В задачах такого рода традиционные методы решения связаны обычно со значительными трудностями: или с необходимостью тонких дополнительных геометрических построений, или с довольно громоздкими тригонометрическими преобразованиями.

Решение геометрических задач векторным методом позволяет отработать у учащихся навыки перевода условия с геометрического языка на векторный и формировать навыки, необходимые для перевода с векторного языка на геометрический.

Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. Например:

а) Равенство AB=k∙CD(k–некоторое число), означает, что прямые АВ и СД параллельны.

б) Равенства AC=mn∙CB и OC=nm+n∙OA+mm+nOB , (m,n –некоторые числа, Q –произвольная точка плоскости) означают, что точка С делит некоторый отрезок АВ в отношении m к n, т.е. AC : CB = m : n. При этом точка Q может быть выбрана так, чтобы последнее равенство доказывалось наиболее просто (это равенство следует из теоремы о делении отрезка в данном отношении).

Кроме этого целесообразно было бы рассмотреть некоторые задачи-теоремы, наиболее широко используемые при решении сложных задач. Они являются опорными при практическом приложении векторного аппарата к решению геометрических задач.

Для примера решим несколько задач.

Задача 1. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Решение. Пусть четырехугольник ABCD – параллелограмм (рис.12). Имеем векторные равенства

Возведем эти равенства в квадрат. Получим:

Сложим эти равенства почленно. Получим:

Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

Рис.1.

Рассмотрим задачу на доказательство деления некоторого отрезка в заданном отношении или на нахождение отношения, в котором точка делит отрезок.

Решение задач этого типа базируется на соотношении: ACCB=mn ; C∈AB; O∉AB; O – произвольная точка (№ 806, [2]).

Задача 2. Доказать, что медианы произвольного треугольника ABC пересекаются в одной точке М такой, что точка М делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Решение. Пусть точка М делит медиану AD треугольника ABC в отношении 2:1.

Тогда по соотношению 2 получаем (m = 2, n = 1)

OM=13∙OA+ 23∙OD

где О – произвольная точка пространства.

Точка D – середина стороны ВС, поэтому, согласно соотношению 3: OD=12∙OB+OC

Следовательно, OM=13∙OA+ 23∙12∙OB+OC=OA+OB+OC.

Тот же результат получится для любой другой медианы треугольника ABC. Это говорит о том, что М – общая точка всех трех медиан.

Практика решения более сложных задач такого типа показала, что работу нужно вести в следующем направлении: постараться разложить один из векторов (чаще всего конец такого вектора – точка, которая делит данный отрезок в заданном отношении) по двум основным векторам (они неколлинеарны) двумя различными способами. Используя единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, установить зависимость между коэффициентами в разложении вектора, что потом дает возможность найти искомое соотношение.

Литература:

1. Гусев В. А. Векторы в школьном курсе геометрии. Пособие для учителей / В. А. Гусев, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин. – М.: Издательство «Просвещение», , 1976. – 513 с.

1. Атанасян Л. С. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 18-е изд. – М. : Издательство «Просвещение», 2009. – 255 с.

Код для цитирования: Скопировать