VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Проблема обучения учащихся доказательству являлось и является одной из центральных в методике преподавания математики и геометрии.

В настоящее время актуальность данной проблемы возросла. В связи с тем, что процесс образования предполагает направленность обучения на развитие личности, на формирование ее свойств, что возможно в контексте обучения доказательству математических утверждений.

Д. Пойа, известный математик и педагог, в своей работе отмечает, что человек должен овладеть стандартом, с которым он мог бы сравнивать всевозможные, выдвигаемые в качестве доказательств доводы, встречающиеся ему в современной жизни. Этим стандартом являются строгие математические доказательства [4, с. 16].

Изучая алгебру или геометрию, часто встречаются предложения, которые выводятся последовательно путем доказательств из нескольких положений. Данные математические предложения, истинность которого устанавливается посредством доказательства, называют теоремами [3, с. 8]. При их изучении выделяют следующие этапы: подготовительный этап, введение, усвоение, закрепление теоремы.

На первом этапе осуществляется актуализация знаний, которые необходимы для доказательства теоремы, применяются задачи, для решения которых необходим переход к нужному теоретическому материалу.

В. А. Далингер выделяет, что задолго до систематического изложения теорем оказывается выгодным уже в V-VI классах готовить учеников к доказательству математических утверждений.Он же отмечает, что, так как такие умения, а именно: оперирование понятиями, работа с текстом теоремы, работа с чертежом, выбор необходимых знаний для выведений следствий лежат в основе доказательства теорем, то пропедевтика обучения доказательствудолжна строиться вокруг перечисленным умений [3, с. 42].

Введение теоремы осуществляют двумя методами: конкретно-индуктивным, в котором используют задачу, и абстрактно-дедуктивным, в этом случае теорема дается сразу. На данном этапе делаются чертеж, формулировка разбивается на условие и заключение и делается краткая запись теоремы, затем осуществляется доказательство теоремы. Необходимо при доказательстве четко выделять его этапы. Но не следует выделять много мелких шагов, так как в этом случае затрудняется запоминание. Если теорема сложна для восприятия, то ученикам сообщается идея доказательства; если же теорема доказывается методом, который уже известен ученикам, то они привлекаются к доказательству, а именно к выделению этапов, для чего используются методы анализа и синтеза.

Синтетический метод доказательства «навязывает» ученику готовое доказательство. Аналитический же метод позволяет искать путь доказательства, он менее многозначно указывает, с чего можно начать и в каком направлении строить цепочки рассуждений.

Рассмотрим для примера теорему, выражающую один из признаков параллелограмма[1, с. 102]:

Если в четырех угольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Дано: ABCD – четырехугольник (см. рисунок).

AB=C, BC=AD.

Доказать: ABCD – параллелограмм.

Доказательство:

Синтетический подход.

1) Рассмотрим ∆АВС и ∆ACD. В этих треугольниках сторона АС – общая. AB=CD, AD=ВС. По третьему признаку равенства треугольников имеем ∆АBC=∆ACD.

2) Так как ∆ABC=∆ACD, то в этих треугольниках против равных сторон лежат равные углы: из равенства AB=CDследует, чтоугол 1 равен углу 4;из равенства ВС=ADследует, что угол 2 равен углу 3.

3) Углы 1 и 4 – накрест лежащие углы при прямых АВ, CDи секущей АС, но они равны, а значит, прямые АВ и CD параллельны.

4) Углы 2 и 3 – накрест лежащие углы при прямых ВС, ADи секущей АС, и они равны, а значит, ВС и ADпараллельны.

5) Имеем четырехугольник ABCD, у которого противоположные стороны попарно параллельны, и по определению делаем вывод, что четырехугольник ABCD– параллелограмм.

Аналитический метод.

1) Нам нужно доказать, что четырехугольник ABCDявляется параллелограммом, т. е. мы должны показать, что он при заданных условиях удовлетворяет всем требованиям определения параллелограмме: AB=CDиBC=AD.

2) Чтобы доказать параллельность прямых AB и CD, ADи ВС, достаточно доказать равенство накрест лежащих углов 1 и 4 при прямых AB и CD и секущей АС и равенство углов 3 и 2 при прямых AD, ВС и секущей АС.

3) Чтобы доказать равенство углов 1 и 4, 2 и 3, достаточно доказать равенство треугольников, содержащих эти углы, т. е. надо доказать, что ∆АВС = ∆АОС.

4) Чтобы доказать равенство треугольников ABCи ADC, достаточно показать, что они удовлетворяют условиям одного из признаков равенства треугольников.

Аналитический метод позволилнайти путь доказательства. Теперь следует проделать обратный путь (4 – 3 – 2 – 1), и теорема будет доказана.

Можно сделать вывод, что анализ и синтез выступают в единства, вот почему метод доказательства теорем чаще всего называют аналитико-синтетическим.

Если теорема «прозрачная», то учащиеся сами её доказывают.

Рассмотрим для примера теорему Виета из курса алгебры. Учащимся предлагается решить несколько квадратных уравнений: x2-4x-5=0, x2+7x+12=0, x2+10x+15=0. Затем учитель просит учеников, попытаться установить зависимость между корнями и его коэффициентами, а после сформулировать теорему. В данном случае учащиеся самостоятельно «открывают» теорему на основе решения частных примеров.

В курсе геометрии при введении теоремы Я. И. Груденов предлагает использовать упражнение на построение соответствующих фигур. Например, учитель просит учеников выполнить следующие указания: на одной стороне угла отложить несколько равных между собой отрезков, через точки деления провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, измерить длины полученных отрезков и сравнить их. Данные указания зачитываются по частям, выдерживая паузы. После их выполнения, учащиеся формулируют вывод. Их следует спросить, является ли данный вывод достоверным. Ученики должны ответить, что измерения неточны и вывод основан на частном случае, нужно доказать. Таким образом, у учащихся формируется убеждение в необходимости доказывать вывод, полученный ими [2, с. 10].

На этапе усвоения теоремы повторяются формулировка, задаются следующие вопросы: что было дано, что требовалось доказать, какова формулировка теоремы. Повторяются основные этапы доказательства: с чего начинали, что делали дальше, какие теоремы использовались при доказательстве, для чего они использовались. И в итоге, решаются задачи на применение теоремы на подготовленных чертежах, устного направления. Например, для проверки усвоения формулировки теоремы, учащимся можно предложить неправильные или измененные формулировки, они должны найти и исправить ошибки. Например, в треугольниках против равных углов лежат равные стороны; через любые три точки можно провести окружность, и притом только одну; выпуклый четырехугольник, в котором диагонали равны и взаимно перпендикулярны, является квадратом [3, с. 160].

На заключительном этапе – закрепления проверяется усвоение формулировки и доказательства теоремы, и решаются более сложные задачи с применением изученной теоремы. Рассмотрим некоторые приемы, предлагаемые Я. И. Груденовым.

Прием первый. После объяснения новой темы одному или нескольким учащимся предлагается повторить её, остальные – слушают. Данный прием приводит к следующим результатам: однообразное повторение, низкая мыслительная деятельность, пропадает интерес учащихся к уроку.

Второй прием. Перед тем как объяснить новую тему, учитель предлагает прослушать доказательство и одновременно составить его план. Такой прием эффективен, если только у класса сформированы умения составлять план [2, c. 64].

Таким образом, можно сделать вывод о том, что при успешном выборе приемов и методов обучения доказательству математических утверждений и при учете способностей класса, будет обеспечено сознательное усвоение учащимися математических знаний, воспитания у них навыков самостоятельной работы, умения рационально и творчески применять математические знания.

Литература.

1. Геометрия. 7-9 классы. / Л.С. Атанасян и др., 20 – е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

2. Груденов Я. И. Изучение определений, аксиом, теорем / Я. И. Груденов. – М.: Просвещение, 1981. – 95 с.

3. Далигер В. А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: уч. для учителя / В. А. Далингер. – М.: Просвещение, 2006. – 256 с.

4. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Д. Пойа. – М.:Либроком, 2010. – 462 с.

Код для цитирования: Скопировать